Кватернион

Термин происходит от лат. quaterni — по четыре, буквальное значение «четырёхчленное число». Название ввёл сам изобретатель кватернионов Гамильтон.

С начала XIX века, как только появилась геометрическая интерпретация комплексных чисел, математики пытались найти такие числа, которые изображались бы точками трёхмерного пространства. Уже в 1830 году Гамильтон делает первые попытки построить теорию троек таких чисел, триплетов, которые через несколько лет он стал записывать в форме ${\displaystyle x+iy+jz}$. Триплеты соответствуют направленным отрезкам в пространстве. В ходе исследований Гамильтон пришёл к заключению, что нужно рассматривать четвёрки чисел, которые он назвал кватернионами ${\displaystyle xi+yj+zk+u}$ (где ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1}$) и отказаться от коммутативности умножения ${\displaystyle ([a\cdot b]=-[b\cdot a])}$. Это удалось сделать только в конце 1843 году. Всю остальную жизнь (до 1865 г.) Гамильтон посвятил развитию теории кватернионов.

Он был уверен, что создал универсальное исчисление. Хотя теория кватернионов и не заменила собой всю математику (и тем более физику), она связана с несколькими математическими и физическими науками, доставила им важные идеи и стимулировала исследования по важнейшим направлениям^[3]. Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля.

К понятию кватернионов за четверть века до Гамильтона пришёл Гаусс, но он не опубликовал своих открытий. Они увидели свет только в 1900 году. Развитие кватернионов и их приложений в физике следовало по трём путям связанным: с алгебраическим подходом, апологетами которого выступали Кэли, Клиффорд, Б. Пирс, Ч. Пирс и Фробениус; с теорией комплексных кватернионов, представителями которого были Клиффорд, Котельников.

Кватернионы определяют как числа вида ${\displaystyle q=a+bi+cj+dk}$ с законом сложения ${\displaystyle (a+bi+cj+dk)+(a'+b'i+c'j+d'k)=(a+a')+(b+b')i+(c+c')j+(d+d')k}$ и определённым законом умножения чисел ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1}$, описывающим их парные произведения^[4].

Если ввести в обычном пространстве прямоугольную систему координат и обозначить ${\displaystyle i,j,k}$ через векторы длины ${\displaystyle 1}$, выходящие из начала координат и направленные вдоль координатных осей, то любая сумма вида ${\displaystyle bi+cj+dk}$, где ${\displaystyle b,c,d}$ — действительные числа, будет представлять собой некоторый вектор. Этот вектор направлен из начала координат в точку ${\displaystyle M}$ с координатами ${\displaystyle b,c,d}$^[5].

Векторная часть кватерниона

Кватернион ${\displaystyle q=a+bi+cj+dk}$ — это вектор четырёхмерного вещественного пространства. Число ${\displaystyle a}$ называют вещественной частью (скаляром), трёхмерный вектор ${\displaystyle v=bi+cj+dk}$ — векторной (мнимой) частью кватерниона^[6]. Если ${\displaystyle a=0}$ то кватернион называется чисто векторным, а при ${\displaystyle bi+cj+dk=0}$ — чисто скалярным.

Кватернионы можно определить как выражения вида ${\displaystyle \ q=z_{1}+z_{2}j}$, где ${\displaystyle \ z_{1},z_{2}}$ — произвольные комплексные числа, а ${\displaystyle j}$ — некоторый символ, причём закон умножения таких выражений задаётся формулой ${\displaystyle qr=(z_{1}w_{1}-{\bar {w_{2}}}z_{2})+(w_{2}z_{1}+z_{2}{\bar {w_{1}}})j}$, где ${\displaystyle r=w_{1}+w_{2}j}$ — ещё один кватернион^[7].

