Уравнения Максвелла

Уравне́ния Ма́ксвелла — система уравнений в дифференциальной или интегральной форме, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах. Вместе с выражением для силы Лоренца, задающим меру воздействия электромагнитного поля на заряженные частицы, эти уравнения образуют полную систему уравнений классической электродинамики, называемую иногда уравнениями Максвелла — Лоренца. Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом на основе накопленных к середине XIX века экспериментальных результатов, сыграли ключевую роль в развитии представлений теоретической физики и оказали сильное, зачастую решающее влияние не только на все области физики, непосредственно связанные с электромагнетизмом, но и на многие возникшие впоследствии фундаментальные теории, предмет которых не сводился к электромагнетизму (одним из ярчайших примеров здесь может служить специальная теория относительности).

История

Джеймс Клерк Максвелл

Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом, возникли на основе ряда важных экспериментальных открытий, которые были сделаны в начале XIX века. В 1820 году Ханс Кристиан Эрстед обнаружил, что пропускаемый через провод гальванический ток заставляет отклоняться магнитную стрелку компаса. Это открытие привлекло широкое внимание учёных того времени. В том же 1820 году Био и Савар экспериментально нашли выражение для порождаемой током магнитной индукции (закон Био — Савара), а Андре Мари Ампер обнаружил также, что взаимодействие на расстоянии возникает между двумя проводниками, по которым пропускается ток. Ампер ввёл термин «электродинамический» и выдвинул гипотезу, что природный магнетизм связан с существованием в магните круговых токов.

Влияние тока на магнит, обнаруженное Эрстедом, привело Майкла Фарадея к идее о том, что должно существовать обратное влияние магнита на токи. После длительных экспериментов, в 1831 году, Фарадей открыл, что перемещающийся возле проводника магнит порождает в проводнике электрический ток. Это явление было названо электромагнитной индукцией. Фарадей ввёл понятие «поля сил» — некоторой среды, находящейся между зарядами и токами. Его рассуждения носили качественный характер, однако они оказали огромное влияние на исследования Максвелла.

После открытий Фарадея стало ясно, что старые модели электромагнетизма (Ампер, Пуассон и др.) неполны. Вскоре появилась теория Вебера, основанная на дальнодействии. Однако к этому моменту вся физика, кроме теории тяготения, имела дело только с близкодействием (оптика, термодинамика, механика сплошных сред и др.). Гаусс, Риман и ряд других учёных высказывали догадки, что свет имеет электромагнитную природу, так что теория электромагнитных явлений тоже должна быть основана на близкодействии. Этот принцип стал существенной особенностью теории Максвелла.

В своём знаменитом «Трактате об электричестве и магнетизме» (1873) Максвелл писал:

Приступая к изучению труда Фарадея, я установил, что его метод понимания явлений был так же математическим, хотя и не представленным в форме обычных математических символов. Я также нашёл, что этот метод можно выразить в обычной математической форме и таким образом сравнить с методами профессиональных математиков.

Заменяя фарадеевский термин «поле сил» на понятие «напряжённость поля», Максвелл сделал его ключевым объектом своей теории:

Если мы примем эту среду в качестве гипотезы, я считаю, что она должна занимать выдающееся место в наших исследованиях, и что нам следовало бы попытаться сконструировать рациональное представление о всех деталях её действия, что и было моей постоянной целью в этом трактате.

Подобная электродинамическая среда явилась абсолютно новым понятием для ньютоновской физики. Последняя изучала взаимодействие между собой тел, обладающих массой. Максвелл же записал уравнения, которым должна подчиняться среда, определяющая взаимодействие зарядов и токов и существующая даже в их отсутствие.

Электрический ток создаёт магнитную индукцию (закон Ампера)

Анализируя известные эксперименты, Максвелл получил систему уравнений для электрического и магнитного полей. В 1855 году в своей самой первой статье «О фарадеевых силовых линиях» («On Faraday’s Lines of Force») он впервые записал в дифференциальной форме систему уравнений электродинамики, но не вводя ещё ток смещения. Такая система уравнений описывала все известные к тому времени экспериментальные данные, но не позволяла связать между собой заряды и токи и предсказать электромагнитные волны. Впервые ток смещения был введён Максвеллом в работе «О физических силовых линиях» («On Physical Lines of Force»), состоящей из четырёх частей и опубликованной в 1861—1862 годах. Обобщая закон Ампера, Максвелл вводит ток смещения, вероятно, чтобы связать токи и заряды уравнением непрерывности, которое уже было известно для других физических величин. Следовательно, в этой статье фактически была завершена формулировка полной системы уравнений электродинамики. В статье 1864 года «Динамическая теория электромагнитного поля» («A dynamical theory of the electromagnetic field») рассмотрена сформулированная ранее система уравнений из 20 уравнений для 20 неизвестных. В этой статье Максвелл впервые сформулировал понятие электромагнитного поля как физической реальности, имеющей собственную энергию и конечное время распространения, определяющее запаздывающий характер электромагнитного взаимодействия.

Переменный поток магнитного поля создаёт электрическое поле (закон Фарадея)

Оказалось, что не только ток, но и изменяющееся со временем электрическое поле (ток смещения) порождает магнитное поле. В свою очередь, в силу закона Фарадея, изменяющееся магнитное поле снова порождает электрическое. В результате в пустом пространстве может распространяться электромагнитная волна. Из уравнений Максвелла следовало, что её скорость равна скорости света, поэтому Максвелл сделал вывод об электромагнитной природе света.

Часть физиков выступила против теории Максвелла (особенно много возражений вызвала концепция тока смещения). Гельмгольц предложил свою теорию, компромиссную по отношению к моделям Вебера и Максвелла, и поручил своему ученику Генриху Герцу провести её экспериментальную проверку. Однако опыты Герца однозначно подтвердили правоту Максвелла.

Максвелл не использовал векторных обозначений и записывал свои уравнения в достаточно громоздком компонентном виде. В своём трактате он, кроме того, частично использовал кватернионную формулировку. Современная форма уравнений Максвелла появилась около 1884 года после работ Хевисайда, Герца и Гиббса. Они не только переписали систему Максвелла в векторном виде, но и симметризовали её, переформулировав в терминах поля, избавившись от электрического и магнитного потенциалов, игравших в теории Максвелла существенную роль, поскольку полагали, что эти функции являются лишь ненужными вспомогательными математическими абстракциями. Интересно, что современная физика поддерживает Максвелла, но не разделяет негативное отношение его ранних последователей к потенциалам. Электромагнитный потенциал играет важную роль в квантовой физике и проявляется как физически измеряемая величина в некоторых экспериментах, например, в эффекте Ааронова — Бома.

