Комплексный анализ

Комплексный анализ (чеш. Komplexní analýza), или теория функций комплексного переменного, — раздел математического анализа, посвящённый изучению функций комплексного переменного. В отличие от вещественного анализа, рассматривающего функции, определённые на множествах вещественных чисел, комплексный анализ фокусируется на функциях, для которых область определения и область значений являются подмножествами комплексных чисел. Комплексный анализ возник в трудах математиков XVIII и XIX веков, в частности Леонарда Эйлера, Карла Фридриха Гаусса, Огюстена Луи Коши и Бернхарда Римана. Значительный толчок развитию дисциплины дали задачи физики и механики.

Базовым понятием комплексного анализа служит голоморфная функция, то есть комплексная функция, удовлетворяющая условия Коши — Римана. Эти функции обладают намного более сильными свойствами, чем непрерывные или дифференцируемые функции вещественного переменного. Среди других ключевых идей — конформное отображение и комплексное интегрирование с теорией вычетов.

История

Огюстен Луи Коши

История комплексного анализа тесно связана с развитием представлений о комплексных числах. Первые подходы к вычислениям с квадратными корнями из отрицательных чисел встречаются у итальянских математиков XVI века, таких как Джероламо Кардано, Рафаэл Бомбелли и Никколо Тарталья. Мотивом для этого служили задачи о кубических уравнениях. Термин «мнимое число» ввёл Рене Декарт в XVII веке, считая их математической абстракцией без реального значения. Геометрическая интерпретация комплексных чисел как точек на плоскости была сформулирована Каспаром Весселем и Жан-Робером Арганом на рубеже XVIII—XIX веков.

Систематическое изучение комплексных функций началось в XVIII веке с работ Леонарда Эйлера, открывшего фундаментальное соотношение $e^{i\pi }+1=0$, и Жана лерона д’Аламбера, исследовавшего комплексные решения дифференциальных уравнений. Прорыв наступил в первой половине XIX века, когда Огюстен Луи Коши сформулировал теорему Коши — Гурса и интегральную формулу Коши, заложившие основы современной комплексной теории. Бернхард Риман внёс вклад теорией поверхностей Римана и концепцией аналитического продолжения.

Во второй половине XIX века Карл Вейерштрасс построил строгую теорию на основе степенных рядов, в то время как Анри Пуанкаре и Феликс Клейн изучали взаимосвязи между комплексным анализом, дифференциальными уравнениями и топологией.

В XX веке связь с другими областями математики сильно углубилась — особенно с алгебраической геометрией, теорией чисел, теорией представлений. Важные применения найдены и в теории динамических систем, прежде всего в исследовании множества Мандельброта и фракталов, изученных Бенуа Мандельбротом в 1970-е годы.

Основные понятия

График функции f(x) = (x² − 1)(x − 2 − i)² / (x² + 2 + 2i). Цвет — аргумент, яркость — модуль.

Комплексный анализ опирается на понятие комплексное число, обычно записываемое как $z=a+bi$, где $a$ — вещественная, а $b$ — мнимая часть, причём $i^{2}=-1$. Алгебраически это — упорядоченная пара вещественных чисел $(a,b)$; геометрически комплексное число соответствует точке на так называемой плоскости Гаусса, где горизонтальная ось означает вещественную часть, а вертикальная — мнимую. Связующее звено между алгеброй и геометрией — модуль $|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ (расстояние до начала координат) и аргумент $\varphi =\arg z$ (угол относительно положительной вещественной оси). Любое ненулевое $z$ можно представить в экспоненциальной (полярной) форме: $z=re^{i\varphi }=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, где $r=|z|$. Такая запись особенно удобна для возведения в степень по формуле Муавра:

$(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=\cos(n\varphi )+i\sin(n\varphi )$,

что связывает тригонометрию и арифметику комплексных чисел.

Ключевое понятие анализа — комплексная функция комплексного переменного $f:D\subset \mathbb {C} \to \mathbb {C}$. Любую такую функцию можно записать через вещественную и мнимую часть:

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ при $z=x+iy$.

Как и в вещественном анализе, определяются предел $\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}f(z)=L$ и непрерывность функции в точке $z_{0}$ через $\lim _{z\to z_{0}}f(z)=f(z_{0})$. Но для функций $\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ предельный переход и непрерывность предъявляют более строгие требования: траектория приближения $z\to z_{0}$ может быть произвольной кривой из любого направления, и результат должен быть одним и тем же; в то время как на вещественной оси возможны только подходы «слева» и «справа».

