Математический анализ

Предшественниками математического анализа были античный метод исчерпывания, восходящий к Евдоксу и Архимеду, и метод неделимых Кавальери (1635). Их роднит общая идея: разложение фигуры или величины на бесконечно малые элементы, природа которых, впрочем, оставалась неясной^[2].

Алгебраический подход к исчислению бесконечно малых складывается у Валлиса, Джеймса Грегори и Барроу, который уже располагал геометрической формой связи между задачами о касательной и о площади.

Новое исчисление как систему создал Исаак Ньютон (метод флюксий, около 1665—1666), однако долгое время не публиковал своих результатов^[3]. Официальной датой рождения дифференциального исчисления считается май 1684 года, когда Лейбниц опубликовал статью «Новый метод максимумов и минимумов…»^[4]. Ньютон исходил из представления о непрерывно текущих величинах, Лейбниц — из алгебры дифференциалов; предложенные Лейбницем обозначения ${\displaystyle dx}$ и ${\displaystyle \int }$ оказались настолько удачными, что употребляются до сих пор.

В конце XVII века вокруг Лейбница складывается кружок, виднейшими представителями которого были братья Якоб и Иоганн Бернулли и Лопиталь. В 1696 году Лопиталь издал первый учебник — «Анализ бесконечно малых», давший название всему разделу^[5]. Изложение опиралось на понятие переменных величин, а дифференциал определялся как «бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина».

Термин «функция» появляется у Лейбница в 1692 году, но на первые роли его выдвинул Леонард Эйлер. В «Введении в анализ бесконечных» (1748) он определил функцию как аналитическое выражение, составленное из переменной и постоянных^[6]. Пользуясь такой техникой, Эйлер вывел разложения элементарных функций в ряды, получил свою знаменитую формулу ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$ и ввёл ряд новых функций (гамма-функцию, эллиптические функции).

Стремясь избавиться от интуитивных бесконечно малых, Лагранж в «Теории аналитических функций» (1797) положил в основу разложение в ряд, назвав коэффициент при ${\displaystyle h}$ производной и обозначив его ${\displaystyle f'(x)}$. Он впервые вывел формулу Тейлора с остаточным членом, носящим его имя. Однако его предпосылка о том, что всякая функция разлагается в степенной ряд, оказалась неверной (контрпример: ${\displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}}}$ при ${\displaystyle x\neq 0}$ и ${\displaystyle f(0)=0}$).

Решающий шаг к строгости сделал Огюстен Луи Коши. В «Курсе анализа» (1821) он положил в основу всего построения понятие предела, определив через него непрерывность, производную и интеграл^[7]. У Коши бесконечно малая перестала быть «актуально малой величиной» и стала переменной, стремящейся к нулю.

Наибольший вклад в строгость внёс Карл Вейерштрасс. Полагая геометрическую наглядность ненадёжной, он в 1860—1880-х годах провёл арифметизацию анализа: свёл все понятия к арифметике вещественных чисел и предложил современное определение предела на языке ε—δ. Он же построил строгую теорию вещественного числа и доказал ряд основополагающих теорем (о промежуточном значении, о достижении точных граней, о равномерной аппроксимации). Построенный им в 1872 году пример непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции окончательно утвердил необходимость строгих определений.

Работы Дедекинда и Кантора (1872) завершили построение теории вещественного числа, а созданная Кантором теория множеств дала анализу общий язык. В начале XX века французская математическая школа (Жордан, Бورель, Лебег, Бэр) создала теорию меры и интеграл Лебега, что дало начало функциональному анализу.

В 1900-е годы Фредгольм и Гильберт заложили основы спектральной теории, а Фреше ввёл абстрактные метрические пространства. В 1910—1930-е годы сформировалась общая теория нормированных пространств (Банах, Рис), а в 1936 году Соболев сформулировал понятие обобщённой функции.

Начиная со второй половины XX века, к анализу примкнул «глобальный анализ» (анализ на многообразиях, теория катастроф). В 1960-х годах Робинсон создал нестандартный анализ, придавший строгий логический смысл интуиции Лейбница и Эйлера о бесконечно малых величинах^[8].

Все основные теоремы анализа опираются на полноту множества вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, отличающую его от множества рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Полнота может быть введена аксиоматически в нескольких эквивалентных формах^[9]:

• аксиома непрерывности (принцип Дедекинда);
• существование точной верхней границы (супремума);
• принцип вложенных отрезков (Кантора);
• критерий Коши: всякая фундаментальная последовательность сходится.

Из полноты выводятся теорема Больцано — Вейерштрасса и лемма Гейне — Бореля, выражающая компактность отрезка и служащая основным техническим средством при доказательстве теорем о непрерывных функциях.

