Производная (математика)

Название производная (фр. dérivée) ввёл французский математик Лагранж (1797 г.). Вместе с этим термином в математический язык вошли также названия вторая производная, третья и т. д. В русский язык этот термин ввёл Василий Иванович Висковатов (1810 г.). Таблицы производных появились в учебниках позднее, чем таблицы интегралов. Одним из самых первых курсов дифференциального исчисления, где приведена такая таблица, был «Курс математики по Серре, Фидлеру, Сальмону», изданный в Одессе в 1881 году. Частные производные появились уже в XVII веке в трудах Ньютона, Лейбница, Я. и И. Бернулли без каких-либо оговорок, правил и особых символов^[2].

Производной функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в данной фиксированной точке ${\displaystyle x}$ называется предел при ${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$ разностного отношения приращения ${\displaystyle \Delta y}$ функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в этой точке к соответствующему приращению аргумента ${\displaystyle \Delta x}$ (при условии, что этот предел существует). ${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$, где ${\displaystyle f'(x)}$ — производная функции ${\displaystyle y=f(x)}$.

Производная обозначается символами ${\displaystyle y'}$, ${\displaystyle y'_{x}}$, ${\displaystyle f'(x)}$, ${\displaystyle y'(x)}$. Используются также обозначения ${\displaystyle df(x) \over dx}$, ${\displaystyle dy \over dx}$, ${\displaystyle {d \over dx}f(x)}$^[3].

Операцию вычисления производной называют дифференцированием. Если производная ${\displaystyle f'(x_{0})}$ конечна, то функцию ${\displaystyle f(x)}$ называют дифференцируемой в точке ${\displaystyle x_{0}}$. Функцию, дифференцируемую в каждой точке некоторого множества, называют дифференцируемой на этом множестве. Для нахождения производных основных элементарных функций используют таблицы производных.

• Для нахождения их сумм/разности, произведения/частного применяют следующие правила дифференцирования:

Если функции ${\displaystyle u(x)}$ и ${\displaystyle v(x)}$ дифференцируемы в точке ${\displaystyle x_{0}}$, то функции ${\displaystyle cu}$ (где ${\displaystyle c={\mathsf {const}}}$), ${\displaystyle u\pm v}$, ${\displaystyle uv}$, ${\displaystyle u/v}$ (${\displaystyle v\neq 0}$) также дифференцируемы в этой точке, причём ${\displaystyle {\begin{array}{lcl}(cu)'=cu',\\(u\pm v)'=u'+v',\\(uv)'=u'v+uv',\\{\Bigl (}{\frac {u}{v}}{\Bigr )}'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}\end{array}}}$.

• Сложную функцию дифференцируют, опираясь на теорему о производной сложной функции:

Если функция ${\displaystyle y=f(u)}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle u_{0}}$, а функция ${\displaystyle \varphi (x)}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle x_{0}}$, причём ${\displaystyle u_{0}=\varphi (x_{0})}$, то сложная функция ${\displaystyle y=f(\varphi (x))}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle y'_{x}=f'(u_{0})\varphi '(x_{0})}$ или, в другой записи, ${\displaystyle {dy \over dx}={dy \over du}{du \over dx}}$.

• Дифференцирование функции, обратной данной, производится согласно теореме о производной обратной функции:

Если ${\displaystyle y=f(x)}$ и ${\displaystyle x={\text{g}}(y)}$ — две взаимно обратные возрастающие (или убывающие) функции, заданные на некоторых интервалах, и существует конечная производная ${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$, то в точке ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$ существует конечная производная ${\displaystyle {\text{g}}'(y_{0})={\frac {1}{f'(x_{0})}}}$ или, в другой записи, ${\displaystyle {dx \over dy}={1 \over {dy \over dx}}}$.

Эта теорема допускает обобщение: если при выполнении прочих условий ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ (${\displaystyle f'(x_{0})=\infty }$), то ${\displaystyle {\text{g}}'(y_{0})=\infty }$ (соответственно ${\displaystyle {\text{g}}'(y_{0})=0}$)^[4].

Если функция ${\displaystyle y=f(x)}$ имеет в данной фиксированной точке ${\displaystyle x_{0}}$ производную, то существует касательная к графику функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в точке с координатами ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$, причём угловой коэффициент этой касательной (то есть тангенс угла наклона её к оси ${\displaystyle Ox}$) равен производной. (рис .1).