Дифференцирование

Функция комплексного переменного $f:D\subset \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ называется голоморфной (или регулярной), если во всякой точке области определения имеет комплексную производную:

$f'(z_{0})\;=\;\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$.

Для существования этого предела требуется, чтобы производная совпадала при приближении к точке с любого направления на плоскости — это существенно более сильное требование, чем в вещественном случае. Если расписать $f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)$ при $z=x+iy$, существование комплексной производной эквивалентно выполнению условия Коши — Римана:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-\,{\frac {\partial v}{\partial x}},$

связывающих частные производные обеих компонент. Геометрически это означает, что отображение сохраняет углы и локально ведёт себя как подобное вращение — что объясняет роль голоморфных отображений в конформной геометрии. Реальные функции $u,v$ также называются сопряжёнными гармоническими функциями и удовлетворяют уравнение Лапласа, что важно для физики (например, в теории потенциалов). Класс голоморфных функций включает полиномы, экспоненту, синус и косинус (при их естественном продолжении на комплексную область). В то же время нигде не имеют комплексной производной функции модуля и комплексное сопряжение (даже если их вещественные и мнимые части дифференцируемы по вещественной переменной, кроме нуля для модуля) — но они не удовлетворяют условиям Коши — Римана.

Голоморфные функции одновременно аналитичны, то есть могут быть разложены в степенной ряд

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$

в некоторой окрестности точки $z_{0}$. В отличие от вещественного анализа, здесь эквивалентны голоморфность, выполнение уравнений Коши — Римана и существование разложения в степенной ряд. Это позволяет по локальному поведению функции судить о её глобальных свойствах и «продлевать» область определения с помощью аналитического продолжения по любому пути, избегая особенностей.

Степенной ряд имеет радиус сходимости $R$, определяемый коэффициентами $a_{n}$ (вычисляется по формуле Коши — Адамара ${\tfrac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$). Внутри круга $|z-z_{0}|<R$ такие ряды сходятся абсолютно и равномерно на компактах и допускают различные операции — в частности, любую поочерёдную дифференциацию:

$f^{(k)}(z)=\sum _{n=k}^{\infty }a_{n}\,{\frac {n!}{(n-k)!}}\,(z-z_{0})^{\,n-k}$

(или интегрирование) без уменьшения радиуса сходимости. Благодаря этим свойствам степенные ряды — центральный инструмент для изучения поведения функций вблизи регулярных точек и для классификации изолированных особенностей (устранимых, полюсов, существенных), которые проявляются также и в рядах Лорана.

Интегрирование

Центральная тема комплексного анализа — интегрирование функций комплексного переменного вдоль кривых на комплексной плоскости. По смыслу это близко к определённому интегралу, где между точками только один путь по вещественной оси, а в комплексной плоскости — бесконечно много различных путей.

Пусть $\gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {C}$ — регулярная (достаточно кусочно-гладкая) кривая, а $f$ — непрерывная функция. Криволинейный интеграл определяется как

$\int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z\;=\;\int _{a}^{b}f\!{\bigl (}\gamma (t){\bigr )}\,\gamma '(t)\,\mathrm {d} t,$

где $\gamma '(t)\,\mathrm {d} t$ — элемент комплексной длины соответствующего направления. В комплексной теории особо важны замкнутые кривые (когда начало и конец точки совпадают). Если $f$ — голоморфная в области, содержащей замкнутую кривую и её внутренность — справедлива одна из ключевых теорем: теорема Коши — Гурса, утверждающая, что для любой замкнутой кривой $\gamma$ в односвязной области $D$ интеграл голоморфной функции $f$ равен нулю:

$\int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z\;=\;0.$

Из этого следуют далеко идущие последствия: интеграл между двумя точками не зависит от пути, существует первообразная (аналог неопределённого интеграла), устанавливается связь между локальными и глобальными свойствами функции. Отсюда выводится и интегральная формула Коши:

$f(z_{0})\;=\;{\frac {1}{2\pi i}}\,\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,\mathrm {d} z,$

где $\gamma$ — положительно ориентированная простая замкнутая кривая, а $z_{0}$ — любая внутренняя точка. Эта формула позволяет определять значения (и производные) голоморфной функции внутри области только по её поведению на границе. Из неё, среди прочего, следуют неравенство Коши для коэффициентов степенных рядов, теорема Лиувилля об ограниченных голоморфных функциях и основная теорема алгебры.

