График квадратичной функции

Квадрати́чная фу́нкция — это функция, которую можно задать формулой вида^[1]:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}$

где ${\displaystyle x}$ — независимая переменная (аргумент); ${\displaystyle y}$ — зависимая переменная (значение функции); ${\displaystyle a,b,c}$ — некоторые числа (коэффициенты), причём число ${\displaystyle a}$ не должно быть равно нулю (${\displaystyle a\neq 0}$). Если ${\displaystyle a=0}$, то слагаемое ${\displaystyle ax^{2}}$ исчезает, и функция превращается в линейную^[3].

Выражение ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ называется квадра́тным трёхчле́ном^[4]. Графиком квадратичной функции является кривая, которая называется параболой^[1].

• Область значений зависит от направления ветвей:
  • Если ${\displaystyle a>0}$, то ${\displaystyle E(f)=[y_{0};+\infty )}$.
  • Если ${\displaystyle a<0}$, то ${\displaystyle E(f)=(-\infty ;y_{0}]}$^[1].
• Монотонность:
  • При ${\displaystyle a>0}$ слева от вершины функция убывает, справа от вершины — возрастает.
  • При ${\displaystyle a<0}$ — наоборот^[3].
• Функция непрерывна на всей области определения^[2].

1. Привести квадратный трёхчлен ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$, задающий функцию, к виду ${\displaystyle y=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}}$ (выделить полный квадрат). Тем самым найти координаты вершины параболы: ${\displaystyle O=(x_{0},y_{0})}$. Отметить вершину на координатной плоскости^[1].
2. Определить направление ветвей: при ${\displaystyle a>0}$ ветви вверх, при ${\displaystyle a<0}$ ветви вниз^[1].
3. Провести ось симметрии параболы — прямую ${\displaystyle x=x_{0}}$^[2].
4. Задать «ширину» графика: отметить точку ${\displaystyle A=(x_{A},y_{A})}$, где ${\displaystyle x_{A}=x_{0}-1}$, ${\displaystyle y_{A}=f(x_{A})}$, и симметричную ей точку ${\displaystyle A'}$ относительно оси параболы^[1].
5. Отметить точку ${\displaystyle B=(x_{B},y_{B})}$ пересечения графика с осью ${\displaystyle Oy}$: ${\displaystyle x_{B}=0}$, ${\displaystyle y_{B}=c}$, и симметричную ей точку ${\displaystyle B'}$ относительно оси параболы^[3].
6. Найти нули функции: решить уравнение ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$, и отметить их на координатной плоскости^[4].
7. Через точки ${\displaystyle O}$, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle B'}$ и нули функции провести плавную кривую, симметричную относительно оси параболы^[1].

Построить график функции ${\displaystyle y=-2x^{2}+8x-5}$.

1. Выделение полного квадрата и нахождение вершины. Приведём функцию к каноническому виду^[1]:

${\displaystyle y=-2(x-2)^{2}+3.}$

Координаты вершины параболы: ${\displaystyle O(2;3)}$. Отмечаем точку ${\displaystyle (2;3)}$ на координатной плоскости.

2. Направление ветвей. Коэффициент ${\displaystyle a=-2}$. Так как ${\displaystyle a<0}$, ветви параболы направлены вниз^[1].

3. Ось симметрии. Проводим вертикальную прямую ${\displaystyle x=2}$^[2].

4. «Ширина» графика. Задаём точку ${\displaystyle A}$ со смещением на 1 единицу влево от вершины^[1]: ${\displaystyle x_{A}=2-1=1}$, ${\displaystyle y_{A}=-2(1)^{2}+8(1)-5=1}$. Точка ${\displaystyle A(1;1)}$. Находим симметричную ей точку ${\displaystyle A'}$ относительно оси ${\displaystyle x=2}$: ${\displaystyle x_{A'}=2+1=3}$, ${\displaystyle y_{A'}=1}$. Точка ${\displaystyle A'(3;1)}$.

5. Пересечение с осью ${\displaystyle Oy}$. Подставляем ${\displaystyle x=0}$^[3]: ${\displaystyle y_{B}=-2(0)^{2}+8(0)-5=-5}$. Точка ${\displaystyle B(0;-5)}$. Находим симметричную ей точку ${\displaystyle B'}$: ${\displaystyle x_{B'}=4}$, ${\displaystyle y_{B'}=-5}$. Точка ${\displaystyle B'(4;-5)}$.

6. Нули функции. Решаем уравнение ${\displaystyle -2x^{2}+8x-5=0}$. Дискриминант ${\displaystyle D=8^{2}-4\cdot (-2)\cdot (-5)=64-40=24}$. Корни: ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-8\pm {\sqrt {24}}}{-4}}=2\mp {\frac {\sqrt {6}}{2}}}$. Приближённые значения: ${\displaystyle x_{1}\approx 0{,}78}$ и ${\displaystyle x_{2}\approx 3{,}22}$. Отмечаем точки ${\displaystyle (0{,}78;0)}$ и ${\displaystyle (3{,}22;0)}$ на оси ${\displaystyle Ox}$^[4].

7. Построение кривой. Плавной линией соединяем точки ${\displaystyle O(2;3)}$, ${\displaystyle A(1;1)}$, ${\displaystyle A'(3;1)}$, ${\displaystyle B(0;-5)}$, ${\displaystyle B'(4;-5)}$ и нули функции, рисуя параболу ветвями вниз^[1].

⚠️ Подсказка для ЕГЭ/ОГЭ: График квадратичной функции

Ключевые понятия:

• Квадратичная функция задаётся формулой ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$, где ${\displaystyle a\neq 0}$.
• График — парабола. Ветви вверх при ${\displaystyle a>0}$, вниз при ${\displaystyle a<0}$.
• Вершина параболы: ${\displaystyle x_{0}={\frac {-b}{2a}}}$, ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$.

Как определить коэффициенты по графику:

• ${\displaystyle c}$ — ордината точки пересечения с осью ${\displaystyle Oy}$ (при ${\displaystyle x=0}$).
• ${\displaystyle a}$ — по направлению ветвей и «ширине» параболы.
• ${\displaystyle b}$ — по положению вершины относительно оси ${\displaystyle Oy}$.

Типовые задания ЕГЭ (профильный уровень):

• Найти координаты вершины параболы по формуле.
• Определить знаки коэффициентов ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ по графику функции.
• Найти наибольшее или наименьшее значение квадратичной функции на отрезке.
• Установить соответствие между графиками и формулами.

Важно:

• Если ${\displaystyle D>0}$ — две точки пересечения с осью ${\displaystyle Ox}$; ${\displaystyle D=0}$ — одна; ${\displaystyle D<0}$ — нет.
• Область значений: при ${\displaystyle a>0}$ — ${\displaystyle [y_{0};+\infty )}$, при ${\displaystyle a<0}$ — ${\displaystyle (-\infty ;y_{0}]}$.