Рис. 1

Пусть действительная функция ${\displaystyle f(x)}$ определена на некотором множестве ${\displaystyle E}$ действительных чисел, ${\displaystyle x_{0}}$ — предельная точка этого множества, ${\displaystyle x_{0}\in E}$. Тогда производной от функции ${\displaystyle f(x)}$ по множеству ${\displaystyle E}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ называется конечный или бесконечный предел ${\displaystyle f'_{E}(x_{0})=\lim _{x\rightarrow x_{0},x\in E}{\frac {f(x)-f({x}_{0})}{x-x_{0}}}}$.

Определяются односторонние производные с использованием понятия левый (левосторонний) и правый (правосторонний) пределы.

Правой (левой) производной функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в данной фиксированной точке ${\displaystyle x}$ называется правый (левый) предел разностного отношения (при условии, что этот предел существует).

Правая (левая) производные обозначаются соответственно символами ${\displaystyle f'(x+0),f^{+}(x),\ f'_{+}(x),\ \mathrm {D} ^{+}\!f(x)}$ (${\displaystyle f'(x-0),f^{-}(x),\ f'_{-}(x),\ \mathrm {D} ^{-}\!f(x)}$) .

Замечания:

• если функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет в точке ${\displaystyle x}$ производную ${\displaystyle f'(x)}$, то эта функция имеет в точке ${\displaystyle x}$ как правую, так и левую производные, причём ${\displaystyle f'(x+0)=f'(x-0)=f'(x)}$;
• если функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет в точке ${\displaystyle x}$ как правую, так и левую производные, причём эти производные равны друг другу, то функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет в точке ${\displaystyle x}$ производную ${\displaystyle f'(x)}$, причём ${\displaystyle f'(x)=f'(x+0)=f'(x-0)}$;
• если функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет в точке ${\displaystyle x}$ как правую, так и левую производные, но эти производные не равны друг другу, то функция ${\displaystyle f(x)}$ не имеет в точке ${\displaystyle x}$ производную в точке ${\displaystyle x}$^[3].

Понятие теории функций действительного переменного. Верхним правым производным числом ${\displaystyle \Lambda _{\alpha }}$ называется верхний предел отношения ${\displaystyle {\frac {f(x_{1})-f(x)}{x_{1}-x}}}$ при ${\displaystyle x_{1}\rightarrow x}$, где ${\displaystyle x_{1}>x}$. Аналогично определяют нижнее правое производное число ${\displaystyle \lambda _{\alpha }}$, верхнее ${\displaystyle \Lambda _{\scriptstyle {\text{g}}}}$ и нижнее ${\displaystyle \lambda _{\scriptstyle {\text{g}}}}$ левые производные числа. Если ${\displaystyle \Lambda _{\alpha }=\lambda _{\alpha }}$ ${\displaystyle (\Lambda _{\scriptstyle {\text{g}}}=\lambda _{\scriptstyle {\text{g}}})}$, то ${\displaystyle f(x)}$ имеет в точке ${\displaystyle x}$ одностороннюю правую (левую) производную. Обыкновенная производная существует, если все четыре производных числа конечны и совпадают. Производные числа были введены Дини (1878 г.)^[5].

Обобщение понятия производной, в которой обычный предел заменяется аппроксимативным пределом. Если для функции ${\displaystyle f(x)}$ действительного переменного ${\displaystyle x}$ существует предел ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}ap{\frac {f(x)-f({x}_{0})}{x-x_{0}}}}$, то он называется аппроксимативной производной функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и обозначается ${\displaystyle f_{ap}'(x_{0})}$. Аппроксимативная производная может быть как конечной, так и бесконечной. Для конечной аппроксимативной производной справедливы классические правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций. Понятие аппроксимативной производной введено А. Я. Хинчиным (1916)^[6].

Порядком производной называют число дифференцирований, которые надо произвести над функцией, чтобы получить эту производную. Например, запись ${\displaystyle y'''}$ означает производную третьего порядка.

Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет конечную производную ${\displaystyle y'=f'(x)}$ в каждой точке некоторого интервала — это первая производная, или производная первого порядка, которая, будучи функцией от ${\displaystyle x}$, может иметь производную ${\displaystyle y''=f''(x)}$, называемую второй производной, или производной второго порядка функции ${\displaystyle f(x)}$. Вообще ${\displaystyle n}$-я производная, или производная ${\displaystyle n}$-го порядка, определяется по индукции равенством ${\displaystyle y^{(n)}=(y^{(n-1)})'}$ в предположении, что ${\displaystyle y^{(n-1)}}$ определена на некотором интервале. Обозначается как ${\displaystyle y^{(n)}}$, а также ${\displaystyle f^{(n)}(x)}$, ${\displaystyle d^{n}f(x) \over dx^{n}}$, а для ${\displaystyle n=2,3}$ — ${\displaystyle y''}$, ${\displaystyle f''(x)}$, ${\displaystyle y'''}$, ${\displaystyle f'''(x)}$^[4].

Обобщённая симметрическая производная; определена Ш. Валле-Пуссеном. Пусть ${\displaystyle r}$ — чётное и пусть существует ${\displaystyle \delta >0}$ такое, что для всех ${\displaystyle t}$ с ${\displaystyle |t|<\delta }$ имеет место равенство (1): ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\{f(x_{0}+t)+f(x_{0}-t)=\beta _{0}+{\frac {t^{2}\beta _{2}}{2}}+...+{\frac {t^{r}\beta _{r}}{r!}}+\gamma (t)t^{r}}$, где ${\displaystyle \beta _{0},...,\beta _{r}}$ ― постоянные, ${\displaystyle \gamma (t)\to 0}$ при ${\displaystyle t\to 0}$ и ${\displaystyle \gamma (0)=0}$. Тогда число ${\displaystyle \beta _{r}=f_{(r)}(x_{0})}$ называется производной Валле-Пуссена порядка ${\displaystyle r}$, иначе симметрической производной порядка ${\displaystyle r}$ функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$. Аналогично определяется производная Валле-Пуссена нечётного порядка ${\displaystyle r}$ с заменой равенства (1) на следующее равенство (2): ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\{f(x_{0}+t)-f(x_{0}-t)=t\beta _{1}+{\frac {t^{3}\beta _{3}}{3!}}+...+{\frac {t^{r}\beta _{r}}{r!}}+\gamma (t)t^{r}}$^[7].

В случае функций нескольких переменных: ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$, в первую очередь определяются так называемые частные производные — производные по одной из переменных при условии фиксированных значений остальных переменных:

${\displaystyle {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial x^{i}}}=\lim _{x^{i}\rightarrow x_{0}^{i}}{\frac {f(x^{1},...,x^{i},...,x^{n})-f(x_{0}^{1},...,x_{0}^{i},...,x_{0}^{n})}{x^{i}-x_{0}^{i}}}}$.

Собственно производной (учитывающей изменения вектора переменных в целом, то есть всех переменных) в случае функций нескольких переменных является так называемый градиент функции — вектор, компонентами которого являются частные производные:

${\displaystyle f'(\mathbf {x} )=\mathbf {grad} f(\mathbf {x} )=\nabla f={\frac {df(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},...,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)}$.

По аналогии со случаем одной переменной, при малых изменениях ${\displaystyle d\mathbf {x} =(dx_{1},dx_{2},...,dx_{n})}$ вектора переменных ${\displaystyle \mathbf {x} }$ выполнено равенство:

${\displaystyle df(\mathbf {x} )=f'(\mathbf {x_{0}} )d\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}dx^{i}}$.

В случае функций нескольких переменных можно определить производную по направлению, то есть в предположении, что переменные изменяются в данном направлении. Производная функции ${\displaystyle f}$ по направлению вектора ${\displaystyle \mathbf {e} }$ определяется следующим образом:

${\displaystyle f'_{\mathbf {e} }(\mathbf {x} _{0})=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} _{0}+t\mathbf {e} )-f(\mathbf {x} _{0})}{t}}}$.