Система уравнений в формулировке Герца и Хевисайда некоторое время называлась уравнениями Герца — Хевисайда. Эйнштейн в классической статье «К электродинамике движущихся тел» назвал их уравнениями Максвелла — Герца. Иногда в литературе встречается также название уравнения Максвелла — Хевисайда.

Уравнения Максвелла сыграли важную роль при возникновении специальной теории относительности (СТО). Джозеф Лармор (1900 год) и независимо от него Хенрик Лоренц (1904 год) нашли преобразования координат, времени и электромагнитных полей, которые оставляют уравнения Максвелла инвариантными при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Эти преобразования отличались от преобразований Галилея классической механики и, с подачи Анри Пуанкаре, стали называться преобразованиями Лоренца. Они стали математическим фундаментом специальной теории относительности.

Распространение электромагнитных волн со скоростью света первоначально интерпретировалось как возмущения некоторой среды, так называемого эфира. Были предприняты многочисленные попытки (см.исторический обзор) обнаружить движение Земли относительно эфира, однако они неизменно давали отрицательный результат. Поэтому Анри Пуанкаре высказал гипотезу о принципиальной невозможности обнаружить подобное движение (принцип относительности). Ему же принадлежит постулат о независимости скорости света от скорости его источника и вывод (вместе с Лоренцем), исходя из сформулированного так принципа относительности, точного вида преобразований Лоренца (при этом были показаны и групповые свойства этих преобразований). Эти две гипотезы (постулата) легли и в основу статьи Альберта Эйнштейна (1905 год). С их помощью он также вывел преобразования Лоренца и утвердил их общефизический смысл, особо подчеркнув возможность их применения для перехода из любой инерциальной системы отсчёта в любую другую инерциальную. Эта работа фактически ознаменовала собой построение специальной теории относительности. В СТО преобразования Лоренца отражают общие свойства пространства и времени, а модель эфира оказывается ненужной. Электромагнитные поля являются самостоятельными объектами, существующими наравне с материальными частицами.

Классическая электродинамика, основанная на уравнениях Максвелла, лежит в основе многочисленных приложений электро- и радиотехники, СВЧ и оптики. До настоящего времени не было обнаружено ни одного эффекта, который потребовал бы видоизменения уравнений. Они оказываются применимы и в квантовой механике, когда рассматривается движение, например, заряженных частиц во внешних электромагнитных полях. Поэтому уравнения Максвелла являются основой микроскопического описания электромагнитных свойств вещества.

Уравнения Максвелла востребованы также в астрофизике и космологии, поскольку многие планеты и звёзды обладают магнитным полем. Магнитное поле определяет, в частности, свойства таких объектов, как пульсары и квазары.

На современном уровне понимания все фундаментальные частицы являются квантовыми возбуждениями («квантами») различных полей. Например, фотон — это квант электромагнитного поля, а электрон — квант спинорного поля. Поэтому полевой подход, предложенный Фарадеем и существенно развитый Максвеллом, является основой современной физики фундаментальных частиц, в том числе её стандартной модели.

Исторически несколько раньше он сыграл важную роль в появлении квантовой механики в формулировке Шрёдингера и вообще открытии квантовых уравнений, описывающих движение частиц, в том числе и релятивистских (уравнение Клейна — Гордона, уравнение Дирака), хотя первоначально аналогия с уравнениями Максвелла здесь виделась скорее лишь в общей идее, тогда как впоследствии оказалось, что она может быть понята как более конкретная и детальная (как это описано выше).

Также полевой подход, в целом восходящий к Фарадею и Максвеллу, стал центральным в теории гравитации (включая ОТО).

Запись уравнений Максвелла и системы единиц

Запись большинства уравнений в физике не зависит от выбора системы единиц. Однако в электродинамике это не так. В зависимости от выбора системы единиц в уравнениях Максвелла возникают различные коэффициенты (константы). Международная система единиц (СИ) является стандартом в технике и преподавании, однако споры среди физиков о её достоинствах и недостатках по сравнению с конкурирующей системой единиц СГС не утихают; здесь и всюду далее под СГС подразумевается исключительно симметричная гауссова система СГС. Преимущество системы СГС в электродинамике состоит в том, что все поля в ней имеют одну размерность, а уравнения, по мнению многих учёных, записываются проще и естественней. Поэтому СГС продолжает применяться в научных публикациях по электродинамике и в преподавании теоретической физики, например, в курсе теоретической физики Ландау и Лифшица. Однако для практических применений вводимые в СГС единицы измерений, многие из которых неименованы и неоднозначны, часто неудобны. Система СИ стандартизована и лучше самосогласованна, на этой системе построена вся современная метрология. Кроме того, система СИ обычно используется в курсах общей физики. В связи с этим все соотношения, если они по-разному записываются в системах СИ и СГС, далее приводятся в двух вариантах.

Иногда (например, в некоторых разделах «Фейнмановских лекций по физике», а также в современной квантовой теории поля) применяется система единиц, в которой скорость света, электрическая и магнитная постоянные принимаются за единицу: $c=\varepsilon _{0}=\mu _{0}=1$. В такой системе уравнения Максвелла записываются вообще без коэффициентов, все поля имеют единую размерность, а все потенциалы — свою единую. Такая система особенно удобна в ковариантной четырёхмерной формулировке законов электродинамики через 4-потенциал и 4-тензор электромагнитного поля.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнения Максвелла представляют собой в векторной записи систему из четырёх уравнений, сводящуюся в компонентном представлении к восьми (два векторных уравнения содержат по три компоненты каждое плюс два скалярных) линейным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка для 12 компонент четырёх векторных и псевдовекторных функций ($\mathbf {D} ,\;\mathbf {E} ,\;\mathbf {H} ,\;\mathbf {B}$):

Название	СГС	СИ	Примерное словесное выражение
Закон Гаусса	$\nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$	Электрический заряд является источником электрической индукции.
Закон Гаусса для магнитного поля	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	Магнитные заряды не обнаружены.
Закон индукции Фарадея	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле.
Теорема о циркуляции магнитного поля	$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле

Жирным шрифтом в дальнейшем обозначаются векторные и псевдовекторные величины, курсивом — скалярные.