Для любых кватернионов ${\displaystyle p,q,r}$ имеют место следующие равенства:

• ${\displaystyle p+q=q+p}$ — коммутативность по сложению;
• ${\displaystyle (p+q)+r=p+(q+r)}$ — ассоциативность по сложению;
• ${\displaystyle (p\cdot q)\cdot r=p\cdot (q\cdot r)}$ — ассоциативность по умножению;
• ${\displaystyle p\cdot (q+r)=p\cdot q+p\cdot r}$ — дистрибутивность^[6].

Чтобы описать правила умножения кватернионов, указывают, чему равны все возможные парные произведения чисел ${\displaystyle i,j,k}$:

${\displaystyle {\begin{matrix}{ij=k},&{ji=-k},\\{jk=i},&{kj=-i},\\{ki=j},&{ik=-j}.\end{matrix}}}$

На рисунке ниже кватернионы ${\displaystyle i,j,k}$ изображены тремя точками окружности, расположенными по направлению движения часовой стрелки. Произведение любых двух чисел из тройки равно третьему, если движение от первого множителя ко второму происходит по часовой стрелке, и равно третьему со знаком минус, если движение происходит против часовой стрелки. Можно заметить, что коммутативность (переместительный закон умножения) здесь отсутствует.

Рисунок иллюстрирует правило умножения кватернионов

Ассоциативность умножения кватернионов

Хотя умножение кватернионов не коммутативно, однако при их умножении выполняется закон ассоциативности (сочетательный закон): ${\displaystyle (q_{1}q_{2})q_{3}=q_{1}(q_{2}q_{3})}$^[4].

Для кватерниона ${\displaystyle q=a+bi+cj+dk}$ сопряжённым ему называется кватернион ${\displaystyle {\bar {q}}=a-bi-cj-dk.}$ Произведение сопряжённых кватернионов ${\displaystyle q{\bar {q}}}$ является действительным числом: ${\displaystyle q{\bar {q}}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$. Это действительное число называется нормой кватерниона и обозначается ${\displaystyle N}$.

Свойства операции сопряжения:

• Сопряжённое к сумме равно сумме сопряжённых: ${\displaystyle {\overline {q_{1}+q_{2}}}={\bar {q}}_{1}+{\bar {q}}_{2}}$ .

• Сопряжённое к произведению равно произведению сопряжённых, взятых в обратном порядке: ${\displaystyle {\overline {q_{1}q_{2}}}={\bar {q}}_{2}{\bar {q}}_{1}}$^[8].

По аналогии с комплексными числами, модулем кватерниона ${\displaystyle q}$ называют ${\displaystyle \left|q\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}$. С помощью этой формулы произведение сопряжённых кватернионов записывают так: ${\displaystyle q{\bar {q}}=\left|q\right|^{2}}$^[8].

Важное свойство кватернионов состоит в том, что модуль произведения кватернионов равен произведению их модулей. При доказательстве этого свойства, как и в случае комплексных чисел используется формула и свойство ассоциативности умножения кватернионов: ${\displaystyle \left|q_{1}q_{2}\right|^{2}=(q_{1}q_{2}){\overline {(q_{1}q_{2})}}=(q_{1}q_{2})({\bar {q}}_{2}{\bar {q}}_{1})=q_{1}(q_{2}{\bar {q}}_{2}){\bar {q}}_{1}=|q_{1}|^{2}|q_{2}|^{2}}$.

Пусть даны два кватерниона ${\displaystyle q_{1}=a_{1}+a_{2}i+a_{3}j+a_{4}k}$ и ${\displaystyle q_{2}=b_{1}+b_{2}i+b_{3}j+b_{4}k}$. Используя свойства модулей кватернионов ${\displaystyle \left|q_{1}q_{2}\right|^{2}=|q_{1}|^{2}|q_{2}|^{2}}$получают следующее тождество^[9]: ${\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=}$${\displaystyle (a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}}$.

Произведение суммы четырёх квадратов на сумму четырёх квадратов есть снова сумма четырёх квадратов.

