Ассоциативная алгебра

Определение ассоциативной алгебры эквивалентно понятию моноид-объекта в категории модулей над R (R-Mod). Кольцо в свою очередь — это моноид-объект в категории абелевых групп; тем самым определение ассоциативной алгебры получается заменой категории абелевых групп на категорию модулей.

В этой интерпретации иногда определяют «обобщённое кольцо» как моноид-объект в другой подходящей категории. Этот подход позволяет не ссылаться на элементы алгебры напрямую. Например, ассоциативность умножения выражается так: по универсальному свойству тензорного произведения модулей, умножению (дву-линейному отображению) сопоставлен один-единственный R-линейный оператор

${\displaystyle m:A\otimes _{R}A\to A}$.

Ассоциативность соответствует равенству:

${\displaystyle m\circ ({\operatorname {id} }\otimes m)=m\circ (m\otimes \operatorname {id} ).}$

Ассоциативная алгебра соответствует гомоморфизму колец с образом в центре: стартуя с кольца A и гомоморфизма η : R → A, чей образ лежит в центре A, определяем структуру R-алгебры посредством

${\displaystyle r\cdot x=\eta (r)x}$

для r ∈ R, x ∈ A. В обратном направлении, если A — R-алгебра, то r ↦ r ⋅ 1 также задаёт гомоморфизм η.

Если кольцо A коммутативно, то оно совпадает со своим центром, и коммутативную R-алгебру можно определить как коммутативное кольцо A с коммутативным гомоморфизмом кольца η : R → A.

Гомоморфизм η называют структурным отображением алгебры. В коммутативном случае категория коммутативных R-алгебр эквивалентна категории гомоморфизмов колец из R (категорически — косслайс-категория от R в категории коммутативных колец). Функтор спектра примитивных идеалов Spec осуществляет антиэквивалентность этой категории с категорией аффинных схем над Spec R.

Ослабление предположения коммутативности — предмет некоммутативной алгебраической геометрии и производной алгебраической геометрии.

• Кольцо матриц с коэффициентами из коммутативного кольца R — R-алгебра относительно матричного сложения и умножения; это частный случай предыдущего, когда M — свободный конечно порождённый R-модуль.
  • В частности, кольцо квадратных n×n матриц над полем K — ассоциативная алгебра над K.
• Комплексные числа — двумерная коммутативная алгебра над вещественными числами.
• Кватернионы — четырёхмерная ассоциативная алгебра над вещественными числами (но не над комплексными, так как комплексные числа не лежат в центре кватернионов).
• Любое кольцо многочленов R[x₁, …, xₙ] — коммутативная R-алгебра; это свободная коммутативная R-алгебра на множестве переменных.
• Свободная алгебра R на множестве E — это алгебра «многочленов» с коэффициентами из R с некоммутирующими переменными из E.
• Тензорная алгебра R-модуля — естественная ассоциативная R-алгебра, как и её частные случаи — внешняя алгебра и симметрическая алгебра. Функтор, сопоставляющий модулю тензорную алгебру, является левым сопряжённым функтору забывания мультипликативной структуры.
• Квази-свободная алгебра, введённая Кунцем и Куилленом, обобщает свободную и полупростую алгебры.

• Универсальная обёртывающая алгебра алгебры Ли — ассоциативная алгебра, используемая для изучения соответствующей алгебры Ли.
• Если G — группа и R — коммутативное кольцо, множество всех функций с конечной поддержкой G→R образует R-алгебру относительно свёрточного умножения; эта алгебра называется групповой алгеброй и важна для построения представлений дискретных групп.
• Если G — алгебраическая группа (например, полупростая комплексная группа Ли), координатное кольцо G есть хопфова алгебра A, ассоциированная с G.
• Квир-алгебра (или алгебра путей) ориентированного графа — свободная ассоциативная алгебра над полем с образующими — путями графа.

• Для любого банахова пространства X алгебра непрерывных линейных операторов A: X → X — ассоциативная алгебра (относительно композиции); это пример банаховой алгебры.
• Для любого топологического пространства X непрерывные функции с действительными или комплексными значениями образуют ассоциативную алгебру (сложение и умножение — поэлементно).
• Множество полумартингалов на фильтрованном вероятностном пространстве (Ω, F, (Fₜ)ₜ≥0, P) образует кольцо относительно стохастического интегрирования.
• Вейлева алгебра
• Алгебра Азумайи

• Алгебра Клиффорда, используемая в геометрии и физике.
• Инцидентная алгебра локально конечных частично упорядоченных множеств используется в комбинаторике.
• Алгебра разбиений и её подалгебры, например алгебра Брауэра и алгебра Темперли — Либа.
• Дифференциально-градуированная алгебра — ассоциативная алгебра с дополнительной градуировкой и дифференциалом; пример — алгебра де Рама Ω(M) = ⨁ₚ=₀ⁿ Ωᵖ(M), где Ωᵖ(M) — модули дифференциальных p-форм на многообразии M.