Вблизи изолированных особых точек (где голоморфность нарушается) используется ряд Лорана:

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\,(z-z_{0})^{\,n}$,

который кроме положительных содержит и отрицательные степени и позволяет детально анализировать характер особенностей. Если все отрицательные коэффициенты нули, особенность устранима; конечное число отрицательных — полюс; бесконечное — существенная (неустранимая) особенность. Коэффициент $a_{-1}$ называется вычетом и лежит в основе теории вычетов. Теорема о вычетах утверждает:

$\int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z\;=\;2\pi i\sum _{k}\operatorname {Res} {\bigl (}f,z_{k}{\bigr )},$

где сумма по всем изолированным особым точкам $z_{k}$ функции $f$ внутри $\gamma$. Эта теорема позволяет превращать сложные вещественные интегралы в вычисления вычетов комплексных функций — например,

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x}{x^{2}+1}}\,\mathrm {d} x\;=\;\pi e^{-1},\qquad \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x\;=\;{\frac {\pi }{2}},$

или суммировать ряды с помощью формулы Абеля — Плана. Вычеты широко применяются также во фурье-анализе и спектральной теории при решении уравнений с частными производными.

Конформные отображения и гармонические функции

Конформное отображение — это отображение $f:D\subset \mathbb {C} \to \mathbb {C}$, сохраняящее ориентированные углы и малые масштабы в каждой точке области. Локально оно ведёт себя как вращение с растяжением. В двумерном случае $f$ должно быть голоморфно и иметь ненулевую производную $f'(z)$ везде на $D$. Конформные отображения переводят гладкие кривые в гладкие, сохраняя и углы, и ориентацию. Благодаря этому они имеют важное практическое значение, например в картографии и описании потенциальных полей.

Особое место занимают преобразования Мёбиуса:

$w\;=\;f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},\qquad ad-bc\neq 0,$

образующие проективную группу $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )$. Такие преобразования конформны на расширенной комплексной плоскости ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$; они переставляют $\infty$ с полюсом $-d/c$ и реализуют композицию поворотов-дилятаций, переносов и инверсии — предоставляя эффективный инструмент для изучения геометрических структур. В физике дробно-линейные преобразования применяются для решения двумерных задач о потенциальном течении и электрических полях — например, сводят область сложной формы к кругу.

Комплексный анализ также изучает гармонические функции — вещественные функции $u:D\to \mathbb {R}$, удовлетворяющие уравнению Лапласа:

$\Delta u\;=\;{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\;=\;0.$

Каждая голоморфная функция $f=u+iv$ имеет вещественную и мнимую части гармоническими (и к любой локальной гармонической функции $u$ существует сопряжённая гармоническая $v$, так что $u+iv$ — голоморфна). Эта двойственность позволяет сводить задачи о конформных отображениях к теории потенциала и обратно.

Классическая физическая и математическая задача — задача Дирихле: найти гармоническую функцию с заданными граничными условиями на крае области. Для единичного круга $\mathbb {D} =\{z:|z|<1\}$ существует явное решение через интеграл Пуассона:

$u{\bigl (}re^{i\theta }{\bigr )}\;=\;{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}}\,f{\bigl (}e^{i\varphi }{\bigr )}\,\mathrm {d} \varphi ,\qquad 0\leq r<1,$

где $f(e^{i\varphi })$ — заданная граничная функция. Этот интеграл не только доказывает существование и единственность гармонического решения для круга, но и (через конформные отображения) переносится на любые односвязные области — достаточно подобрать должное отображение.

Таким образом, конформные отображения объединяют геометрию, комплексный анализ и математическую физику: они позволяют сводить сложные области к простым, где гармонические функции (то есть потенциалы, токовые линии и температурные поля) выражаются явно, что важно для инженерных и физических приложений.

Другие темы

Фрактальное множество Мандельброта

Более сложные многозначные функции (например, ${\sqrt {z}}$ или $\log z$) стимулировали введение поверхностей Римана — комплексных многообразий, на которых такие функции становятся однозначными и голоморфными. Посредством склеивания ветвей по разрезам — в точках разветвления — строится поверхность, на которой функция принимает единственное значение (например, двухлистная — для корня, спираль с неограниченным числом листов — для логарифма). Поверхности Римана имеют топологический инвариант — род $g$, равный числу «дыр» на поверхности и связанный с пространством голоморфных дифференциалов.

Класс мероморфных функций шире голоморфных: разрешаются изолированные полюса. Любая мероморфная функция на области $D$ локально есть частное двух голоморфных, а на расширенной комплексной плоскости ${\widehat {\mathbb {C} }}$ (сфере Римана) — рациональная дробь, устойчиво замкнутая относительно деления и композиции; отсюда их ведущая роль в теории вычетов и динамике.