Если направление ${\displaystyle \mathbf {e} }$ совпадает с направлением некоторой координатной оси, то производная по этому направлению фактически является соответствующей частной производной. Можно показать, что производная по направлению равна скалярному произведению вектора градиента на нормированный вектор направления ${\displaystyle \mathbf {e} }$ (то есть вектор направления единичной длины, что можно получить из любого вектора направления делением на его длину):

${\displaystyle f'_{\mathbf {e} }(\mathbf {x} _{0})=(f'(\mathbf {x} _{0}),\mathbf {e} )}$.

По аналогии со случаем функций одной переменной можно рассматривать частные производные произвольного порядка. Причём в данном случае можно использовать как одну и ту же переменную несколько раз, так и одновременно несколько переменных:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{1}^{k_{1}}\partial x_{2}^{k_{2}},...,\partial x_{n}^{k_{n}}}}}$, где ${\displaystyle \sum k_{i}=k}$.

Аналогом второй производной в случае функции нескольких переменных является матрица вторых частных производных — матрица Гессе, которая является производной векторнозначной функции (см. ниже) — градиента скалярной функции. Элементами этой матрицы являются вторые производные ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}}$.

Во многих случаях возникает необходимость оценить зависимость функции ${\displaystyle f}$ от изменения данной переменной ${\displaystyle x^{j}}$ как непосредственно (что выражено частной производной), так и опосредованно через изменение других переменных. При этом в качестве одной из переменных ${\displaystyle x^{i}}$ может выступать параметр ${\displaystyle t}$ . Тогда производная по ${\displaystyle t}$ от функции ${\displaystyle y=f(t,u,v,...,z)}$, зависящей от переменной ${\displaystyle t}$ как непосредственно, так и через промежуточные переменные ${\displaystyle u=u(t,x_{1},...,x_{n})}$, ${\displaystyle v=v(t,x_{1},...,x_{n})}$, …, ${\displaystyle z=z(t,x_{1},...,x_{n})}$, вычисляется по формуле:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {du}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial t}}+...+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial t}}}$, где ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial u}},...,{\frac {\partial f}{\partial z}},{\frac {\partial u}{\partial t}},...,{\frac {\partial z}{\partial t}}}$ — частные производные^[8].

Набор ${\displaystyle \mathbf {F} }$ функций ${\displaystyle f_{i}}$ нескольких переменных можно интерпретировать как векторнозначную функцию: ${\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$. Производная такой функции представляет собой так называемую матрицу Якоби ${\displaystyle J}$, строки которой — градиенты функций ${\displaystyle f_{i}}$, составляющих набор ${\displaystyle \mathbf {F} }$, то есть элемент ${\displaystyle i}$-ой строки и ${\displaystyle j}$-го столбца равен частной производной функции ${\displaystyle f_{i}}$ по переменной ${\displaystyle x^{j}}$:

${\displaystyle J_{F}=\mathbf {F} '(\mathbf {x} _{0})=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x^{j}}}\right]}$.

По аналогии со скалярными функциями при малых изменениях вектора аргументов ${\displaystyle d\mathbf {x} }$ справедливо равенство:

${\displaystyle d\mathbf {F} =\mathbf {F} '(\mathbf {x} _{0})d\mathbf {x} }$.

Частным случаем производной векторнозначной функции является производная от градиента некоторой скалярной функции ${\displaystyle f}$, так как градиент фактически представляет собой вектор из нескольких функций — частных производных. Эта производная, как отмечалось выше, по сути является второй производной скалярной функции и представляет собой матрицу частных производных второго порядка этой функции — матрица Гессе (${\displaystyle H_{f}}$), или гессиан (гессианом обычно называют определитель матрицы Гессе).

Производная дифференцируемого случайного процесса ${\displaystyle X(t)}$ представляет собой предел ${\displaystyle X'(t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {X(t+\Delta t)-X(t)}{\Delta t}}}$. В зависимости от того, в каком смысле понимается этот предел, различают дифференцирование с вероятностью ${\displaystyle 1}$ и дифференцирование в среднем квадратичном. Условия дифференцируемости в среднем квадратичном выражаются в терминах корреляционной функции ${\displaystyle B(t_{1},t_{2})=\mathrm {E} X(t_{1}),X(t_{2})}$, где функция ${\displaystyle \mathrm {E} X(t)}$ — математическое ожидание случайного процесса ${\displaystyle X(t)}$. Производная ${\displaystyle X'(t)}$ существует тогда и только тогда, когда существует предел ${\displaystyle B''(t_{1},t_{2})=\lim _{\Delta t_{1}\rightarrow 0\Delta t_{2}\rightarrow 0}{\frac {B(t_{1}+\Delta t_{1},t_{2}+\Delta t_{2})-B(t_{1}-\Delta t_{1},t_{2})-B(t_{1},t_{2}+\Delta t_{2}+B(t_{1},t_{2})}{\Delta t_{1}\Delta t_{2}}}}$.