Введённые обозначения:

• $\rho \$ — объёмная плотность стороннего электрического заряда (в единицах СИ — Кл/м³);
• $\mathbf {j}$ — плотность электрического тока (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — А/м²); в простейшем случае — случае тока, порождаемого одним типом носителей заряда, она выражается просто как $\mathbf {j} =\mathbf {u} \rho _{1}$, где $\mathbf {u}$ — (средняя) скорость движения этих носителей в окрестности данной точки, $\rho _{1}$ — плотность заряда этого типа носителей (она в общем случае не совпадает с $\rho$); в общем случае это выражение надо усреднить по разным типам носителей;
• $c$ — скорость света в вакууме (299 792 458 м/с);
• $\mathbf {E}$ — напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м);
• $\mathbf {H}$ — напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м);
• $\mathbf {D}$ — электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/м²);
• $\mathbf {B}$ — магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/м² = кг•с⁻²•А⁻¹);
• $\nabla$ — дифференциальный оператор набла, при этом:

  $\nabla \times \mathbf {E} \equiv \mathrm {rot} \,\mathbf {E}$ означает ротор вектора $\mathbf {E}$,

  $\nabla \cdot \mathbf {E} \equiv \mathrm {div} \,\mathbf {E}$ означает дивергенцию вектора $\mathbf {E}$.

Приведённые выше уравнения Максвелла не составляют ещё полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку они не содержат свойств среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины $\mathbf {E}$, $\mathbf {B}$, $\mathbf {D}$, $\mathbf {H}$ и $\mathbf {j}$ и учитывающие индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями.

Уравнения Максвелла в интегральной форме

При помощи формулы Остроградского — Гаусса и теоремы Стокса дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму интегральных уравнений:

Название	СГС	СИ	Примерное словесное выражение
Закон Гаусса	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =4\pi Q$	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =Q$	Поток электрической индукции через замкнутую поверхность пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме, ограниченном этой поверхностью.
Закон Гаусса для магнитного поля	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0$	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0$	Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не обнаружены).
Закон индукции Фарадея	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =$ $-{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s}$	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =$ $-{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s}$	Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность $s$, взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре $l$, который является границей поверхности $s$.
Теорема о циркуляции магнитного поля	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =$ ${\frac {4\pi }{c}}I+{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s}$	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =$ $I+{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s}$	Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность $s$ пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре $l$, который является границей поверхности $s$.

Поток электрического поля через замкнутую поверхность

Введённые обозначения:

• $s\$ — двумерная замкнутая в случае теоремы Гаусса поверхность, ограничивающая объём $v\$, и открытая поверхность в случае законов Фарадея и Ампера — Максвелла (её границей является замкнутый контур $l\$).
• $Q=\int \limits _{v}\rho \,dv\$ — электрический заряд, заключённый в объёме $v\$, ограниченном поверхностью $s\$ (в единицах СИ — Кл);
• $I=\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {j} \cdot d\mathbf {s} \$ — электрический ток, проходящий через поверхность $s\$ (в единицах СИ — А).

При интегрировании по замкнутой поверхности вектор элемента площади $d\mathbf {s}$ направлен из объёма наружу. Ориентация $d\mathbf {s}$ при интегрировании по незамкнутой поверхности определяется направлением правого винта, «вкручивающегося» при повороте в направлении обхода контурного интеграла по $d\mathbf {l}$.

Словесное описание законов Максвелла, например, закона Фарадея, несёт отпечаток традиции, поскольку вначале при контролируемом изменении магнитного потока регистрировалось возникновение электрического поля (точнее электродвижущей силы). В общем случае в уравнениях Максвелла (как в дифференциальной, так и в интегральной форме) векторные функции $\mathbf {E} ,\mathbf {B} ,\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ являются равноправными неизвестными величинами, определяемыми в результате решения уравнений.

Сила Лоренца

Основная статья: Сила Лоренца

При решении уравнений Максвелла распределения зарядов $\rho$ и токов $\mathbf {j}$ часто считаются заданными. С учётом граничных условий и материальных уравнений это позволяет определить напряжённость электрического поля $\mathbf {E}$ и магнитную индукцию $\mathbf {B}$, которые, в свою очередь, определяют силу, действующую на пробный заряд $q$, движущийся со скоростью $\mathbf {u}$. Эта сила называется силой Лоренца:

СГС	СИ
$\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} +{\frac {q}{c}}\,[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]$	$\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} +q\,[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]$

Электрическая составляющая силы направлена параллельно электрическому полю, а магнитная — перпендикулярна скорости заряда и магнитной индукции. Впервые выражение для силы, действующей на заряд в магнитном поле (электрическая компонента была известна), получил в 1889 году Хевисайд за три года до Хендрика Лоренца, который вывел выражение для этой силы в 1892 году.

В более сложных ситуациях в классической и квантовой физике в случае, когда под действием электромагнитных полей свободные заряды перемещаются и изменяют значения полей, необходимо решение самосогласованной системы из уравнений Максвелла и уравнений движения, включающих силы Лоренца. Получение точного аналитического решения такой полной системы сопряжено обычно с большими сложностями. Важным примером такой системы уравнений для самосогласованного поля являются уравнения Власова — Максвелла, описывающие динамику плазмы.

Размерные константы в уравнениях Максвелла

В гауссовой системе единиц СГС все поля имеют одинаковую размерность, и в уравнениях Максвелла фигурирует единственная фундаментальная константа $c$, имеющая размерность скорости, которая сейчас называется скоростью света (именно равенство этой константы скорости распространения света дало Максвеллу основания для гипотезы об электромагнитной природе света).

В системе единиц СИ, чтобы связать электрическую индукцию и напряжённость электрического поля в вакууме, вводится электрическая постоянная $\varepsilon _{0}$ ($\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E}$). Магнитная постоянная $\mu _{0}$ является таким же коэффициентом пропорциональности для магнитного поля в вакууме ($\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H}$). Названия электрическая постоянная и магнитная постоянная сейчас стандартизованы. Ранее для этих величин также использовались, соответственно, названия электрическая (диэлектрическая) и магнитная проницаемости вакуума.