Существуют отличия в делении кватернионов и делении комплексных чисел. Для комплексных чисел частным от деления ${\displaystyle z_{1}}$ на ${\displaystyle z_{2}}$ называется решение уравнения ${\displaystyle z_{2}x=z_{1}}$. Но для кватернионов произведение зависит от порядка сомножителей, поэтому вместо одного уравнения рассматривают два: ${\displaystyle q_{2}x=q_{1}}$ и ${\displaystyle xq_{2}=q_{1}}$. Соответственно этому решение первого уравнения называют левым частным от деления ${\displaystyle q_{1}}$ на ${\displaystyle q_{2}}$ и обозначают ${\displaystyle x_{\text{л}}}$, а решение второго — правым частным ${\displaystyle x_{\text{п}}}$ и вычисляют их по следующим формулам:

${\displaystyle x_{\text{л}}={\frac {1}{\left|q_{2}\right|^{2}}}{\bar {q}}_{2}q_{1}}$ и ${\displaystyle x_{\text{п}}={\frac {1}{\left|q_{2}\right|^{2}}}q_{1}{\bar {q}}_{2}}$^[10].

Пусть даны два чисто векторных кватерниона ${\displaystyle q_{1}=b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k}$ и ${\displaystyle q_{2}=b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k}$. Перемножая их по правилу умножения кватернионов, получают: ${\displaystyle q_{1}q_{2}=-(b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2})+(c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})i+(d_{1}b_{2}-b_{1}d_{2})j+(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})k}$ .

Скалярное произведение векторов ${\displaystyle q_{1}}$ и ${\displaystyle q_{2}}$, обозначаемое как ${\displaystyle (q_{1},q_{2})}$, равно: ${\displaystyle (q_{1},q_{2})=|q_{1}||q_{2}|\cos \varphi =b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}}$. Таким образом, действительная часть произведения векторных кватернионов ${\displaystyle q_{1}}$ и ${\displaystyle q_{2}}$ равна взятому со знаком минус их скалярному произведению.

Если векторы ${\displaystyle q_{1}}$ и ${\displaystyle q_{2}}$ перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю ${\displaystyle (\varphi =\pi /2,\cos \varphi =0)}$, следовательно, равна нулю и действительная часть произведения ${\displaystyle q_{1}q_{2}}$. В этом случае ${\displaystyle q_{1}q_{2}}$ будет чисто векторным кватернионом. Обратное утверждение тоже верно.

Векторное произведение векторов ${\displaystyle q_{1}}$ и ${\displaystyle q_{2}}$, обозначаемое как ${\displaystyle [q_{1},q_{2}]}$, равно: ${\displaystyle [q_{1},q_{2}]=(c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})i+(d_{1}b_{2}-b_{1}d_{2})j+(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})k}$.

Его геометрический смысл в том, что вектор ${\displaystyle [q_{1},q_{2}]}$ перпендикулярен каждому из векторов ${\displaystyle q_{1}}$ и ${\displaystyle q_{2}}$, а длина его равна ${\displaystyle |q_{1}||q_{2}|\sin \varphi }$ или, что то же, — площади ${\displaystyle S}$ параллелограмма, построенного на векторах ${\displaystyle q_{1}}$ и ${\displaystyle q_{2}}$.

Для умножения чисто векторных кватернионов справедлива формула ${\displaystyle q_{1}q_{2}=-(q_{1},q_{2})+[q_{1},q_{2}]}$, где ${\displaystyle (q_{1},q_{2})}$ — скалярное, а ${\displaystyle [q_{1},q_{2}]}$ — векторное произведение векторов  ${\displaystyle q_{1}}$ и  ${\displaystyle q_{2}}$. 

Аналогично тому, как кватернионы получаются удвоением комплексных чисел, можно получить октавы, исходя из кватернионов и определять октавы как «удвоенные» кватернионы. Процедуру удвоения часто называют процедурой Кэли— Диксона, по именам математиков А. Кэли — автора системы октав — и Л. Диксона, впервые рассмотревшего эту процедуру.

