Аналитическая функция

Теория аналитических функций была создана в XIX веке в первую очередь благодаря работам О. Коши, Б. Римана и К. Вейерштрасса. Решающее значение в построении этой теории сыграл «выход в комплексную область» — переход от действительного переменного ${\displaystyle x}$ к комплексному переменному ${\displaystyle z}$. Теория аналитических функций возникла как теория функций комплексного переменного и к 80-м годам XX века составила основное содержание общей теории функций комплексного переменного.

Термин аналитическая функция впервые употребил Кондорсе. Слово «аналитическая» означало, что метод изучения функций — математический анализ. Мемуар Кондорсе был довольно широко известен, хотя он не был опубликован. Неизвестно, заимствовал ли Лагранж это выражение или оно вторично «изобретено» Лагранжем через 20 лет после Кондорсе. В «Théorie des fonctions analytiques» Лагранж подразумевал под этим функцию, раскладывающуюся в ряд. Современное понятие аналитической функции сформировалось в основном в работах Вейерштрасса. Многими идеями Вейерштрасс был обязан своему учителю — Гудерману. Среди прочего — представление функции степенным рядом и исследование характера сходимости ряда. Этот подход Вейерштрасс развивал в самом начале своей научной карьеры. До 80-х годов XIX века Вейерштрасс не позволял ни публиковать, ни литографировать свои лекции. Только отшлифовав курс и получив почти совершенное изложение, он решался на его издание. Поэтому многие его основополагающие идеи впервые увидели свет в изложении его учеников — Штольца, Шварца, Пинкерле и др. Первый учебник по теории аналитических функций — «Theorie der analytischen Funktionen» (1887) Бирмана. Вскоре последовали усовершенствованные издания^[3].

• Определение аналитичности функции в смысле Вейерштрасса

Функция ${\displaystyle f}$, определённая в области ${\displaystyle D}$, называется голоморфной (аналитической) в точке ${\displaystyle z_{0}\in D}$, если существует окрестность этой точки, в которой функция ${\displaystyle f}$ представляется степенным рядом ${\displaystyle f(z)=a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+\dots +a_{n}(z-z_{0})^{n}+\dots .}$.

Если это свойство имеет место в каждой точке ${\displaystyle z_{0}}$ области ${\displaystyle D}$, то функция ${\displaystyle f}$ называется голоморфной (аналитической) в области ${\displaystyle D}$.

Функция ${\displaystyle f}$, голоморфная в точке ${\displaystyle z_{0}\in D}$, дифференцируема в этой точке.

Более того, сумма сходящегося степенного ряда имеет производные всех порядков (бесконечно дифференцируема) по комплексному переменному ${\displaystyle z}$. Коэффициенты ряда могут быть выражены через производные функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle z_{0}}$ по формулам ${\displaystyle a_{n}={\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}}$.

Степенной ряд, записанный в форме${\displaystyle f(z_{0})+{\frac {f^{\prime }(z_{0})}{1!}}(z-z_{0})+\dots +{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}+\dots }$, называется рядом Тейлора функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle z_{0}}$.

Тем самым, голоморфность функции ${\displaystyle f}$ в области ${\displaystyle D}$ означает, что в каждой точке области ${\displaystyle D}$ функция ${\displaystyle f}$ бесконечно дифференцируема и её ряд Тейлора сходится к ней в некоторой окрестности этой точки. Функция, удовлетворяющая этому условию, называется голоморфной в смысле Вейерштрасса,

• Определение аналитичности функции в смысле Коши — Римана

С другой стороны, в теории аналитических функций существует следующее определение

Функция ${\displaystyle f}$, дифференцируемая в области ${\displaystyle D}$, голоморфна в этой области (в отдельной точке это утверждение неверно).

Следовательно, понятия комплексной дифференцируемости и голоморфности функции в области тождественны; каждое из следующих свойств функции ${\displaystyle f}$ в области ${\displaystyle D}$ — дифференцируемость в смысле ${\displaystyle \mathbb {C} }$, дифференцируемость в смысле ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ вместе с выполнением уравнений Коши — Римана, голоморфность — может служить определением аналитичности ${\displaystyle f}$ в этой области. Функция, удовлетворяющая этому условию, называется голоморфной в смысле Коши — Римана.

• Аналитичность функции в точке

Пусть ${\displaystyle E}$ — произвольное множество в комплексной плоскости и, в частности, на действительной прямой.

Функция ${\displaystyle f(z)}$ называется аналитической в точке ${\displaystyle z_{0}\in E}$, если существует окрестность этой точки, на пересечении которой с множеством ${\displaystyle E}$ функция ${\displaystyle f}$ представляется сходящимся степенным рядом.