Скорость электромагнитного излучения в вакууме (скорость света) в СИ появляется при выводе волнового уравнения:

$c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}.$

В системе единиц СИ в качестве точной размерной константы определена скорость света в вакууме $c$, а магнитная постоянная $\mu _{0}$ после изменения 2018—2019 годов является экспериментально определяемой величиной. Через них выражается электрическая постоянная $\varepsilon _{0}$.

Значения скорости света, электрической и магнитной постоянных приведены в таблице:

Символ	Наименование	Численное значение	Единицы измерения СИ
$c$	Постоянная скорости света	$299\;792\;458$ (точно)	м/с
$\mu _{0}$	Магнитная постоянная	$1{,}256\;637\times 10^{-6}$	Гн/м
$\varepsilon _{0}=1/(\mu _{0}c^{2})$	Электрическая постоянная	$8{,}854\;188\times 10^{-12}$	Ф/м

Иногда вводится величина, называемая «волновым сопротивлением вакуума», или «импедансом» вакуума:

$Z_{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=\mu _{0}c\approx 120\pi$ Ом.

В системе СГС $Z_{0}=1$. Эта величина имеет смысл отношения амплитуд напряжённостей электрического и магнитного полей плоской электромагнитной волны в вакууме. Однако приписать этой величине физический смысл волнового сопротивления нельзя, поскольку в той же системе СГС её размерность не совпадает с размерностью сопротивления.

Уравнения Максвелла в среде

Чтобы получить полную систему уравнений электродинамики, к системе уравнений Максвелла необходимо добавить материальные уравнения, связывающие величины $\mathbf {j}$, $\mathbf {H}$, $\mathbf {D}$, $\mathbf {E}$, $\mathbf {B}$, в которых учтены индивидуальные свойства среды. Способ получения материальных уравнений дают молекулярные теории поляризации, намагниченности и электропроводности среды, использующие идеализированные модели среды. Применяя к ним уравнения классической или квантовой механики, а также методы статистической физики, можно установить связь между векторами $\mathbf {j}$, $\mathbf {H}$, $\mathbf {D}$ с одной стороны и $\mathbf {E}$, $\mathbf {B}$ с другой стороны.

Связанные заряды и токи

Слева: Совокупность микроскопических диполей в среде образует один макроскопический дипольный момент и эквивалентна двум заряженным с противоположным знаком пластинам на границе. При этом внутри среды все заряды скомпенсированы; Справа: Совокупность микроскопических циркулярных токов в среде эквивалентна макроскопическому току, циркулирующему вдоль границы. При этом внутри среды все токи скомпенсированы.

При приложении электрического поля к диэлектрическому материалу каждая из его молекул превращается в микроскопический диполь. При этом положительные ядра атомов немного смещаются в направлении поля, а электронные оболочки в противоположном направлении. Кроме этого, молекулы некоторых веществ изначально имеют дипольный момент. Дипольные молекулы стремятся ориентироваться в направлении поля. Этот эффект называется поляризацией диэлектриков. Такое смещение связанных зарядов молекул в объёме эквивалентно появлению некоторого распределения зарядов на поверхности, хотя все молекулы, вовлечённые в процесс поляризации, остаются нейтральными (см. рисунок).

Аналогичным образом происходит магнитная поляризация (намагничивание) в материалах, в которых составляющие их атомы и молекулы имеют магнитные моменты, связанные со спином и орбитальным моментом ядер и электронов. Угловые моменты атомов можно представить в виде циркулярных токов. На границе материала совокупность таких микроскопических токов эквивалентна макроскопическим токам, циркулирующим вдоль поверхности, несмотря на то, что движение зарядов в отдельных магнитных диполях происходит лишь в микромасштабе (связанные токи).

Рассмотренные модели показывают, что хотя внешнее электромагнитное поле действует на отдельные атомы и молекулы, его поведение во многих случаях можно рассматривать упрощённым образом в макроскопическом масштабе, игнорируя детали микроскопической картины.

В среде сторонние электрические и магнитные поля вызывают поляризацию и намагничивание вещества, которые макроскопически описываются соответственно вектором поляризации $\mathbf {P}$ и вектором намагниченности $\mathbf {M}$ вещества, и вызваны появлением связанных зарядов $\rho _{b}\$ и токов $\mathbf {j} _{b}$. В результате поле в среде оказывается суммой внешних полей и полей, вызванных связанными зарядами и токами.

СГС	СИ
$\rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P}$ $\mathbf {j} _{b}=c\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}$	$\rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P}$ $\mathbf {j} _{b}=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}$

Поляризация $\mathbf {P}$ и намагниченность вещества $\mathbf {M}$ связаны с векторами напряжённости и индукции электрического и магнитного поля следующими соотношениями:

СГС	СИ
$\mathbf {D} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P}$ $\mathbf {B} =\mathbf {H} +4\pi \mathbf {M}$	$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$ $\mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )$

Поэтому, выражая векторы $\mathbf {D}$ и $\mathbf {H}$ через $\mathbf {E}$, $\mathbf {B}$, $\rho _{b}\$ и $\mathbf {j} _{b}$, можно получить математически эквивалентную систему уравнений Максвелла:

СГС	СИ
$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi [\rho _{f}+\rho _{b}]$	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}[\rho _{f}+\rho _{b}]$
$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}[\mathbf {j} _{b}+\mathbf {j} _{f}]+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}[\mathbf {j} _{b}+\mathbf {j} _{f}]+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

Индексом $f\$ здесь обозначены свободные заряды и токи. Уравнения Максвелла в такой форме являются фундаментальными в том смысле, что они не зависят от модели электромагнитного устройства вещества. Разделение зарядов и токов на свободные и связанные позволяет «спрятать» в $\rho _{b}\$, $\mathbf {j} _{b}$, а затем в $\mathbf {P} ,\mathbf {M}$ и, следовательно, в $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ сложный микроскопический характер электромагнитного поля в среде.

