где и — вещественнозначные функции комплексного аргумента, называемые соответственно вещественной и мнимой частью функции . В отличие от вещественных функций, между компонентами разложения имеется более глубокая связь, например, для того, чтобы функция была дифференцируема в смысле функции комплексной переменной, должны выполняться условия Коши — Римана:
;
.
Примерами аналитических функций комплексной переменной являются: степенная функция, экспонента, гамма-функция, дзета-функция Римана, хребтовая функция и многие другие, а также обратные им функции и любые их комбинации. Однако действительная часть комплексного числа , мнимая часть , комплексное сопряжение , модуль и аргумент аналитическими функциями комплексного переменного не являются, так как не удовлетворяют условиям Коши — Римана.