• Аналитичность функции на множестве

Функция ${\displaystyle f}$ называется аналитической на множестве ${\displaystyle E}$, если она аналитична на некотором открытом множестве, содержащем ${\displaystyle E}$.

Для открытых множеств понятие аналитичности совпадает с понятием дифференцируемости по множеству. Однако в общем случае это не так; в частности, на действительной прямой существуют функции, не только имеющие производную, но и бесконечно дифференцируемые в каждой точке, которые не являются аналитическими ни в какой точке прямой^[5].

• Мероморфная функция

Функции, представимые в виде отношения двух функций, голоморфных в области ${\displaystyle D}$, называются мероморфными в области ${\displaystyle D}$.

Мероморфная в области функция голоморфна в этой области за исключением, быть может, конечного или счётного множества полюсов; в полюсах значения мероморфной функции считаются равными бесконечности.

Часто аналитическими в области ${\displaystyle D}$ называют как голоморфные, так и мероморфные в этой области функции. В этом случае голоморфные функции называются также регулярными аналитическими, или просто регулярными

• Целые функции

Простейший класс аналитических функций составляют функции, голоморфные во всей плоскости. Такие функции называются целыми. Целые функции представимы рядами ${\displaystyle a_{0}+a_{1}z+\dots +a_{n}z^{n}+\dots }$, сходящимися во всей плоскости^[6].

• Однозначная аналитическая функция

Однозначная аналитическая функция ${\displaystyle f}$ рассматривается в данной области ${\displaystyle D}$ или на данном множестве ${\displaystyle E}$ комплексной плоскости.

• Многозначная аналитическая функция

Функция, рассматриваемая в целом — во всей своей естественной области существования.

Представления аналитической функции в виде интеграла, зависящего от параметра возникли на ранних стадиях развития теории функций и математического анализа вообще как удобный аппарат для представления аналитических решений дифференциальных уравнений, для исследования асимптотики этих решений и их аналитического продолжения. Несколько позже интегральные представления аналитической функции нашли применения для решения граничных задач теории аналитических функций и сингулярных интегральных уравнений, исследования внутренних и граничных свойств аналитических функций различных классов, а также для решения других, самых разнообразных вопросов математического анализа.

Интеграл от функции ${\displaystyle f=u+iv}$ вдоль (ориентированной спрямляемой) кривой ${\displaystyle \Gamma \colon z=z(t),t\in [\alpha ,\beta ]}$ может быть определён формулой

${\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\,dz=\int _{\alpha }^{\beta }f[z(t)]\,z^{\prime }(t)\,dt}$

или при помощи криволинейного интеграла

${\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\,dz=\int _{\Gamma }f\,dx+if\,dy=\int _{\Gamma }u\,dx-v\,dy+i\int _{\Gamma }v\,dx+u\,dy}$ .

• Арифметические свойства

Если ${\displaystyle f(z)}$ и ${\displaystyle g(z)}$ аналитичны в области ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$

1. Функции ${\displaystyle f(z)\pm g(z)}$, ${\displaystyle f(z)\cdot g(z)}$ и ${\displaystyle f(g(z))}$ аналитичны в ${\displaystyle G}$.
2. Если ${\displaystyle g(z)}$ в области ${\displaystyle G}$ не обращается в ноль, то ${\displaystyle {\frac {f(z)}{g(z)}}}$ будет аналитична в ${\displaystyle G}$
3. Если ${\displaystyle f'(z)}$ в области ${\displaystyle G}$ не обращается в ноль, то ${\displaystyle f^{-1}(z)}$ будет аналитична в ${\displaystyle G}$.

• Аналитическая функция бесконечно дифференцируема в своей области аналитичности. Для комплексных функций одной переменной верно и обратное.

Важную роль в изучении аналитических функций играют точки, в которых нарушается свойство аналитичности — так называемые особые точки аналитических функций^[7]. Изолированные особые точки (однозначных) аналитических функций. Если ${\displaystyle f}$ — аналитическая функция в кольце вида ${\displaystyle 0<\vert {}z-z_{0}\vert {}<\rho }$, то она разлагается в этой области в ряд Лорана

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$,

содержащий не только положительные, но и отрицательные степени ${\displaystyle z-z_{0}}$. Если в этом разложении члены с отрицательными степенями отсутствуют (${\displaystyle a_{n}=0}$ для ${\displaystyle n=-1,-2,\dots }$), то ${\displaystyle z_{0}}$ называется правильной точкой ${\displaystyle f}$ (устранимой особой точкой).

В правильной точке существует и конечен

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)=a_{0}}$.