Материальные уравнения

Материальные уравнения устанавливают связь между $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ и $\mathbf {E} ,\mathbf {B}$. При этом учитываются индивидуальные свойства среды. На практике в материальных уравнениях обычно используются экспериментально определяемые коэффициенты (зависящие в общем случае от частоты электромагнитного поля), которые собраны в различных справочниках физических величин.

• В слабых электромагнитных полях, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени, в случае изотропных, неферромагнитных и несегнетоэлектрических сред справедливо приближение, в котором поляризуемость и намагниченность линейно зависят от приложенных полей:

СГС	СИ
$\mathbf {P} =\chi _{e}\mathbf {E}$ $\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H}$	$\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E}$ $\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,$

где введены безразмерные константы: $\chi _{e}\$ — диэлектрическая восприимчивость и $\chi _{m}\$ — магнитная восприимчивость вещества (в системе единиц СИ эти константы в $4\pi \$ раз больше, чем в гауссовой системе СГС). Соответственно, материальные уравнения для электрической и магнитной индукций записываются в следующем виде:

СГС	СИ
$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} =(1+4\pi \chi _{e})\mathbf {E}$ $\mathbf {B} =\mu \mathbf {H} =(1+4\pi \chi _{m})\mathbf {H}$	$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\varepsilon \mathbf {E} =\varepsilon _{0}(1+\chi _{e})\mathbf {E}$ $\mathbf {B} =\mu _{0}\mu \mathbf {H} =\mu _{0}(1+\chi _{m})\mathbf {H} ,$

где $\varepsilon \$ — относительная диэлектрическая проницаемость, $\mu \$ — относительная магнитная проницаемость. Размерные величины $\varepsilon _{0}\varepsilon$ (в единицах СИ — Ф/м) и $\mu _{0}\mu$ (в единицах СИ — Гн/м), возникающие в системе СИ, называются абсолютная диэлектрическая проницаемость и абсолютная магнитная проницаемость соответственно.

• В проводниках существует связь между плотностью тока и напряжённостью электрического поля, в хорошем приближении выражаемая законом Ома:

$\mathbf {j} =\sigma \mathbf {E} ,$

где $\sigma$ — удельная проводимость среды (в единицах СИ — Ом⁻¹•м⁻¹).

• В анизотропной среде $\varepsilon$, $\mu$ и $\sigma$ являются тензорами ${\hat {\varepsilon }}$, ${\hat {\mu }}$ и ${\hat {\sigma }}$. В системе координат главных осей они могут быть описаны диагональными матрицами. В этом случае связь между напряжённостями полей и индукциями имеют различные коэффициенты по каждой координате. Например, в системе СИ:

${\begin{array}{lll}D_{x}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{xx}\,E_{x},~~~~~&D_{y}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{yy}\,E_{y},~~~~~&D_{z}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{zz}\,E_{z},\\[3mm]B_{x}=\mu _{0}\mu _{xx}\,H_{x},~~~~~&B_{y}=\mu _{0}\mu _{yy}\,H_{y},~~~~~&B_{z}=\mu _{0}\mu _{zz}\,H_{z}.\end{array}}$

• Хотя для широкого класса веществ линейное приближение для слабых полей выполняется с хорошей точностью, в общем случае зависимость между $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ и $\mathbf {E} ,\mathbf {B}$ может быть нелинейной. В этом случае проницаемости среды не являются константами, а зависят от величины поля в данной точке. Кроме того, более сложная связь между $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ и $\mathbf {E} ,\mathbf {B}$ наблюдается в средах с пространственной или временной дисперсиями. В случае пространственной дисперсии токи и заряды в данной точке пространства зависят от величины поля не только в той же точке, но и в соседних точках. В случае временной дисперсии поляризация и намагниченность среды не определяются только величиной поля в данный момент времени, а зависят также от величины полей в предшествующие моменты времени. В самом общем случае нелинейных и неоднородных сред с дисперсией материальные уравнения в системе СИ принимают интегральный вид:

$\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int \limits _{v}\!\int \limits _{-\infty }^{t}{\hat {\chi }}_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t-t',\mathbf {E} ,\mathbf {H} )\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ',t')\,dt'd^{3}\mathbf {r} ';$ $\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)=\int \limits _{v}\!\int \limits _{-\infty }^{t}{\hat {\chi }}_{m}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t-t',\mathbf {E} ,\mathbf {H} )\,\mathbf {H} (\mathbf {r} ',t')\,dt'd^{3}\mathbf {r} '.$

Аналогичные уравнения получаются в гауссовой системе СГС (если формально положить $\varepsilon _{0}=1$).

Уравнения в изотропных и однородных средах без дисперсии

В изотропных и однородных средах без дисперсии уравнения Максвелла принимают следующий вид:

СГС	СИ
$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon }}$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ $\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j} +{\frac {\varepsilon \mu }{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0}}}$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ $\nabla \times \mathbf {B} ={\mu \mu _{0}}\mathbf {j} +{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

В оптическом диапазоне частот вместо диэлектрической проницаемости $\varepsilon$ используется показатель преломления $n={\sqrt {\varepsilon \mu }}$, показывающий отличие скорости распространения монохроматической световой волны в среде от скорости света в вакууме. При этом в оптическом диапазоне диэлектрическая проницаемость обычно заметно меньше, чем на низких частотах, а магнитная проницаемость большинства оптических сред практически равна единице. Показатель преломления большинства прозрачных материалов составляет от 1 до 2, достигая 5 у некоторых полупроводников. В вакууме и диэлектрическая, и магнитная проницаемости равны единице: $\varepsilon =\mu =1$.

Поскольку уравнения Максвелла в линейной среде являются линейными относительно полей $(\mathbf {E} ,\mathbf {B} )$ и свободных зарядов и токов $(\rho ,\mathbf {j} )$, справедлив принцип суперпозиции:

Если распределения зарядов и токов $(\rho _{1},\mathbf {j} _{1})$ создают электромагнитное поле с компонентами $(\mathbf {E} _{1},\mathbf {B} _{1})$, а другие распределения $(\rho _{2},\mathbf {j} _{2})$ создают, соответственно, поле $(\mathbf {E} _{2},\mathbf {B} _{2})$, то суммарное поле, создаваемое источниками $(\rho _{1}+\rho _{2},\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2})$, будет равно $(\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2},\mathbf {B} _{1}+\mathbf {B} _{2})$.

