Открытое множество

Впервые осознанное различение замкнутых и открытых множеств встречается у Дюбуа Раймона (1882). Определение внутренней точки принадлежит Кантору. Понятие граничной точки встречается в ранней работе Кантора, но существует версия, что оно воспринято им от Вейерштрасса. Кантор чётко определил понятие замкнутого множества.

С самого начала не было очевидно, что открытые множества окажутся столь важными для математики. Это понятие не сразу получило признание. В 30-х годах ХХ века математики пришли к выводу, что понятие открытого множества является простым и гибким инструментом для исследования всех топологических свойств, и сделали его основой для теории топологических пространств^[2].

Множество ${\displaystyle O}$ называется открытым, если для каждой точки его существует окрестность, все точки которой принадлежат ${\displaystyle O}$^[3].

• Множество всех точек плоскости.
• множество всех точек, не принадлежащих данному конечному множеству прямых или окружностей.
• множество всех точек, лежащих внутри данного круга и т. п.

Открытое множество будет связным, если любые две точки его можно соединить непрерывной дугой, принадлежащей ${\displaystyle O}$. Открытое и связное множество называются областью^[3].

Относительно любого открытого множества, в частности области ${\displaystyle O}$, все точки плоскости распадаются на три категории:

• Точки, принадлежащие ${\displaystyle O}$, называемые внутренними точками для ${\displaystyle O}$. Множество внутренних точек совпадает с ${\displaystyle O}$ и, следовательно, непусто всякий раз, когда ${\displaystyle O}$ непусто.
• Точки, не принадлежащие ${\displaystyle O}$ и являющиеся предельными для неё, называемые граничными точками для ${\displaystyle O}$. Множество граничных точек называется границей открытого множества (области) — будет пустым в случае, когда ${\displaystyle O}$ есть вся плоскость.
• Точки, не принадлежащие ${\displaystyle O}$ и не являющиеся предельными для ${\displaystyle O}$, называемые внешними точками для ${\displaystyle O}$.

Если множество ${\displaystyle O}$ от всей плоскости, то должно существовать непустое множество ${\displaystyle E}$ точек, не принадлежащих ${\displaystyle O}$. Оно может состоять только из граничных и внешних точек. Если внешних точек нет, то ${\displaystyle E}$ состоит из граничных точек, которых, таким образом, должно быть не менее одной. Если же ${\displaystyle E}$ содержит внешние точки, то их должно быть бесконечное множество, так как для внешней точки существует окрестность, все точки которой также внешние. Тогда и множество граничных точек бесконечно^[3].

Граница ${\displaystyle \Gamma }$ любого открытого множества ${\displaystyle O}$ есть замкнутое множество. Присоединяя к открытому множеству ${\displaystyle O}$ все точки его границы, получают некоторое множество ${\displaystyle {\bar {O}}}$, которое называется замыканием множества ${\displaystyle O}$. ${\displaystyle {\bar {O}}}$ является замкнутым множеством. В случае, когда ${\displaystyle O}$ является некоторой областью, замыкание ${\displaystyle {\bar {O}}}$ называется замкнутой областью^[4].

Пусть ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда ${\displaystyle U}$ называется открытым, если ${\displaystyle \forall x_{0}\in U\;\exists \varepsilon >0,}$ такое, что ${\displaystyle V_{\varepsilon }(x_{0})\subset U}$, где ${\displaystyle V_{\varepsilon }(x_{0})\equiv \left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x-x_{0}\|<\varepsilon \right\}}$ — ε-окрестность точки ${\displaystyle x_{0}.}$

Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.

Например, интервал ${\displaystyle (a,b)}$ как подмножество действительной прямой является открытым множеством. В то же время отрезок ${\displaystyle [a,b]}$ или полуинтервал ${\displaystyle [a,b)}$ не являются открытыми, так как точка ${\displaystyle a}$ принадлежит множеству, но ни одна её окрестность в этом множестве не содержится^[5].

Пусть ${\displaystyle (X,\rho )}$ — некоторое метрическое пространство, и ${\displaystyle U\subset X}$. Тогда ${\displaystyle U}$ называется открытым, если ${\displaystyle \forall x_{0}\in U\;\exists \varepsilon >0,}$ такое, что ${\displaystyle V_{\varepsilon }(x_{0})\subset U}$, где ${\displaystyle V_{\varepsilon }(x_{0})\equiv \{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<\varepsilon \}}$ — ε-окрестность точки ${\displaystyle x_{0}}$ относительно метрики ${\displaystyle \rho }$. Другими словами, множество ${\displaystyle U}$ в метрическом пространстве ${\displaystyle (X,\rho )}$ называется открытым множеством, если каждая точка ${\displaystyle x_{0}}$ множества ${\displaystyle U}$ входит в это множество вместе с некоторым открытым шаром с центром в точке ${\displaystyle x_{0}}$^[5].

Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.

Топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — «топологию», определённую на ${\displaystyle X}$. Подмножество ${\displaystyle U\subset X}$ такое, что оно является элементом топологии (то есть ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$), называется открытым множеством относительно топологии ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$.

Важный подкласс открытых множеств образуют канонически открытые множества, каждое из которых является внутренностью (открытым ядром) какого-либо замкнутого множества (и, следовательно, совпадает с внутренностью своего замыкания). Всякое открытое множество ${\displaystyle G}$ содержится в наименьшем канонически открытом множестве — им будет внутренность замыкания множества ${\displaystyle G}$^[6].

Множество ${\displaystyle M\subset \mathrm {R} ^{n}}$ называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, то есть ${\displaystyle M'\subseteq M}$. Множество ${\displaystyle M\subset \mathrm {R} ^{n}}$ называется открытым, если для каждой точки ${\displaystyle P\in M}$ существует ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестность ${\displaystyle U_{\varepsilon }(P)}$ такая, что ${\displaystyle U(P)\subseteq M}$.

• Множество ${\displaystyle M\subset \mathrm {R} ^{n}}$ замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение открыто.
• Пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.
• Объединение произвольного числа открытых множеств есть открытое множество^[7].