Векторный оператор Лапласа

Ве́кторный опера́тор Лапла́са (или ве́кторный лапласиа́н) — это векторный дифференциальный оператор второго порядка, определённый над векторным полем и обозначаемый символом $\Delta$, аналогичный скалярному оператору Лапласа. Векторный оператор Лапласа действует на векторное поле и имеет векторное значение, тогда как скалярный лапласиан действует на скалярное поле и имеет скалярное значение. При вычислении в декартовых координатах получаемое векторное поле эквивалентно векторному полю скалярного лапласиана, действующего на отдельные компоненты исходного вектора.

Поскольку векторный и скалярный лапласианы обозначаются одним и тем же символом, большой греческой буквой дельта, но являются разными математическими объектами, в рамках данной статьи векторный лапласиан обозначается черным цветом, а скалярный лапласиан — синим.

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

$\Delta \mathbf {A} ={\color {blue}\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\color {blue}\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\color {blue}\Delta }A_{z}\mathbf {k}$

$\Delta \mathbf {A} ={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k}$

Определение

Векторный оператор Лапласа векторного поля $\mathbf {A}$ определяется следующим образом:

• Через оператор набла:

$\Delta \mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )$ .

• Через градиент, дивергенцию и ротор:

$\Delta \mathbf {A} =\mathrm {grad} (\mathrm {div} \mathbf {A} )-\mathrm {rot} (\mathrm {rot} \mathbf {A} )$.

В декартовых координатах векторный лапласиан векторного поля $\mathbf {A}$ можно представить в виде вектора, компонентами которого являются скалярные лапласианы компонент векторного поля $\mathbf {A}$:

$\Delta \mathbf {A} =\left\{{\color {blue}\Delta }A_{x},{\color {blue}\Delta }A_{y},{\color {blue}\Delta }A_{z}\right\}$ ,

где $A_{x}$, $A_{y}$, $A_{z}$ — компоненты векторного поля $\mathbf {A}$.

Выражения для векторного оператора Лапласа в других системах координат можно найти в статье «Оператор набла в различных системах координат».

Обобщение

Лапласиан любого тензорного поля $\mathbf {T}$ (скаляры и векторы являются частными случаями тензоров) определяется как дивергенция градиента тензора:

$\Delta \mathbf {T} =\nabla \cdot (\nabla \mathbf {T} )$.

В случае если $\mathbf {T}$ — это скаляр (тензор нулевого порядка), оператор Лапласа принимает привычную форму.

Если $\mathbf {T}$ — это вектор (тензор первого порядка), то его градиент это ковариантная производная, которая является тензором второго порядка, а его дивергенция — это снова вектор. Формула для векторного лапласиана может быть представлена как дивергенция выражения для градиента вектора:

$\nabla \mathbf {T} =\left\{\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z}\right\}={\begin{bmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}}$,

где $T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{v}}{\partial u}}$ (общий вид компоненты тензора), $u$ и $v$ могут принимать значения из множества $\{x,y,z\}$.

Аналогично, скалярное произведение вектора на градиент другого вектора (тензор второго порядка), значением которого является вектор, может быть рассмотрено как произведение матриц:

$\mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{bmatrix}}$.

Данное выражение зависит от системы координат.

Использование в физике

Примером использования векторного оператора Лапласа являются уравнения Навье — Стокса для вязкой несжимаемой жидкости:

$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\Delta \mathbf {v} \right)$,

где слагаемое с векторным оператором Лапласа от поля скоростей $\mu \left(\Delta \mathbf {v} \right)$ представляет собой вязкость жидкости.

Уравнения плоской электромагнитной волны:

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}\varepsilon \varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2}}$

$\Delta \mathbf {H} =\mu \mu _{0}\varepsilon \varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {H} \over \partial t^{2}}$

Литература

• Хмельник С.И. Уравнения Навье-Стокса существование и метод поиска глобального решения. — Израиль: MiC, 2010. — 106 с. — ISBN 978-0-557-48083-8.
• В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984.
• И.В.Савельев "Курс общей физики" том II

Примечания