Гармоническая функция

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция $U$, определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве $D$ (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа:

$\Delta U=0,\$

где $\Delta =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}$ — оператор Лапласа, то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам x_i (n = dim D — размерность пространства).

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.

Свойства

Принцип максимума

Функция U, гармоническая в области $D$, достигает своего максимума и минимума только на границе $\partial D$. Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума, за исключением тривиального случая постоянной в $D$ функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать $\forall m\in D\inf _{Q\in D}U(Q)<U(m)<\sup _{Q\in D}U(Q)$

Теорема Лиувилля

Гармоническая функция, определённая на $\mathbb {R} ^{n}$ и ограниченная сверху или снизу, постоянна.

Свойство среднего

Если функция $u$ гармонична в некотором шаре $B(x_{0})$ с центром в точке $x_{0}$, то её значение в точке $x_{0}$ равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:

$u(x_{0})={\frac {1}{\mu (\partial B)}}\int \limits _{\partial B}udS={\frac {1}{\mu (B)}}\int \limits _{B}udV$

где $\mu (B)$ — объём шара $B(x_{0})$ и $\mu (\partial B)$ — площадь его границы.

Обратно, любая непрерывная функция, обладающая свойством среднего для всех шаров, лежащих в некоторой области, является в этой области гармонической.

Дифференцируемость

Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.

Неравенство Гарнака

Если функция $U(M)=U(x_{1},...x_{k})$, гармоническая в к-мерном шаре $Q_{r}$ радиуса $R$ с центром в некоторой точке $M_{0}$, неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках $M$ внутри рассматриваемого шара справедливы неравенства: ${{R^{k-2}}{\frac {R-r}{(R+r)^{k-1}}}U(M_{0})}\leq {U(M)}\leq {R^{k-2}{\frac {R+r}{(R-r)^{k-1}}}U(M_{0})}$, где $r=\rho (M_{0},M)<R$.

Теорема Гарнака

Пусть $v_{n}(z)$ — положительные гармонические функции в некоторой области $D$. Если ряд $\sum _{1}^{\infty }v_{n}(z)$ сходится хотя бы в одной точке области $D$, то он равномерно сходится внутри $D$.

Гармонические функции на комплексной плоскости

На комплексной плоскости гармонические функции $h:\mathbb {C} \to \mathbb {R}$ тесно связаны с голоморфными функциями. В частности выполняется следующее утверждение : для произвольной области $D$ в $\mathbb {C}$ если $f$ это голоморфная функция на $D$, то $h=\operatorname {Re} (f)$ является гармонической функцией над $D$.

Выполняется также и обратное утверждение. Если $h$ является гармонической функцией над односвязной областью $D$, то $h=\operatorname {Re} (f)$ для уникальной, с точностью до константы, голоморфной над $D$ функции $f$.

См. также

• Оператор Лапласа
• Задача Дирихле
• Голоморфная функция
• Субгармоническая функция
• Плюригармоническая функция

Литература

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. — 448 с.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. — 749 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 432 с.
• Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 480 с.
• Титчмарш Е. Теория функций. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. — 463 с.
• Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. — М.: Наука, 1964. — 388 с.
• Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. — М.: Мир, 1980. — 304 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. В 2-х томах. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. — 720 с.