Случайный процесс, имеющий среднеквадратичную производную, является абсолютно непрерывным при каждом ${\displaystyle t}$ с вероятностью ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle X(t)=X(t_{0})+\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}X'(s)ds,t\geqslant t_{0}}$. Достаточным условием того, чтобы существовал эквивалентный данному процесс с непрерывно дифференцируемыми траекториями, может служить условие непрерывности его среднеквадратичной производной ${\displaystyle X'(t)}$, имеющей своей корреляционной функцией ${\displaystyle B''(t_{1},t_{2})}$. Для гауссовских процессов это условие является также необходимым^[9].

Скалярная функция нескольких переменных рассматривалась выше формально как функция от вектора, компонентами которого являлись независимые переменные. В общем случае следует рассмотреть скалярные (числовые) функции ${\displaystyle f:X\rightarrow R}$ на произвольных векторных пространствах ${\displaystyle X}$ некоторой размерности. Тогда в каждом фиксированном базисе такое отображение можно рассмотреть как функцию нескольких переменных. Таким образом, все рассмотренные выше понятия можно интерпретировать как координатные определения производных при фиксированном базисе произвольного пространства (наделённого достаточной для этих целей топологической структурой).

Аналогично значению набора функций также формально рассматривались компоненты некоторого вектора, и этот набор функций трактовался (формально) как отображение одного вектора в другой. В общем случае следует рассмотреть отображение ${\displaystyle F:X\rightarrow Y}$ между произвольными векторными пространствами ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ различной размерности и природы (наделённых необходимой топологической структурой). Если зафиксировать базисы в обоих пространствах, то это отображение аналогично рассмотренному выше набору функций нескольких переменных. Таким образом, все соответствующие определения интерпретируются в общем случае как координатное определение производных при фиксированных базисах соответствующих пространств.

Данная интерпретация означает в то же время, что несмотря на то, что координатное представление производных зависит от базиса (меняются при переходе от одного базиса к другому), сами понятия производных от выбора базисов не должны зависеть. Поэтому вообще говоря требуются более общие определения производных, напрямую не связанных с выбором базиса и их координатным представлением. Более того, указанные определения обобщаются на случай пространств бесконечной размерности, что используется, например, в функциональном анализе и вариационном исчислении.

Сильная производная, наиболее распространённая (наряду с производной Гато, называемой иногда слабой производной) производная функционала или отображения. Производной Фреше в точке ${\displaystyle x_{0}}$ отображения ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ нормированного пространства ${\displaystyle X}$ в нормированное пространство ${\displaystyle Y}$ называют линейный непрерывный оператор ${\displaystyle \Lambda :X\rightarrow Y}$, удовлетворяющий условию ${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+\Lambda h+\varepsilon (h)}$, где ${\displaystyle \lim _{||h||\rightarrow 0}||\varepsilon (h)||/||h||=0}$.

Оператор ${\displaystyle \Lambda }$, удовлетворяющий этим условиям, единственн и обозначается ${\displaystyle f'({x}_{0})}$, линейное отображение ${\displaystyle h\rightarrow f'({x}_{0})h}$ называется дифференциалом Фреше. Если отображение ${\displaystyle f}$ имеет в точке ${\displaystyle x_{0}}$​ производную Фреше, оно называется дифференцируемым по Фреше. Для производной Фреше выполнены важнейшие теоремы дифференциального исчисления — о дифференцировании сложной функции, o среднем. Если функция ${\displaystyle f}$ непрерывно дифференцируема по Фреше в окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$ и в точке ${\displaystyle x_{0}}$​, производная Фреше ${\displaystyle f'({x}_{0})}$ является гомеоморфизмом банаховых пространств ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$, то имеет место теорема об обратном отображении^[10].