• Алгебра Пуассона — это коммутативная ассоциативная алгебра над полем, дополненная структурой алгебры Ли с соблюдением правила Лейбница для скобки Ли.
• Пусть 𝔞 — алгебра Пуассона; пространство формальных рядов 𝔞u становится ассоциативной алгеброй с операцией умножения

${\displaystyle f*g=fg-{\frac {1}{2}}\{f,g\}u+\cdots }$

тогда 𝔞u называют деформационным квантованием 𝔞.

• Квантованная обёртывающая алгебра; её двойственная алгебра — ассоциативная алгебра и может рассматриваться как (квантованное) координатное кольцо квантовой группы.
• Алгебра Герштенбергера

Если A артинианова и коммутативна, то она представляется в виде конечного произведения артиниановых локальных колец с остаточными полями — алгебрами над базовым полем. Если локальное кольцо также редуцировано, то это поле. Эквивалентны следующие утверждения:

1. ${\displaystyle A}$ сепарабельно.
2. ${\displaystyle A\otimes {\overline {k}}}$ — редуцировано (здесь ${\displaystyle {\overline {k}}}$ — алгебраическое замыкание поля k).
3. ${\displaystyle A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}}$ для некоторого n.
4. ${\displaystyle \dim _{k}A}$ совпадает с числом гомоморфизмов A→\overline{k} как k-алгебр.

Пусть ${\displaystyle \Gamma =\operatorname {Gal} (k_{s}/k)=\varprojlim \operatorname {Gal} (k'/k)}$ — профинитная группа Галуа всех конечных расширений k. Тогда <${\displaystyle A\mapsto X_{A}=\{k{\text{-гомоморфизмы }}A\to k_{s}\}}$> реализует антиэквивалентность категории конечномерных сепарабельных k-алгебр и конечных гамильтоновых множеств с непрерывным действием группы Галуa.

Простое артинианово кольцо — это полное кольцо матриц над делительным кольцом, так что простая конечномерная алгебра — полная матричная алгебра над делительным k-алгеброй: A = Mₙ(D). Более того, если A полупроста, то она — конечное произведение матричных алгебр (над разными делительными k-алгебрами), что формулируется теоремой Артина — Веддербёрна.

Для артинианова кольца радикал Якобсона — пересечение всех (двусторонних) максимальных идеалов, что упрощает структуру по сравнению с произвольными кольцами.

Основная теорема Веддербёрна: если A — конечномерная алгебра с нильпотентным идеалом I, и проективная размерность A / I как модуля над обёртывающей алгеброй (A/I)^e не выше единицы, то естественный сюръективный гомоморфизм p:A→A/I раскладывается, то есть A содержит подалгебру B, изоморфную A/I. Применяя это для радикала Якобсона, получаем, что радикал комплементируется полупростой алгеброй. Теорема аналогична теорема Леви для алгебр Ли.

Ассоциативная алгебра над полем K — это K-векторное пространство A с билинейным отображением A×A→A (умножение) и морфизмом K→A (отождествление скалярных кратных единицы). В терминах тензорных произведений, умножение реализуется как линейный морфизм A⊗A→A. Эти морфизмы можно формально «продвоить» (заменить направления стрелок в определяющих диаграммах), что приводит к понятию коалгебры.

Есть также более абстрактное понятие F-коалгебры, где F — функтор, частично связанное с обсуждаемым выше.

Пусть даны представления σ: A→End(V), τ: A→End(W). Можно попытаться определить тензорное произведение

${\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)(v))\otimes (\tau (x)(w))}$

Но тогда линейность нарушается, например,

${\displaystyle \rho (kx)=\sigma (kx)\otimes \tau (kx)=k\sigma (x)\otimes k\tau (x)=k^{2}(\sigma (x)\otimes \tau (x))=k^{2}\rho (x)}$

Решить проблему можно введением комультипликации Δ: A→A⊗A и определив ρ = (σ⊗τ)∘Δ. Такая структура называется комультипликацией, и приводит к определению биалгебры. Для совместимости с определением ассоциативной алгебры коалгебра должна быть коассоциативна и коунитальна. Хопфова алгебра — это бивалгебра с дополнительным отображением антипода, что позволяет строить также модуль Hom от представлений и облегчает работу с тензором представлений.

Можно попытаться определить тензорное произведение иначе:

${\displaystyle \rho (x)=\sigma (x)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)}$

То есть

${\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)}$

Это определение линейно по x, но нарушает умножение:

${\displaystyle \rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)}$

а

${\displaystyle \rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)}$

Такое определение слишком наивно; если сделать его антисимметричным, чтобы средние два члена сокращались, возникает алгебра Ли.