Полагая ${\displaystyle f(z_{0})=a_{0}}$, получают аналитическую функцию во всём круге ${\displaystyle \vert {}z-z_{0}\vert {}<\rho }$.

Если ряд Лорана функции содержит лишь конечное число членов с отрицательными степенями ${\displaystyle z-z_{0}}$:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=\mu }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n},\quad \mu <0,\ a_{\mu }\neq 0}$,

то точка ${\displaystyle z_{0}}$ называется полюсом функции ${\displaystyle f}$ кратности ${\displaystyle \mu }$.

Полюс ${\displaystyle z_{0}}$ характеризуется тем, что ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)=\infty }$.

Функция ${\displaystyle f}$ имеет в точке ${\displaystyle z_{0}}$ полюс кратности ${\displaystyle \mu }$ тогда и только тогда, когда функция ${\displaystyle 1/f}$ имеет в этой точке нуль кратности ${\displaystyle \mu }$. В случае, когда ряд Лорана содержит бесконечное число отрицательных степеней ${\displaystyle z-z_{0}}$ (${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ для бесконечного множества отрицательных индексов ${\displaystyle n}$), точка ${\displaystyle z_{0}}$ называется существенно особой точкой. В таких точках не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции ${\displaystyle f}$.

К необходимости изучения многозначных аналитических функций приводят многие вопросы анализа (обращение функций, нахождение первообразных и построение аналитических функций с заданной действительной частью в многосвязных областях, решение алгебраических уравнений с аналитическими коэффициентами и др.). Такими функциями являются ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}}$, ${\displaystyle {\text{Ln}}\,z}$, ${\displaystyle {\text{Arcsin}}\,z}$, ${\displaystyle {\text{Arctg}}\,z}$, алгебраические функции и т. д.

Регулярный процесс, приводящий к полной аналитической функции, рассматриваемой в своей естественной области существования, был указан К. Вейерштрассом. Он носит название аналитического продолжения по Вейерштрассу.

Исходным является понятие элемента аналитической функции — степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости. Совокупность всех элементов, которые могут быть получены аналитическим продолжением элемента ${\displaystyle W_{0}}$, образует полную аналитическую функцию (в смысле Вейерштрасса), порождённую элементом ${\displaystyle W_{0}}$. Объединение их кругов сходимости представляет собой (вейерштрассову) область существования этой функции. Из теоремы единственности аналитической функции следует, что аналитическая функция в смысле Вейерштрасса полностью определяется заданием элемента ${\displaystyle W_{0}}$. При этом в качестве исходного может быть взят любой другой элемент, принадлежащий этой функции — полная аналитическая функция от этого не изменится.

Класс аналитических функций достаточно широк: он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и её приложений к естествознанию и технике. Этот класс замкнут относительно основных операций арифметики, алгебры и анализа: применение арифметических действий к функциям этого класса, решение алгебраических уравнений с аналитическими коэффициентами, дифференцирование и интегрирование аналитической функции приводят снова к аналитической функции. Наконец, аналитическая функция обладают важным свойством единственности: каждая аналитическая функция образует одно «органически связанное целое», представляет собой «единую» функцию во всей своей естественной области существования^[1].

Основы теории аналитических функций и её приложений заложены советской математической школой. В начале XX века, благодаря работам русских учёных, возник активный интерес к приложениям теории функций комплексного переменного в механике сплошных сред. Ключевые задачи гидро- и аэродинамики нашли решение в трудах Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина, а методы Г. В. Колосова и Н. И. Мусхелишвили позволили применить эти подходы в теории упругости. В последующие годы теория функций комплексного переменного получила в нашей стране всестороннее развитие. Фундаментальные исследования В. В. Голубева, Н. Н. Лузина, И. И. Привалова и В. И. Смирнова — по граничным свойствам аналитических функций, М. А. Лаврентьева — по геометрической теории функций комплексного переменного (квазиконформные отображения и их приложения к газовой динамике), М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева и Л. И. Седова — по приложениям методов теории аналитических функций к задачам механики сплошных сред, Д. Е. Меньшова — по теории моногенности, М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева и С. Н. Мергеляна — по теории приближений функций переменного, И. Н. Векуа — по теории обобщённых аналитических функций и их приложениям, А. О. Гельфонда — по теории интерполяции, Н. Н. Боголюбова и В. С. Владимирова — по теории аналитических функций нескольких переменных и её применениям в квантовой теории поля, и многие другие сыграли определяющую роль в развитии соответствующих разделов теории аналитических функций. Теория аналитических функций одного и нескольких комплексных переменных и их обобщений продолжает активно развиваться^[10].