Теорема о промежуточном значении

Теорема о промежуточном значении (теорема Больцано — Коши) — классическая теорема математического анализа, согласно которой непрерывная на отрезке функция принимает любое значение, заключённое между значениями на его концах.

Для непрерывной на отрезке [a,b] функции f, если f(a) ≠ f(b), то для любого числа C между f(a) и f(b) найдётся точка x, для которой f(x) = C.

Для непрерывной функции на числовом промежутке любое число между точной нижней и точной верхней границей множества её значений имеет прообраз. Это обобщает классическую теорему, где вместо концов отрезка используются границы всего множества значений.

Если непрерывная на отрезке функция принимает на концах значения разных знаков, то внутри отрезка существует точка, в которой функция обращается в ноль. Это частный случай теоремы о промежуточном значении при C = 0.

Непрерывная функция на связном топологическом пространстве принимает любое значение, лежащее между двумя любыми своими значениями. Это следует из того, что образ связного пространства при непрерывном отображении связен, а теорема о промежуточном значении оказывается частным случаем этого топологического факта.

Теорема сформулирована независимо друг от друга в начале XIX века чешским математиком Бернардом Больцано и французским математиком Огюстеном Коши.

Теоре́ма о промежу́точном значе́нии (или Теоре́ма Больца́но — Коши́) утверждает, что функция, непрерывная на отрезке, принимает на нём любое значение, заключённое между значениями, которые она принимает на концах отрезка^[1].

Пусть дана непрерывная функция на отрезке $f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )}.$ Пусть также $f(a)\neq f(b),$ и без ограничения общности предположим, что $f(a)=A<B=f(b).$ Тогда для любого $C\in [A,B]$ существует $c\in [a,b]$ такое, что $f(c)=C$ .

Доказательство

Рассмотрим функцию $g(x)=f(x)-C.$ Она непрерывна на отрезке $[a,b]$ и $g(a)<0$ , $g(b)>0.$ Покажем, что существует такая точка $c\in [a,b]$ , что $g(c)=0.$ Разделим отрезок $[a,b]$ точкой $x_{0}$ на два равных по длине отрезка, тогда либо $g(x_{0})=0$ и нужная точка $c=x_{0}$ найдена, либо $g(x_{0})\neq 0$ и тогда на концах одного из полученных промежутков функция $g(x)$ принимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше).

Обозначив полученный отрезок $[a_{1},b_{1}]$ , разделим его снова на два равных по длине отрезка и т. д. Тогда либо через конечное число шагов придём к искомой точке $c$ , либо получим последовательность вложенных отрезков $[a_{n},b_{n}]$ по длине стремящихся к нулю и таких, что

$g(a_{n})<0<g(b_{n}).$

Пусть $c$ — общая точка всех отрезков (согласно принципу Кантора, она существует и единственна) $[a_{n},b_{n}]$ , $n=1,2,...$ Тогда $c=\lim a_{n}=\lim b_{n},$ и в силу непрерывности функции $g(x):$

$g(c)=\lim g(a_{n})=\lim g(b_{n}).$

Поскольку

$\lim g(a_{n})\leq 0\leq \lim g(b_{n}),$

получим, что $g(c)=0.$

Пусть функция $f$ непрерывна на числовом промежутке $X$ и пусть $\inf _{x\in X}f(x)=m\in {\overline {\mathbb {R} }}$ , $\sup _{x\in X}f(x)=M\in {\overline {\mathbb {R} }}$ . Напомним, что инфинумом $\inf X$ и супремумом $\sup X$ называются точная нижняя граница (нижняя грань) и точная верхняя граница (верхняя грань) множества соответственно^[2]. Тогда теорема утверждает следующее:

$\forall y_{0}\in (m,M)$ $\exists x_{0}\in X:f(x_{0})=y_{0}$ .

Доказательство

Пусть задано произвольное число $y_{0}\in (m,M)$ . Так как $m<y_{0}$ , то из определения инфимума следует: $\exists x_{1}\in X:f(x_{1})<y_{0}$ . Так как $M>y_{0}$ , то из определения супремума следует: $\exists x_{2}\in X:f(x_{2})>y_{0}$ . По теореме Больцано — Коши о промежуточном значении существует точка $x_{0}$ , лежащая на отрезке с концами $x_{1},x_{2}$ (а значит, поскольку $X$ — числовой промежуток, то $x_{0}\in X$ ) и такая, что $f(x_{0})=y_{0}$ .

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и числа $f(a)$ , $f(b)$ не равны нулю и имеют разные знаки, то на интервале $(a,b)$ имеется по крайней мере одна точка $c$ такая, чтo $f(c)=0$ ^[3].

Теорема о промежуточном значении допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция $f\colon X\to \mathbb {R}$ , определённая на связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Формальная запись: пусть дано связное топологическое пространство $(X,{\mathcal {T}}),$ и функция $f\in C(X).$ Пусть $x_{1},x_{2}\in X,\;f(x_{1})=y_{1},\;f(x_{2})=y_{2},$ и $y_{1}<y_{2}.$ Тогда

\forall y\in [y_{1},y_{2}]\;\exists x\in X\;f(x)=y.

В такой формулировке теорема является частным случаем теоремы о том, что образ связного множества при непрерывном отображении связен^[4].

Эта теорема относится к классическим теоремам математического анализа. Она была сформулирована в начале XIX века независимо друг от друга чешским математиком Бернардом Больцано и французским математиком Огюстеном Коши.

↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах) / Гл. ред. И.М. Виноградов. — М.: Издательство «Советская энциклопедия», 1984. — Т. 3. — С. 984. — 1184 с.
↑ Иванов Г. Е. Лекции по математическому анализу. Часть 1. — М.: МФТИ, 2017. — С. 60—61. — 340 с.
↑ Никольский С. Н. Курс математического анализа. — М.: Наука, 1983. — Т. 1. — С. 112—113. — 468 с.
↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах) / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Издательство «Советская энциклопедия», 1984. — Т. 3. — С. 986.

Математическая энциклопедия (в 5 томах) / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Издательство «Советская энциклопедия», 1984.
Богданов Ю. С., Кастрица О. А., Сыроид Ю. Б. Математический анализ: Учебное пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.
Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — 528 с.
Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М., 1977. — 368 с.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976. — 543 с.
Никольский С.М. Курс математического анализа. — М.: Наука, 1983. — Т. 1. — С. 112—113. — 468 с.

[1] Математическая энциклопедия (в 5 томах) / Гл. ред. И.М. Виноградов. — М.: Издательство «Советская энциклопедия», 1984. — Т. 3. — С. 984. — 1184 с.

[2] Иванов Г. Е. Лекции по математическому анализу. Часть 1. — М.: МФТИ, 2017. — С. 60—61. — 340 с.

[3] Никольский С. Н. Курс математического анализа. — М.: Наука, 1983. — Т. 1. — С. 112—113. — 468 с.

[4] Математическая энциклопедия (в 5 томах) / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Издательство «Советская энциклопедия», 1984. — Т. 3. — С. 986.

[1]

[2]

[3]

[4]

Теорема о промежуточном значении

Формулировка

Обобщённая теорема о промежуточном значении

Следствия

Обобщение

История

См. также

Примечания

Литература

Категории