Обобщённая функция

Формально обобщённая функция ${\displaystyle f}$ определяется как линейный непрерывный функционал ${\displaystyle \left(f,\varphi \right)}$ над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших функций» ${\displaystyle \varphi }$ (так называемых основных функций, другое название — пробные функции): ${\displaystyle f:\varphi \mapsto (f,\;\varphi )}$^[7].

Условие линейности: ${\displaystyle \left(f,\alpha _{1}\varphi _{1}+\alpha _{2}\varphi _{2}\right)=\alpha _{1}\left(f,\varphi _{1}\right)+\alpha _{2}\left(f,\varphi _{2}\right)}$.

Условие непрерывности: если ${\displaystyle \varphi _{\nu }\rightarrow 0}$, то ${\displaystyle \left(f,\varphi _{\nu }\right)\rightarrow 0}$.

Важным примером основного пространства является пространство ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$ — совокупность финитных ${\displaystyle C^{\infty }}$-функций на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, снабжённая естественной для неё топологией: последовательность функций из ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$ сходится, если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они ${\displaystyle C^{\infty }}$-сходятся.

Сопряжённое пространство к ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$ есть пространство обобщённых функций ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$.

Сходимость последовательности обобщённых функций из ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$ определяется как слабая сходимость функционалов из ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$, то есть ${\displaystyle f_{n}\to f}$, в ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$ означает, что ${\displaystyle (f_{n},\;\varphi )\to (f,\;\varphi )}$, для любой ${\displaystyle \varphi \in D(\mathbb {R} ^{n})}$.

Для того, чтобы линейный функционал ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$ был обобщённой функцией, то есть ${\displaystyle f\in D'(\mathbb {R} ^{n})}$, необходимо и достаточно, чтобы для любого ограниченного открытого множества ${\displaystyle \Omega }$ существовали числа ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle m}$ такие, что

${\displaystyle |(f,\;\varphi )|\leqslant K|\varphi |_{C^{m}}}$

для всех ${\displaystyle \varphi }$ с носителем в ${\displaystyle \Omega }$.

Если в неравенстве число ${\displaystyle m}$ можно выбрать не зависящим от ${\displaystyle \Omega }$, то обобщённая функция ${\displaystyle f}$ имеет конечный порядок; наименьшее такое ${\displaystyle m}$ называется порядком ${\displaystyle f}$.

Простейшими примерами обобщённых функций являются функционалы, порождаемые локально суммируемыми функциями

${\displaystyle (f,\;\varphi )=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f\varphi .}$

Обобщённые функции, определяемые локально суммируемыми функциями ${\displaystyle f(x)}$ по этой формуле, называются регулярными; остальные обобщённые функции называются сингулярными.

Обобщённые функции, вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить о совпадении обобщённой функции с локально суммируемой функцией на открытом множестве: обобщённая функция ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$ совпадает в ${\displaystyle \Omega }$ с локально суммируемой в ${\displaystyle \Omega }$ функцией ${\displaystyle f_{0}(x)}$, если

${\displaystyle (f,\;\varphi )=(f_{0},\;\varphi )}$

для всех ${\displaystyle \varphi }$ с носителем в ${\displaystyle \Omega }$. В частности, при ${\displaystyle f_{0}=0}$ получается определение того, что обобщённая функция ${\displaystyle f}$ обращается в нуль внутри ${\displaystyle \Omega }$.

Множество точек, ни в какой окрестности которых обобщённая функция не обращается в ноль, называется носителем обобщённой функции ${\displaystyle f}$ и обозначается ${\displaystyle \operatorname {supp} f}$. Если ${\displaystyle \operatorname {supp} f}$ компактен, то обобщённая функция ${\displaystyle f}$ называется финитной.

• Любая локально конечная мера ${\displaystyle \mu }$ определяет обобщённую функцию ${\displaystyle f_{\mu }}$

${\displaystyle (f_{\mu },\;\varphi )=\int \varphi (x)\,d\mu (x).}$

В частности,

• Примером сингулярной обобщённой функции в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ служит ${\displaystyle \delta }$-функция Дирака

${\displaystyle (\delta ,\;\varphi )=\varphi (0).}$

Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке ${\displaystyle x=0}$. ${\displaystyle \delta }$-функция имеет порядок 1.

• Поверхностная ${\displaystyle \delta }$-функция. Пусть ${\displaystyle S}$ — кусочно гладкая поверхность и ${\displaystyle \lambda }$ — непрерывная функция на ${\displaystyle S}$. Обобщённая функция ${\displaystyle f_{S,\;\lambda }}$ определяется равенством

${\displaystyle (f_{S,\;\lambda },\;\varphi )=\int \limits _{S}\varphi \lambda .}$

При этом ${\displaystyle f_{S,\;\lambda }}$ — сингулярная обобщённая функция. Эта обобщённая функция описывает пространственную плотность масс или зарядов, сосредоточенных на поверхности ${\displaystyle S}$ с поверхностной плотностью ${\displaystyle \lambda }$ (плотность простого слоя).