При распространении электромагнитных полей в линейной среде в отсутствие зарядов и токов сумма любых частных решений уравнений будет также удовлетворять уравнениям Максвелла.

Граничные условия

Во многих случаях неоднородную среду можно представить в виде совокупности кусочно-непрерывных однородных областей, разделённых бесконечно тонкими границами. При этом можно решать уравнения Максвелла в каждой области, «сшивая» на границах получающиеся решения. В частности, при рассмотрении решения в конечном объёме необходимо учитывать условия на границах объёма с окружающим бесконечным пространством. Граничные условия получаются из уравнений Максвелла предельным переходом. Для этого проще всего воспользоваться уравнениями Максвелла в интегральной форме.

Выбирая во второй паре уравнений контур интегрирования в виде прямоугольной рамки бесконечно малой высоты, пересекающей границу раздела двух сред, можно получить следующую связь между компонентами поля в двух областях, примыкающих к границе:

СГС	СИ
$(\mathbf {E} _{1}-\mathbf {E} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$, $(\mathbf {H} _{1}-\mathbf {H} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{s}$,	$(\mathbf {E} _{1}-\mathbf {E} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$, $(\mathbf {H} _{1}-\mathbf {H} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {j} _{s}$,

где $\mathbf {n} _{1-2}$ — единичный вектор нормали к поверхности, направленный из среды 1 в среду 2 и имеющий размерность, обратную длине, $\mathbf {j} _{s}$ — плотность поверхностных свободных токов вдоль границы (то есть не включая связанных токов намагничивания, складывающихся на границе среды из микроскопических молекулярных и т. п. токов). Первое граничное условие можно интерпретировать как непрерывность на границе областей тангенциальных компонент напряжённостей электрического поля (из второго следует, что тангенциальные компоненты напряжённости магнитного поля непрерывны только при отсутствии поверхностных токов на границе).

Аналогичным образом, выбирая область интегрирования в первой паре интегральных уравнений в виде цилиндра бесконечно малой высоты, пересекающего границу раздела так, что его образующие перпендикулярны границе раздела, можно получить:

СГС	СИ
$(\mathbf {D} _{1}-\mathbf {D} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-4\pi \rho _{s}$, $(\mathbf {B} _{1}-\mathbf {B} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$,	$(\mathbf {D} _{1}-\mathbf {D} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-\rho _{s}$, $(\mathbf {B} _{1}-\mathbf {B} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$,

где $\rho _{s}\$ — поверхностная плотность свободных зарядов (то есть не включающая в себя связанных зарядов, возникающих на границе среды вследствие диэлектрической поляризации самой среды).

Эти граничные условия показывают непрерывность нормальной компоненты вектора магнитной индукции (нормальная компонента электрической индукции непрерывна только при отсутствии на границе поверхностных зарядов).

Из уравнения непрерывности можно получить граничное условие для токов:

$(\mathbf {j} _{1}-\mathbf {j} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}={\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{s}$,

Важным частным случаем является граница раздела диэлектрика и идеального проводника. Поскольку идеальный проводник имеет бесконечную проводимость, электрическое поле внутри него равно нулю (иначе оно порождало бы бесконечную плотность тока). Тогда в общем случае переменных полей из уравнений Максвелла следует, что и магнитное поле в проводнике равно нулю. В результате тангенциальная компонента электрического и нормальная магнитного поля на границе с идеальным проводником равны нулю:

СГС	СИ
$\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$, $\mathbf {H} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{s}$, $\mathbf {D} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-4\pi \rho _{s}$, $\mathbf {B} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$,	$\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$, $\mathbf {H} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {j} _{s}$, $\mathbf {D} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-\rho _{s}$, $\mathbf {B} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$,

Законы сохранения

Уравнения Максвелла содержат в себе законы сохранения заряда и энергии электромагнитного поля.

Уравнение непрерывности

Источники полей ($\rho ,~\mathbf {j}$) не могут быть заданы произвольным образом. Применяя операцию дивергенции к четвёртому уравнению (закон Ампера—Максвелла) и используя первое уравнение (закон Гаусса), можно получить уравнение непрерывности для зарядов и токов:

$\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.$

Вывод уравнения непрерывности

Дивергенция от ротора равна нулю, поэтому для четвёртого уравнения Максвелла (Закон Ампера—Максвелла) в системе СИ имеем:

$0=\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ]=\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \nabla \cdot \mathbf {D} }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}},$

где в последнем равенстве подставлено первое уравнение (Закон Гаусса).

Это уравнение при помощи интегральной теоремы Остроградского—Гаусса можно записать в следующем виде:

$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {j} \cdot d\mathbf {s} =-{\frac {d}{dt}}\int \limits _{v}\rho \,dv.$

В левой части уравнения находится полный ток, протекающий через замкнутую поверхность $s\$. В правой части — изменение со временем заряда, находящегося внутри объёма $v\$. Таким образом, изменение заряда внутри объёма возможно только при его притоке или оттоке через поверхность $s\$, ограничивающую объём.

Уравнение непрерывности, эквивалентное закону сохранения заряда, далеко выходит за пределы классической электродинамики, оставаясь справедливым и в квантовой теории. Поэтому это уравнение само по себе может быть положено в основу электромагнитной теории. Тогда, например, ток смещения (производная по времени электрического поля) должен обязательно присутствовать в законе Ампера.

Из уравнений Максвелла для роторов и уравнения непрерывности с точностью до произвольных функций, не зависящих от времени, следуют законы Гаусса для электрического и магнитного полей.