Понятие предела составляет ядро анализа. Определение на языке «эпсилон — дельта», окончательно оформленное Вейерштрассом, гласит: число ${\displaystyle A}$ есть предел функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle a}$, если

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\ \left(0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon \right).}$

Функция называется непрерывной в точке, если предел в ней существует и равен значению функции. Непрерывность допускает и топологическую формулировку: прообраз всякого открытого множества открыт. Для непрерывных функций на отрезке справедливы: теорема Больцано — Коши, теорема Вейерштрасса (об ограниченности и достижении граней) и теорема Кантора.

Определённый интеграл в смысле Римана вводится через суммы Дарбу. Точный ответ на вопрос, какие функции интегрируемы, даёт критерий Лебега: ограниченная на отрезке функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда множество её точек разрыва имеет меру нуль.

Эти трудности устраняет интеграл Лебега, построенный на разбиении не области определения, а области значений. Он определён для более широкого класса функций (например, функция Дирихле интегрируема по Лебегу с интегралом 0) и допускает мощные теоремы о предельном переходе: теорему Леви, лемму Фату и теорему Лебега о мажорируемой сходимости. Пространства ${\displaystyle L^{p}}$ интегрируемых функций полны, что делает их основой функционального анализа.

Для последовательностей функций существенно различать поточечную и равномерную сходимость. Лишь равномерная сходимость сохраняет непрерывность и допускает почленное интегрирование и дифференцирование.

Развитие теории сопровождалось построением примеров, опровергавших казавшиеся очевидными утверждения:

• Функция Вейерштрасса: непрерывна всюду и не дифференцируема ни в одной точке, что разрушило убеждение, будто непрерывная функция дифференцируема всюду, кроме отдельных точек.
• Канторово множество: несчётно (имеет мощность континуума), но его мера равна нулю. Пример показал, что мощность множества и его мера — независимые характеристики.
• Гладкая, но не аналитическая функция ${\displaystyle e^{-1/x^{2}}}$: имеет в нуле все производные, равные нулю, поэтому её ряд Тейлора тождественно равен нулю и не представляет функцию ни в какой окрестности.

Изучает производные функций, их свойства и приложения. Производная функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle a}$ определяется как предел разностного отношения:

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Геометрически она равна угловому коэффициенту касательной к графику, а механически (если аргумент — время) — мгновенной скорости.

Основные теоремы: Теорема Ферма, Теорема Ролля, Теорема Лагранжа и Формула Тейлора. Для функций нескольких переменных вводятся понятия частной производной, дифференциала, градиента и матрица Гессе для исследования экстремумов. Задачи на условный экстремум решаются методом множителей Лагранжа.

Функция ${\displaystyle F}$ называется первообразной функции ${\displaystyle f}$, если ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$. Совокупность всех первообразных называется неопределённым интегралом.

Определённый интеграл вводится как предел интегральных сумм Римана. Основная теорема анализа (Формула Ньютона — Лейбница) связывает дифференцирование и интегрирование:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a),}$

где ${\displaystyle F}$ — первообразная функции ${\displaystyle f}$. Геометрически для неотрицательной функции интеграл равен площади криволинейной трапеции.

Для функций многих переменных определяются кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, связанные между собой классическими интегральными теоремами: Грина, Остроградского — Гаусса и Стокса, которые являются частными случаями общей формулы Стокса для дифференциальных форм.

Числовой ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ называется сходящимся, если существует конечный предел его частичных сумм. Для функциональных рядов критически важно различать поточечную и равномерную сходимость. Степенные ряды сходятся в круге, радиус которого находится по формуле Коши — Адамара; ряды Фурье дают разложение по тригонометрической системе и лежат в основе гармонического анализа.

Практически все понятия классической механики формулируются на языке анализа: скорость — производная координаты по времени, ускорение — вторая производная, а второй закон Ньютона ${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} }$ представляет собой дифференциальное уравнение. Работа переменной силы, масса тела по известной плотности, моменты инерции и потенциальная энергия выражаются интегралами.

Уравнения Максвелла и уравнения общей теории относительности записываются средствами дифференциального исчисления функций нескольких переменных; уравнения теплопроводности, волновое и Лапласа составляют предмет математической физики.

В химии анализ применяется для описания скоростей реакций и радиоактивного распада; в биологии — для моделей динамики популяций; в медицине — при расчёте дозирования препаратов и оптимального угла ветвления кровеносных сосудов; в экономике — при исследовании предельных издержек и предельного дохода, а также в задачах оптимизации.

Анализ служит основой численных методов: приближённого решения уравнений (метод Ньютона, метод простой итерации), численного интегрирования (формула трапеций, формула Симпсона), решения дифференциальных уравнений (метод Эйлера, методы Рунге — Кутты). Оценки погрешности этих методов опираются на формулу Тейлора.

Средствами анализа изучаются кривые и поверхности, а объединение анализа с линейной алгеброй приводит к методу наименьших квадратов и функциональному анализу. В теории вероятностей непрерывные распределения задаются плотностями, а математическое ожидание — интегралом. Дифференциальная геометрия и теория дифференциальных уравнений выросли непосредственно из классического анализа.