Процедура удвоения для кватернионов

Пусть дан произвольный кватернион ${\displaystyle q=a+bi+cj+dk}$. Пользуясь таблицей умножения кватернионов, где ${\displaystyle ij=k}$, можно представить данный кватернион в виде: ${\displaystyle q=(a+bi)+(c+di)j}$ или ${\displaystyle \ q=z_{1}+z_{2}j}$, где ${\displaystyle z_{1}=a+bi}$, ${\displaystyle z_{2}=c+di}$. Поскольку ${\displaystyle i^{2}=-1}$, то все кватернионы ${\displaystyle a+bi}$, в частности, ${\displaystyle z_{1}}$ и ${\displaystyle z_{2}}$, можно трактовать как комплексные числа. Это означает, что система кватернионов есть удвоение системы комплексных чисел.

Определение октав через кватернионы

Система октав есть удвоение системы кватернионов: ${\displaystyle q_{1}+q_{2}e}$, где ${\displaystyle q_{1}}$ и ${\displaystyle q_{2}}$ — произвольные кватернионы.

Вещественные матрицы

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\;a&-d&\;\;c\\c&\;\;d&\;\;a&-b\\d&-c&\;\;b&\;\;a\end{pmatrix}}.}$

При такой записи:

• сопряжённому кватерниону соответствует транспонированная матрица: ${\displaystyle {\bar {q}}\mapsto Q^{T}}$;
• четвёртая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей матрицы: ${\displaystyle \left|q\right|^{4}=\det Q.}$

Комплексные матрицы

Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\;\;\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\;\;a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}},}$ где ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$ и ${\displaystyle {\bar {\beta }}}$ обозначают комплексно-сопряжённые числа к ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$.

Такое представление имеет следующие свойства:

• комплексному числу соответствует диагональная матрица;
• сопряжённому кватерниону соответствует сопряжённая транспонированная матрица: ${\displaystyle {\bar {q}}\mapsto {\bar {Q}}^{T}}$;
• квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы: ${\displaystyle \left|q\right|^{2}=\det Q.}$

Представление произвольного поворота в пространстве с помощью кватернионов

Поворот вокруг оси ${\displaystyle p}$ любого вектора ${\displaystyle v}$ можно записать в кватернионной форме: ${\displaystyle qvq^{-1}}$, где ${\displaystyle q^{-1}}$ — кватернион, обратный ${\displaystyle q}$, такой, что ${\displaystyle qq^{-1}=1}$.

Вектор ${\displaystyle qvq^{-1}}$ получается из ${\displaystyle v}$ поворотом вокруг оси ${\displaystyle p}$ на угол ${\displaystyle 2\varphi }$ (см. рисунок).

Вектор ${\displaystyle qvq^{-1}}$ получается из ${\displaystyle v}$ поворотом вокруг оси ${\displaystyle p}$ на угол ${\displaystyle 2\varphi }$.

При повороте вокруг оси ${\displaystyle p}$ на угол ${\displaystyle 2\varphi }$ произвольный вектор ${\displaystyle v}$ переходит в ${\displaystyle qvq^{-1}}$, где ${\displaystyle q=\cos \varphi +p\sin \varphi }$. 

Учитывая это, говорят, что указанный поворот соответствует кватерниону ${\displaystyle q}$^[11].

Используя понятие нормы, это правило формулируют так^[12]:

Любое вращение трёхмерного пространства вокруг начала координат может быть задано при помощи кватерниона ${\displaystyle P}$ с нормой ${\displaystyle 1}$. Вращение, соответствующее ${\displaystyle P}$, переводит вектор ${\displaystyle X=x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k}$  в вектор ${\displaystyle Y=y_{1}i+y_{2}j+y_{3}k=PXP^{-1}}$.

