Материал из РУВИКИ — свободной энциклопедии

Гармоническая функция

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция , определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа:

где  — оператор Лапласа, то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам xi (n = dim D — размерность пространства).

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.

Свойства[править | править код]

Принцип максимума[править | править код]

Функция U, гармоническая в области , достигает своего максимума и минимума только на границе . Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума, за исключением тривиального случая постоянной в функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать

Теорема Лиувилля[править | править код]

Гармоническая функция, определённая на и ограниченная сверху или снизу, постоянна.

Свойство среднего[править | править код]

Если функция гармонична в некотором шаре с центром в точке , то её значение в точке равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:

где  — объём шара и  — площадь его границы.

Обратно, любая непрерывная функция, обладающая свойством среднего для всех шаров, лежащих в некоторой области, является в этой области гармонической.

Дифференцируемость[править | править код]

Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.

Неравенство Гарнака[править | править код]

Если функция , гармоническая в к-мерном шаре радиуса с центром в некоторой точке , неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках внутри рассматриваемого шара справедливы неравенства: , где [1].

Теорема Гарнака[править | править код]

Пусть  — положительные гармонические функции в некоторой области . Если ряд сходится хотя бы в одной точке области , то он равномерно сходится внутри .

Гармонические функции на комплексной плоскости[править | править код]

На комплексной плоскости гармонические функции тесно связаны с голоморфными функциями. В частности выполняется следующее утверждение : для произвольной области в если это голоморфная функция на , то является гармонической функцией над .

Выполняется также и обратное утверждение. Если является гармонической функцией над односвязной областью , то для уникальной, с точностью до константы, голоморфной над функции .

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. А.Ф. Тиман, В.Н. Трофимов Введение в теорию гармонических функций. М.: Наука, 1968

Литература[править | править код]

  • Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.
  • Евграфов М. А. Аналитические функции. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. — 448 с.
  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. — 749 с.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 432 с.
  • Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 480 с.
  • Титчмарш Е. Теория функций. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. — 463 с.
  • Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. — М.: Наука, 1964. — 388 с.
  • Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. — М.: Мир, 1980. — 304 с.
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. В 2-х томах. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. — 720 с.