Закон сохранения энергии

Если умножить третье уравнение Максвелла в дифференциальной форме (закон Фарадея) скалярно на $\mathbf {H}$, а четвёртое (закон Ампера — Максвелла) на $-\mathbf {E}$ и сложить результаты, можно получить теорему Пойнтинга:

$\nabla \cdot \mathbf {S} +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(w_{E}+w_{H}\right)=-\mathbf {E} \mathbf {j} ,$

где

СГС	СИ
$\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {H}$ $w_{E}={\frac {1}{8\pi }}\,\mathbf {E} \cdot \mathbf {D}$ $w_{H}={\frac {1}{8\pi }}\,\mathbf {H} \cdot \mathbf {B}$	$\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$ $w_{E}={\frac {1}{2}}\,\mathbf {E} \cdot \mathbf {D}$ $w_{H}={\frac {1}{2}}\,\mathbf {H} \cdot \mathbf {B}$

Вывод теоремы Пойнтинга

При помощи третьего и четвёртого уравнения Максвелла в дифференциальной форме в системе СИ можно получить:

$\mathbf {E} \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ]=\mathbf {E} \mathbf {j} +\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}},~~~~~~~~~~~~~\mathbf {H} \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ]=-\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.$

Разница левых частей уравнений сворачивается по следующей формуле векторного анализа (производная произведения):

$\nabla \cdot [\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]=\mathbf {H} \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ]-\mathbf {E} \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ].$

В линейных, но, возможно, неизотропных средах между напряжённостями и индукциями существует линейная связь. Например, для электрического поля $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\,{\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {E}$. Если ${\hat {\varepsilon }}$ — симметричная матрица, не зависящая от времени, то:

$\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\varepsilon _{0}\,\mathbf {E} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\,{\frac {\partial (\mathbf {E} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {E} )}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial (\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}}.$

Аналогично для магнитного поля.

Вектор $\mathbf {S}$ называется вектором Пойнтинга (вектором плотности потока электромагнитной энергии) и определяет количество электромагнитной энергии, переносимой через единицу площади в единицу времени. Интеграл вектора Пойнтинга по сечению распространяющейся волны определяет её мощность. Важно отметить, что, как впервые указал Хевисайд, физический смысл потока энергии имеет только безвихревая часть вектора Пойнтинга. Вихревая часть, дивергенция которой равна нулю, не связана с переносом энергии. Заметим, что Хевисайд получил выражение для закона сохранения независимо от Пойнтинга. В русскоязычной литературе вектор Пойнтинга часто называется также «вектором Умова — Пойнтинга».

Величины $w_{E}\$ и $w_{H}\$ определяют объёмные плотности энергии, соответственно, электрического и магнитного полей. При отсутствии токов и связанных с ними потерь теорема Пойнтинга является уравнением непрерывности для энергии электромагнитного поля. Проинтегрировав его в этом случае по некоторому замкнутому объёму и воспользовавшись теоремой Остроградского — Гаусса, можно получить закон сохранения энергии для электромагнитного поля:

$\oint \limits _{s}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {s} +{\frac {d}{dt}}\int \limits _{v}(w_{E}+w_{H})\,dv=0.$

Это уравнение показывает, что при отсутствии внутренних потерь изменение энергии электромагнитного поля в объёме происходит только за счёт мощности электромагнитного излучения, переносимого через границу этого объёма.

Вектор Пойнтинга связан с импульсом электромагнитного поля:

$\mathbf {p} ={\frac {1}{c^{2}}}\int \mathbf {S} \,dv,$

где интегрирование производится по всему пространству. Электромагнитная волна, поглощаясь или отражаясь от некоторой поверхности, передаёт ей часть своего импульса, что проявляется в форме светового давления. Экспериментально этот эффект впервые наблюдался П. Н. Лебедевым в 1899 году.

Потенциалы

Скалярный и векторный потенциалы

Закон Фарадея и закон Гаусса для магнитной индукции выполняются тождественно, если электрическое и магнитное поля выразить через скалярный $\varphi$ и векторный $\mathbf {A}$ потенциалы:

СГС	СИ
$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$	$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

Доказательство

Поскольку согласно закону Гаусса дивергенция индукции магнитного поля $\mathbf {B}$ равна нулю, то по теореме Гельмгольца существует такое векторное поле $\mathbf {A}$, что $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .$ Тогда ротор вектора $\mathbf {E} '=\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$ (в системе СГС) или вектора $\mathbf {E} '=\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$ (в системе СИ) удовлетворяет условию $\nabla \times \mathbf {E} '=0.$ Например, в системе СИ получаем:

$\nabla \times \mathbf {E'} =\nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=\nabla \times \mathbf {E} +\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0.$

Из условия же равенства нулю ротора согласно теореме Гельмгольца следует, что существует такая скалярная функция $\varphi ,$ что $\mathbf {E} '=-\nabla \varphi .$

Обратная подстановка работает аналогично. Если электрическое и магнитное поля выражены через скалярный $\varphi$ и векторный $\mathbf {A}$ потенциалы согласно приведённым выше формулам, то дивергенция индукции магнитного поля автоматически равна нулю:

$\nabla \cdot \mathbf {B} =\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {A} ]=[\nabla \times \nabla ]\cdot \mathbf {A} =0.$

Для напряжённости же электрического поля $\mathbf {E}$ будет автоматически выполнен закон Фарадея. Например, в системе СИ получаем:

$\nabla \times \mathbf {E} =\nabla \times \left(-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=-\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.$

При данных электрическом $\mathbf {E}$ и магнитном $\mathbf {B}$ полях скалярный и векторный потенциалы определены неоднозначно. Если $\psi \$ — произвольная функция координат и времени, то следующее преобразование не изменит значение полей:

СГС	СИ
$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi$ $\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$	$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi$ $\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial \psi }{\partial t}}.$

Подобные преобразования играют важную роль в квантовой электродинамике и лежат в основе локальной калибровочной симметрии электромагнитного взаимодействия. Локальная калибровочная симметрия вводит зависимость от координат и времени в фазу глобальной калибровочной симметрии, которая, в силу теоремы Нётер, приводит к закону сохранения заряда.

Неоднозначность определения потенциалов оказывается удобной для наложения на них дополнительных условий, называемых калибровкой. Благодаря этому уравнения электродинамики принимают более простой вид. Рассмотрим, например, уравнения Максвелла в однородных и изотропных средах с диэлектрической ($\varepsilon$) и магнитной ($\mu \$) проницаемостями. Для данных $\varphi$ и $\mathbf {A}$ всегда можно подобрать такую функцию $f$, чтобы выполнялось калибровочное условие Лоренца:

СГС	СИ
$\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {\varepsilon \mu }{c}}\,{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0$	$\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}\,{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.$

В этом случае оставшиеся уравнения Максвелла в однородных и изотропных средах могут быть записаны в следующем виде:

СГС	СИ
$\square \varphi =-4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon }}$ $\square \mathbf {A} =-{\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j}$	$\square \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0}}}$ $\square \mathbf {A} =-\mu \mu _{0}\,\mathbf {j} ,$

где $\square$ — оператор Д’Аламбера, который и в системе СГС, и в системе СИ имеет вид:

$\square =\Delta -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}.$

Таким образом, 8 уравнений Максвелла (уравнения первого порядка) для компонент электромагнитного поля (2 векторных и 2 скалярных) при помощи потенциалов могут быть сведены к 4 уравнениям, но уже второго порядка (скалярному для $\varphi$ и векторному для $\mathbf {A}$). Решения этих уравнений для произвольно движущегося точечного заряда называются потенциалами Лиенара — Вихерта.