Слабая производная, наиболее распространённая в бесконечномерном анализе, наряду с производной Фреше, производная функционала или отображения. Производной Гато в точке ${\displaystyle x_{0}}$ отображения ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ линейного топологического пространства ${\displaystyle X}$ в линейное топологическое пространство ${\displaystyle Y}$ называют непрерывное линейное отображение ${\displaystyle f'_{\Gamma }(x_{0}):X\rightarrow Y}$, удовлетворяющее условию ${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+f'_{\Gamma }(x_{0})h+\varepsilon (h)}$, где ${\displaystyle \varepsilon (th)/t\to 0}$ при ${\displaystyle t\to 0}$ в топологии пространства ${\displaystyle Y}$. Если отображение ${\displaystyle f}$ имеет в точке ${\displaystyle x_{0}}$ производную Гато, то оно называется дифференцируемым по Гато. Для производной Гато теорема о дифференцировании сложной функции, вообще говоря, неверна^[11].

Производная Пеано — одно из обобщений понятия производной функции. Пусть существует ${\displaystyle \delta >0}$ такое, что для всех ${\displaystyle t}$ с ${\displaystyle |t|<\delta }$ имеет место

${\displaystyle f(x_{0}+t)=\alpha _{0}+\alpha _{1}t+\cdots +{\frac {\alpha _{r}}{r!}}t^{r}+\gamma (t)t^{r}}$, где ${\displaystyle \alpha _{0},...,\alpha _{r}}$ ― постоянные и ${\displaystyle \gamma (t)\to 0}$ при ${\displaystyle t\to 0}$. Пусть ${\displaystyle \gamma (0)=0}$. Тогда число ${\displaystyle \alpha _{r}}$ называется обобщённой производной Пеано порядка ${\displaystyle r}$ функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и обозначается ${\displaystyle f_{(r)}(x_{0})=\alpha _{r}}$^[12].

В вариационном исчислении, где рассматриваются интегральные функционалы на пространстве функций, в которых введено скалярное произведение (в форме интеграла от пары функций), вводится понятие вариационной производной, называемой также функциональной производной. Вариационная производная функционала ${\displaystyle F(f)}$ — это функция (вообще говоря обобщённая функция) ${\displaystyle \delta F/\delta f}$, для которой при малой вариации ${\displaystyle \delta f}$ функции ${\displaystyle f}$ выполнено равенство:

$${\displaystyle \delta F=F(f+\delta f)-F(f)=(\delta F/\delta f,\delta f)=\int {\frac {\delta F(f(x))}{\delta f}}\delta f(x)dx.}$$

Можно показать, что по сути вариационная производная есть производная Фреше.

В теории меры производная Радона — Никодима обобщает якобиан, использовавшийся для изменяющихся переменных, на меры. Она выражает одну меру ${\displaystyle \mu }$ в терминах другой меры ${\displaystyle \nu }$ (при некоторых условиях).

Производная также допускает обобщение на пространстве обобщённых функций, используя интегрирование по частям в соответствующем хорошо устроенном подпространстве.

1. Дивергенция (расходимость) векторнозначных функций (векторных полей) ${\displaystyle F:X\rightarrow X}$ на конечномерном пространстве ${\displaystyle X}$ даёт меру того, как силён «источник» или «сток» в этой точке. Она может быть использована для вычисления потока при помощи теоремы о дивергенции. В координатном представлении (в декартовых координатах) дивергенция равна

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F_{x^{i}}}{\partial x^{i}}}}$.

2. Ротор векторных полей в трёхмерном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ измеряет «вращение» векторного поля в этой точке. В координатном представлении (в декартовых координатах) равен:

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} =\operatorname {rot} \;(F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y}+F_{z}\mathbf {e} _{z})=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}}$

(F — векторное поле с декартовыми компонентами ${\displaystyle (F_{x},F_{y},F_{z})}$, а ${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}}$ — орты декартовых координат).

3. Лапласиан — это дивергенция (расходимость) градиента скалярной функции (скалярного поля) на конечномерном пространстве. Часто обозначается как ${\displaystyle \Delta }$ или как ${\displaystyle \nabla ^{2}}$. В координатном представлении (в декартовых координатах) равен:

${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {grad} f=\Delta f=\nabla ^{2}f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}}$.