Последовательные повороты

В результате последовательного выполнения двух поворотов, соответствующих кватернионам ${\displaystyle q_{1}}$и ${\displaystyle q_{2}}$, получается третий поворот, соответствующий кватерниону ${\displaystyle q_{2}q_{1}}$.

Кватернионы образуют четырёхмерную ассоциативную (но не коммутативную) алгебру ${\displaystyle \mathbb {H} }$ над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ действительных чисел. Причём это — единственная ассоциативная некоммутативная алгебра над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ без делителей нуля, то есть в ней определено деление. Алгебра кватернионов является примером тела, то есть кольца с делением и единицей^[12].

Алгебра кватернионов, наряду с алгеброй всех комплексных чисел и алгеброй октав, наиболее близка к своей первооснове — алгебре всех действительных чисел. Алгебра ${\displaystyle \mathbb {H} }$ — нормированная или алгебра с единицей, в которой можно ввести скалярное произведение так, чтобы выполнялось правило «норма произведения равна произведению норм». Этот факт составляет содержание теоремы Гурвица^[13].

Базис алгебры кватернионов состоит из четырёх элементов ${\displaystyle 1,i,j,k}$ (называемых базисными кватернионами), если порождающими операциями являются сложение и умножение на действительные числа. Если же кроме этих операций используется ещё и умножение кватернионов, то базис состоит лишь из трёх элементов ${\displaystyle 1,i,j}$ (ибо ${\displaystyle k=ij}$)^[14].

При решении некоторых задач возможно использование записи кватерниона ${\displaystyle q=q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k}$ в тригонометрической форме: ${\displaystyle q=|q|\cdot (\cos \varphi +{\bar {a_{0}}}\sin \varphi )}$, где ${\displaystyle |q|={\sqrt {q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}}}$ — длина кватерниона как четырёхмерного вектора, ${\displaystyle \varphi =\arg q=\arccos {\frac {q_{0}}{|q|}}}$ — аргумент кватерниона ${\displaystyle q}$, который есть угол в четырёхмерном пространстве между кватернионом и вещественной единицей, ${\displaystyle {\bar {a_{0}}}}$ − вектор единичной длины в трёхмерном пространстве — направляющий вектор векторной части кватерниона. Можно переписать это представление в виде ${\displaystyle q=a+|v|i=|q|e^{i\,\mathrm {arg} \,q}.}$

Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Их теория полностью аналогична. Кватернионно леводифференцируемая функция ${\displaystyle f}$ определяется как

${\displaystyle {\frac {df}{dq}}=\lim _{h\to 0}\left[h^{-1}\left(f\left(q+h\right)-f\left(q\right)\right)\right]}$.

Все такие функции имеют в некоторой окрестности точки ${\displaystyle q}$ вид ${\displaystyle f=a+qb}$, где ${\displaystyle a,b}$ — постоянные кватернионы.

Другой способ основан на использовании операторов

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {q}}}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\vec {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\vec {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}={\frac {\partial }{\partial t}}-{\vec {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}-{\vec {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}-{\vec {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}}$

и рассмотрении таких кватернионных функций ${\displaystyle f}$, для которых ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {q}}}}=0}$, что полностью аналогично использованию операторов ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}}$ в комплексном случае. При этом получаются аналоги интегральной теоремы Коши, теории вычетов, гармонических функций и рядов Лорана для кватернионных функций.

Открытие кватернионов в середине XIX века дало толчок разнообразным исследованиям в области математики и физики. В частности, благодаря кватернионам возникла чрезвычайно плодотворная область математики — векторная алгебра^[5].

Анри Пуанкаре писал о кватернионах: «Их появление дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и линейного оператора, пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал Лобачевский в геометрии». Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике — например, при создании трёхмерной графики. На основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ (Гиббс, Хевисайд).

В XX веке кватернионы нашли применение в компьютерной графике и программировании игр^[15], а также в вычислительной механике^[16][17], в инерциальной навигации и теории управления^[18][19].