Комплексный анализ исследует и глобальное поведение функций и их итераций. Итерация функции — последовательность $z_{n+1}=f(z_{n})$; точки классифицируются по поведению своих траекторий при повторных итерациях. Для одних проявляется хаотическое поведение: малое возмущение приводит к радикально разному результату — такие точки образуют множество Жюлия заданной функции. Для других траектории регулярны — это множество Фату. Граница между ними зачастую представляет собой фрактал, например знаменитое множество Мандельброта, обладающее самоподобием на всех масштабах и интересное как визуально, так и математически.

Значимое обобщение — теорема о униформизации, сформулированная Пуанкаре и Кёбе: всякая односвязная поверхность Римана конформно эквивалентна одному из трёх прототипов — единичному кругу $\mathbb {D}$, всей плоскости $\mathbb {C}$ или сфере Римана ${\widehat {\mathbb {C} }}$. Глобальная геометрия поверхности тогда редуцируется к изучению соответствующих автоморфизмов (фуксовских и клейновских групп), и результаты комплексного анализа глубоко связываются с гиперболической геометрией, теорией модульных кривых и математической физикой (например, конформной топологической квантовой теорией поля).

Всё это расширяет сферу комплексного анализа от локальных свойств функций к глобальной топологии поверхностей и динамике итераций, прокладывая путь к современным исследованиям фракталов, арифметической динамики и геометрической теории функций.

Применение

Сила комплексного анализа состоит в том, что требование голоморфности наделяет дифференцируемые функции комплексного переменного значительно более сильными свойствами, чем в вещественном случае, что приводит к элегантным и глубоким результатам.

Прежде всего, комплексный анализ имеет исключительно важное значение внутри самой математики. Так, в теории чисел он предоставляет инструменты исследования простых чисел и гипотезы Римана, позволяет решать дифференциальные уравнения с помощью конформных отображений, исследовать спектральные свойства операторов в функциональном анализе, классифицировать поверхности и инварианты в топологии. В теории динамических систем возможен анализ итерационных процессов и связанных с ними фракталов, таких как множество Мандельброта.

В физике комплексный анализ применяется при решении задач электростатики, магнитостатики, гидродинамики и течения жидкостей, термодинамики и передачи тепла, квантовой механики и теории поля. В инженерии — при обработке сигналов, фурье-анализе, проектировании электрических цепей и антенн, теории управления и исследовании устойчивости систем, а также моделировании течения вокруг крыльев и профилей.

Решение дифференциальных уравнений

Преобразовательные методы на базе комплексных функций — такие как преобразование Лапласа и преобразование Фурье — сводят линейные дифференциальные уравнения к алгебраическим. Интегральная формула Коши позволяет вычислять возникающие интегралы, а теорема о вычетах — строить функции Грина. Для уравнений типа уравнение Лапласа или уравнение теплопроводности ключевую роль играет представление решения с помощью интеграла Пуассона; конформные отображения переносят сложные граничные условия на круг, в котором аналитическое выражение решения известно.

Гидродинамика и электростатика

В двумерных задачах потенциального течения и электростатики потенциал и потоковая функция удовлетворяют уравнению Лапласа и образуют гармонически сопряжённую пару вещественной и мнимой компонент голоморфной функции $w=f(z)$. Конформные отображения, особенно преобразования Мёбиуса и преобразование Жуковского, переводят обтекание сложных профилей (например, аэродинамического крыла) в обтекание круга, где скорости выражаются простыми функциями. Аналогично электростатика решает распределение полей вокруг проводников любой формы простой переменной. Эти методы легли в основу и численных алгоритмов, в которых конформное отображение «разглаживает» граничные особенности.

Теория чисел

Комплексный анализ стал ключом к теории чисел, когда Риман обобщил дзета-функцию $\zeta (s)$ аналитическим продолжением на всю комплексную плоскость, за исключением простого полюса в $s=1$. Это привело к эксплицитным формулам, связывающим распределение простых чисел с нулями $\zeta (s)$, лежащими в основе гипотезы Римана и асимптотики разложения простых. Методы комплексной интеграции также необходимы в изучении L-функций Дирихле и модулярных форм, что привело к современным прорывам — доказательству великой теоремы Ферма, программе Ланглендса и др.

Примечания

Литература

• Шулиста, Милан. Основы анализа в комплексной области. — Прага : SNTL, 1981. — P. 232.
• Весёлый, Йиржи Комплексный анализ для преподавателей  (неопр.). Карлов университет в Праге. Математико-физический факультет (2000). Дата обращения: 26 сентября 2019.

Ссылки

• Complex Analysis — A Visual and Interactive Introduction