4. Д’Аламбертиан — определяется аналогично лапласиану, но используя метрику пространства Минковского вместо метрики евклидова пространства. Рассматривается в физике для четырёхмерного пространства-времени. В координатном представлении (в декартовых координатах) равен:

${\displaystyle \square f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}.}$

В дифференциальной топологии для гладких скалярных функций ${\displaystyle f:M\rightarrow R}$ на гладком многообразии ${\displaystyle M}$ (далее — просто многообразие и просто функция) вводится понятие касательного вектора в точке ${\displaystyle p\in M}$. Эти функции образуют алгебру по поточечным операциям сложения и умножения и умножения на число. Касательный вектор определяется как линейный функционал на алгебре таких функций, удовлетворяющий правилу Лейбница. Для многообразий, которые являются подмножествами ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, этот касательный вектор будет аналогичен направленной производной в точке, определённой выше.

Линейный оператор на алгебре функций, удовлетворяющий правилу Лейбница, будет собственно дифференцированием на алгебре этих функций и фактически определяет производную скалярных функций. Такие линейные операторы на алгебре скалярных функций образуют векторное поле на многообразии. Это векторное поле также можно определить как отображение, ставящее каждой точке многообразия касательный вектор к этой точке.

Множество всех касательных векторов к данной точке многообразия образуют касательное пространство к данной точке ${\displaystyle T_{p}M}$.

Для гладких отображений многообразий произвольных размерностей ${\displaystyle F\colon M\to N}$ дифференциалом в точке ${\displaystyle p\in M}$ называется линейный оператор ${\displaystyle d_{p}F:T_{p}M\rightarrow T_{F(p)}N}$, который для любого касательного вектора ${\displaystyle X\in T_{p}M}$ заключается в дифференцировании функции ${\displaystyle g(p)=f(F(p))}$ для произвольной числовой функции f на многообразии N .

В координатном представлении дифференциал представляет собой матрицу Якоби ${\displaystyle \left\{{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}\right\}}$. Базисы в касательных пространствах определяются как частные производные числовых функций от координатного представления точки p.

Объединение ${\displaystyle TM}$ всех касательных пространств (рассматриваемых как непересекающиеся множества) для всех точек многообразия называется касательным расслоением многообразия (имеет размерность 2n, поскольку касательное расслоение по существу это множество пар — точка и касательный вектор к нему). Точнее касательным расслоением является отображение пространства TM в многообразие M. Касательное отображение (англ. pushforward) является обобщением понятия якобиана и действует на касательных расслоениях многообразий: ${\displaystyle dF\colon \,TM\to TN}$. Аргументами касательного отображения являются точка ${\displaystyle p\in M}$ и вектор ${\displaystyle \xi \in TM}$. Для фиксированной точки ${\displaystyle p\in M}$ отображение ${\displaystyle dF(x,\cdot )\colon \,T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N}$ является вышеуказанным дифференциалом в точке — линейным отображением касательного пространства ${\displaystyle T_{p}}$ в касательное пространство ${\displaystyle T_{F(p)}N}$.

Векторным полем на многообразии называется отображение многообразия M на TM, то есть ставящая в соответствие каждой точке многообразия касательный вектор к этой точке. Векторное поле можно рассматривать как сечение касательного расслоения — отображение М в TM. Векторные поля можно рассматривать также как дифференцирование алгебры функций, отображающее каждую функцию алгебры другую функцию этой же алгебры. Это линейное отображение, удовлевояющее правилу Лейбница.

Для римановых многообразий градиент скалярной функции f определяется как вектор ${\displaystyle \nabla f}$ касательного пространства ${\displaystyle T_{x}M}$, такой, что для любого касательного вектора Х дифференциал функции равен скалярному произведению ${\displaystyle (d_{x}f)X=Xf=(\nabla f,X)}$. В координатном представлении это свёртка метрики пространства частными производными функции: ${\displaystyle \nabla f=g^{ij}\partial _{i}f}$.

Производная Ли — это скорость изменения тензорного поля (в частности скалярного или векторного поля) в направлении данного векторного поля. В случае скалярного поля производная Ли совпадает с производной по направлению. Для векторных полей производная Ли равна так называемой скобке Ли. Это пример применения скобки Ли (векторные поля образуют алгебру Ли на группе диффеоморфизмов многообразия). Это производная 0 порядка на алгебре.

