Функция Вейерштрасса

Функция Ве́йерштрасса — пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной; контрпример для гипотезы Ампера.

Функция Вейерштрасса задается на всей вещественной прямой единым аналитическим выражением

${\displaystyle w(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{n}\cos(a^{n}\pi x),}$

где ${\displaystyle a}$ — произвольное нечётное число, не равное единице, а ${\displaystyle b}$ — положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b^{n},}$

поэтому функция ${\displaystyle w}$ определена и непрерывна при всех вещественных ${\displaystyle x}$. Тем не менее, эта функция не имеет производной по крайней мере при

${\displaystyle ab>{\tfrac {3}{2}}\pi +1.}$

Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке ${\displaystyle x_{0}}$ строят две последовательности ${\displaystyle \{x_{m}\}}$ и ${\displaystyle \{y_{m}\}}$, сходящиеся к точке ${\displaystyle x_{0}}$, и доказывают, что отношения

${\displaystyle {\frac {w(x_{m})-w(x_{0})}{x_{m}-x_{0}}}}$ и ${\displaystyle {\frac {w(y_{m})-w(x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}}$

имеют разные знаки по крайней мере при

${\displaystyle ab>{\tfrac {3}{2}}\pi +1}$ и ${\displaystyle a>1}$.

Указанные последовательности могут быть определены как

${\displaystyle x_{m}={\frac {\gamma _{m}-1}{a^{m}}}}$ и ${\displaystyle y_{m}={\frac {\gamma _{m}+1}{a^{m}}},}$

где ${\displaystyle \gamma _{m}}$ — ближайшее целое число к ${\displaystyle a^{m}x_{0}}$.

Отсутствие производной во всех точках при более общих условиях

${\displaystyle ab\geqslant 1}$ и ${\displaystyle a>1}$

было установлено Харди^[1].