Это интегральные уравнения, в которые неизвестная функция входит линейно:
где — искомая функция, , — известные функции, — параметр. Функция называется ядром интегрального уравнения. В зависимости от вида ядра и свободного члена линейные уравнения можно разделить ещё на несколько видов.
Уравнения Фредгольма 2-го рода — это уравнения вида:
Пределы интегрирования могут быть как конечными, так и бесконечными. Переменные удовлетворяют неравенству: , а ядро и свободный член должны быть непрерывными: , либо удовлетворять условиям:
Ядра, удовлетворяющие последнему условию, называют фредгольмовыми. Если на , то уравнение называется однородным, иначе оно называется неоднородным интегральным уравнением.
Уравнения Фредгольма 1-го рода выглядят так же, как и уравнение Фредгольма 2-го рода, только в них отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию вне интеграла:
при этом ядро и свободный член удовлетворяют условиям, сформулированным для уравнений Фредгольма 2-го рода.
Можно придумать немыслимое многообразие нелинейных уравнений, поэтому дать им полную классификацию не представляется возможным. Вот лишь их некоторые типы, имеющие большое теоретическое и прикладное значение.
Прежде, чем рассмотреть некоторые методы решения интегральных уравнений, следует заметить, что для них, как и для дифференциальных уравнений, не всегда удается получить точное аналитическое решение. Выбор метода решения зависит от вида уравнения. Здесь будут рассмотрены несколько методов для решения линейных интегральных уравнений.
который и является решением уравнения. — -ая степень интегрального оператора :
Впрочем, такое решение является хорошим приближением лишь при достаточно малых .
Этот метод применим также и при решении уравнений Вольтерры 2-го рода. В таком случае ряд Лиувилля - Неймана сходится при любых значениях , а не только при малых.
Метод резольвент является не самым быстрым решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода, однако иногда нельзя указать других путей решения задачи.
В случае, если ядро интегрального уравнения Фредгольма является вырожденным, то есть , само интегральное уравнение можно свести к системе алгебраических уравнений. Действительно, в этом случае уравнение можно переписать так:
где . Умножив предыдущее равенство на и проинтегрировав его по на отрезке , приходим к системе алгебраических уравнений для неизвестных чисел :
где и — числовые коэффициенты.
Приближённо этим методом можно решить интегральное уравнение Фредгольма с любым ядром, если в качестве вырожденного ядра, близкого к действительному, взять отрезок ряда Тейлора для функции .[1]
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода: , где и имеют непрерывные производные нужного порядка, - заданное число. Используем квадратурную формулу: , где - точки на отрезке , а коэффициенты не зависят от вида функции . Рассмотрим исходное уравнение в точках : . Заменим интеграл в левой части уравнения с помощью квадратурной формулы: . Получаем линейную систему алгебраических уравнений с неизвестными , которые являются приближёнными значениями решения в точках . В качестве приближённого решения исходного интегрального уравнения можно принять функцию: [1].
В самом деле, это уравнение можно проинтегрировать по от до :
Решение начальной задачи для линейных дифференциальных уравнений приводит к линейным интегральным уравнениям Вольтерры 2-го рода. Этим ещё в 1837 году воспользовался Лиувилль. Пусть, например, поставлена задача:
Для уравнения с постоянными коэффициентами с теми же начальными условиями:
Исторически считается, что первой задачей, которая привела к необходимости рассмотрения интегральных уравнений, является задача Абеля. В 1823 годуАбель, занимаясь обобщением задачи о таутохроне, пришёл к уравнению:
где — заданная функция, а — искомая. Это уравнение есть частный случай линейного интегрального уравнения Вольтерры 1-го рода. Уравнение Абеля интересно тем, что к нему непосредственно приводит постановка той или иной конкретной задачи механики или физики (минуя дифференциальные уравнения). Например, к уравнению такого вида приводит задача об определении потенциальной энергии по периоду колебаний[2]
У Абеля формулировка задачи выглядела примерно так:
Материальная точка под действием силы тяжести движется в вертикальной плоскости по некоторой кривой. Требуется определить эту кривую так, чтобы материальная точка, начав своё движение без начальной скорости в точке кривой с ординатой , достигла оси за время , где — заданная функция.
Если обозначить угол между касательной к траектории и осью как и применить законы Ньютона, можно прийти к следующему уравнению:
↑ 12Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1976. — С. 214.
↑Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теоретическая физика: учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. I. Механика.. — 5-е изд. стереот.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — С. 42-43. — 224 с. — ISBN 5-9221-0055-6.