На внешней алгебре дифференциальных форм над гладким многообразием, внешняя производная — это уникальное линейное отображение, которое удовлетворяет порядковой версии закона Лейбница и при возведении в квадрат равно нулю. Это производная 1 порядка на внешней алгебре.

Внутренняя производная — это производная «-1» порядка на внешней алгебре форм. Вместе внешняя производная, производная Ли, и внутренняя производная образуют супералгебру Ли.

В дифференциальной геометрии (и вытекающем из неё тензорном анализе) с помощью ковариантной производной берутся производные по направлениям векторных полей вдоль кривых или вообще в криволинейной системе координат. Это расширяет производную по направлению скалярных функций до сечений векторных расслоений или главных расслоений. В римановой геометрии существование метрики позволяет сделать канонический выбор свободной от кручения ковариантной производной, известной как связность Леви-Чивиты.

Для скалярных функций ${\displaystyle f}$ ковариантная производная ${\displaystyle D_{v}f}$ совпадает с производной по направлению ${\displaystyle v}$ векторного поля. Ковариантную производную векторного поля ${\displaystyle u}$ по векторному полю ${\displaystyle v}$ формально можно определить как отображение, F-линейное по ${\displaystyle v}$ (то есть по сумме и умножению на скалярную функцию), аддитивности по ${\displaystyle u}$ и стандартного правила Лейбница для произведения скалярного поля ${\displaystyle f}$ на векторное поле ${\displaystyle u}$. В общем случае тензорных полей требуется выполнение правила Лейбница для их тензорного произведения.

В случае векторного поля ковариантную производную в координатном представлении можно записать как:

${\displaystyle D_{j}u^{i}=\partial _{j}u^{i}+\Gamma _{kj}^{i}u^{k}}$,

где ${\displaystyle \partial _{j}u^{i}}$ — обычная частная производная по координате ${\displaystyle x^{j}}$, а ${\displaystyle \Gamma _{kj}^{i}}$ — символы Кристоффеля.

В случае декартовых координат символы Кристоффеля равны нулю, поэтому ковариантная производная равна обычной производной.

Внешняя ковариантная производная расширяет внешнюю производную на векторно-значимые формы.

В комплексном анализе функций моногенность и аналитичность являются основными понятиями. Под моногенной на множестве ${\displaystyle E\subset D}$ функцией ${\displaystyle w=f(z)}$ обычно понимают такую функцию, для которой существует во всех точках ${\displaystyle z_{0}\in E}$ производная по множеству ${\displaystyle E}$

${\displaystyle f'_{E}(z)=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{\frac {f(z)-f({z}_{0})}{z-z_{0}}}}$, где ${\displaystyle z\in E}$. Моногенность в смысле Коши, когда ${\displaystyle E=D}$, совпадает с аналитичностью^[13].

Производная Шварца описывает, как комплексная функция аппроксимируется дробно-линейным отображением, аналогично тому, как обычная производная описывает, как функция аппроксимируется линейным отображением.

Формальная производная — производная многочлена, рациональной функции или формального степенного ряда, определяемая чисто алгебраически (без использования понятия предельного перехода) и имеющая смысл для любого кольца коэффициентов. Одно из важных применений формальной производной в алгебре — проверка наличия кратных корней многочлена.

• Для многочлена ${\displaystyle F(X)=\textstyle \sum _{i=0}^{n}\displaystyle a_{i}X^{i}}$ формальная производная ${\displaystyle F'(X)}$ определяется как ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle ia_{i}X^{i-1}}$.
• Для степенного ряда ${\displaystyle A(X)=\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle b_{i}X^{i}}$ формальная производная ${\displaystyle A'(X)}$ определяется как ${\displaystyle A'(X)=\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle ib_{i}X^{i-1}}$.
• Для рациональной функции ${\displaystyle f(x)={\frac {P(X)}{Q(X)}}}$ формальная производная ${\displaystyle A'(X)}$ определяется как ${\displaystyle f'(x)={\frac {\{P'(X)Q(X)-Q'(X)P(X)\}}{[Q(X)]^{2}}}}$.

Аналогично определяются формальные производные высших порядков и частные формальные производные для функций от нескольких переменных^[14].