• Обобщённая функция ${\displaystyle \rho \in D'(\mathbb {R} )}$ определяемая равенством

${\displaystyle (\rho ,\;\varphi )=\operatorname {v.\!p.} \int \limits _{\mathbb {R} }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx}$

(для гладких финитных функций этому интегралу можно придать смысл) функция ${\displaystyle \rho }$ сингулярна и её порядок равен 2, однако на открытом множестве ${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \{0\}}$ она регулярна и совпадает с ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$.

Линейные операции над обобщёнными функциями вводятся как расширение соответствующих операций над основными функциями.

Пусть ${\displaystyle f\in D'(\mathbb {R} ^{n})}$ и ${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ — гладкая замена переменных. Обобщённая функция ${\displaystyle f\circ A}$ определяется равенством

${\displaystyle (f\circ A,\;\varphi )=(f,\;\varphi \circ A^{-1}J(A)),}$

где ${\displaystyle J(A)}$ обозначает якобиан ${\displaystyle A}$. Эту формулу можно применять в частности к линейному отображению ${\displaystyle A}$, она позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, центрально симметричные, однородные, периодические, лоренц-инвариантные и т. д. обобщённые функции.

Чаще всего определяется произведение обобщённых функций на обычные, а произведение обобщённых функций остается неопределенным.

Пусть ${\displaystyle f\in D'(\mathbb {R} ^{n})}$ и ${\displaystyle a\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$. Произведение ${\displaystyle af}$ определяется равенством

${\displaystyle (af,\;\varphi )=(f,\;a\varphi ).}$

Например ${\displaystyle a\delta =a(0)\delta }$, ${\displaystyle x\rho =1}$. Для обычных локально суммируемых функций произведение ${\displaystyle af}$ совпадает с обычным умножением функций ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle a(x)}$.

Однако эта операция произведения, вообще говоря, не допускает распространения на любые обобщённые функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной.

Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:

${\displaystyle (x\delta )\rho =0\cdot \rho =0,}$

${\displaystyle (x\rho )\delta =1\cdot \delta =\delta .}$

Впрочем, возможно определить умножение любых обобщённых функций, если снять достаточно жёсткое требование, чтобы сужение этой операции на множество непрерывных функций совпадало с обычным произведением. В частности, Ю. М. Широков построил некоммутативную алгебру обобщённых функций^[8][9]. Нынче в Западной Европе и Америке очень популярной (см., напр., список цитированных работ в^[10]) является теория обобщённых функций Коломбо (одним из первоисточников которой является книга^[11], для первоначального ознакомления с гораздо чаще используемой на практике т. н. «специальной» алгеброй Коломбо можно просмотреть параграф 8.5 из^[12]). В рамках этой теории обобщённые функции являются классами эквивалентности некоторой факторалгебры. Преимуществом алгебры Коломбо является то, что она как ассоциативна, так и коммутативна. Умножение обобщённых функций Коломбо совпадает с обычным умножением при сужении на множество всех гладких (то есть, бесконечно непрерывно дифференцируемых) функций, несостыковка же с умножением непрерывных (но не гладких) функций разрешается при помощи введения понятия ассоциации (менее строгого, чем понятие эквивалентности). Также рассматриваемое умножение прекрасно согласуется со стандартными операциями классического анализа (напр., дифференцированием).

Пусть ${\displaystyle f\in D'(\mathbb {R} ^{n})}$. Обобщённая (слабая) производная ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$ обобщённой функции ${\displaystyle f}$ определяется равенством

${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}},\;\varphi \right)=-\left(f,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}\right).}$

Так как операция ${\displaystyle \varphi \mapsto {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}}$ линейна и непрерывна из ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$ в ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$, то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщённая функция.

• Пространство ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$ — полное: если последовательность обобщённых функций ${\displaystyle f_{i}}$ из ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$ такова, что для любой функции ${\displaystyle \varphi \in D(\mathbb {R} ^{n})}$ числовая последовательность ${\displaystyle (f_{i},\;\varphi )}$ сходится, то функционал

${\displaystyle (f,\;\varphi )=\lim _{i\to \infty }(f_{i},\;\varphi )}$

принадлежит ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$.

• Всякая ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$ есть слабый предел функций из ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$. Это свойство иногда берётся в качестве исходного для определения обобщённой функции, из полноты пространства обобщённых функций это приводит к эквивалентному определению.
• Любая обобщённая функция из ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$ бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле).
• Дифференцирование не увеличивает носителя обобщённой функции.
• Для обобщённых функций справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения ${\displaystyle af}$, где ${\displaystyle a\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$.
• Всякая обобщённая функция ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle S'(\mathbb {R} ^{n})}$ или ${\displaystyle E'(\mathbb {R} ^{n})}$ есть некоторая частная производная от непрерывной функции в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• Для любой обобщённой функции ${\displaystyle f}$ порядка ${\displaystyle N}$ с носителем в точке 0 существует единственное представление ${\displaystyle (f,\;\varphi )}$ в виде линейной комбинации частных производных ${\displaystyle \varphi }$ в нуле, с порядком меньшим либо равным ${\displaystyle N}$.

Дельта-функция получается при вычислении интеграла Фурье от константы:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\,dp=2\pi \delta (x).}$