Возможно введение других калибровок. Так, для решения ряда задач удобной оказывается кулоновская калибровка:

$\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

В этом случае:

СГС	СИ
$\Delta \varphi =-4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon }}$ $\square \mathbf {A} =-{\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j} _{\bot }$	$\Delta \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0}}}$ $\square \mathbf {A} =-\mu \mu _{0}\,\mathbf {j} _{\bot },$

,

где $\mathbf {j} _{\bot }$ — соленоидальная часть тока ($\nabla \mathbf {\cdot } {j}_{\bot }=0$).

Первое уравнение описывает мгновенное (без запаздывания) действие кулоновской силы, поскольку кулоновская калибровка не инвариантна относительно преобразований Лоренца. При этом энергию кулоновского взаимодействия можно отделить от остальных взаимодействий, что облегчает квантование поля в гамильтоновом формализме.

Векторный потенциал играет большую роль в электродинамике и в квантовой теории поля, однако для исследования процессов распространения электромагнитных волн в отсутствие токов и зарядов его введение часто не приводит к упрощению системы, а сводится к простой замене векторов электрического и магнитного поля на другой аналогичный вектор, описываемый теми же уравнениями. Так, для гармонических полей векторный потенциал будет просто пропорционален электрическому полю (скалярный потенциал при этом можно положить равным нулю).

Векторы Герца

• В 1887 году Генрих Герц предложил вместо непосредственного решения уравнений Максвелла для двух векторных функций электрического и магнитного полей или скалярного и векторного потенциалов перейти к новой единственной векторной функции, которая носит теперь имя электрического вектора Герца ${\mathbf {\Pi } }^{e}$ и позволяет в некоторых случаях упростить решение электродинамических задач, сводя их к решению скалярного волнового уравнения.

СГС	СИ
$\varphi =-\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e},$ $\mathbf {A} ={\frac {\varepsilon \mu }{c}}{\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e}}{\partial t}},$	$\varphi =-\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e},$ $\mathbf {A} ={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e}}{\partial t}},$
$\mathbf {E} ^{e}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e})-{\frac {\mu \varepsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {\Pi } ^{e}}{\partial t^{2}}},$ $\mathbf {B} ^{e}={\frac {\mu \varepsilon }{c}}\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e}}{\partial t}}.$	$\mathbf {E} ^{e}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e})-{\frac {\mu \varepsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {\Pi } ^{e}}{\partial t^{2}}},$ $\mathbf {B} ^{e}={\frac {\mu \varepsilon }{c^{2}}}\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e}}{\partial t}}.$

Заметим, что скалярный $\varphi$ и векторный $\mathbf {A}$ потенциалы, выраженные через вектор Герца, автоматически удовлетворяют калибровочному условию Лоренца. Вектор Герца учитывает все поля, связанные со свободными зарядами и их токами.

Подставляя выражения для полей через электрический вектор в два последних уравнения Максвелла, можно получить:

СГС	СИ
$\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e}}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{\varepsilon }}\mathbf {P} _{f},$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e}}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{\varepsilon }}\left[\mathbf {P} +\mathbf {P} _{f}\right].$	$\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e}}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\varepsilon \varepsilon _{0}}}\mathbf {P} _{f},$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e}}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\varepsilon \varepsilon _{0}}}\left[\mathbf {P} +\mathbf {P} _{f}\right].$

Здесь введён вектор поляризации свободных зарядов и токов:

$\mathbf {j} _{f}={\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf {P} }_{f},~~~~~~~~~~~~~~~~\rho _{f}=-\nabla \cdot {\mathbf {P} }_{f},$

(при этом уравнение непрерывности для заряда автоматически выполняется).

Таким образом, электрический вектор Герца определяется волновыми уравнениями, в правой части которых стоит поляризуемость, обусловленная свободными либо свободными и связанными зарядами, то есть электрическими дипольными моментами.

• В 1901 году парный электрическому вектору Герца магнитный вектор, который также традиционно называют именем Герца, ввёл итальянский физик Аугусто Риги.

СГС	СИ
$\varphi =0,$ $\mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m},$	$\varphi =0,$ $\mathbf {A} ={\frac {1}{c}}\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m},$
$\mathbf {D} ^{m}=-{\frac {\varepsilon \mu }{c}}\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{m}}{\partial t}},$ $\mathbf {H} ^{m}=\nabla \times [\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m}].$	$\mathbf {D} ^{m}=-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{m}}{\partial t}},$ $\mathbf {H} ^{m}=\nabla \times [\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m}].$

Поскольку поля, описываемые магнитным вектором Герца, не зависят от свободных зарядов и токов, а магнитные монополи не обнаружены, потенциалы удовлетворяют калибровке Лоренца в вырожденном виде — так называемой кулоновской калибровке ($\varphi =0$, $\nabla \cdot \mathbf {A} =0$).

Аналогичным образом можно получить уравнения для магнитного потенциала Герца, подставляя выраженные через него поля в третье и четвёртое уравнения Максвелла без тока:

СГС	СИ
$\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m}}}{\partial t^{2}}}=0,$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m}}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{\mu }}\mathbf {M} .$	$\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m}}}{\partial t^{2}}}=0,$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m}}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\mu }}\mathbf {M} .$

Действие сторонних магнитных полей, связанных с внешними источниками, может быть учтено по аналогии с электрическим вектором Герца введением в правые части дополнительной магнитной поляризации $\mathbf {M} _{f}$.

Таким образом, выделяется два типа электромагнитных полей, выражающихся через электрический и магнитный потенциалы Герца, а произвольное поле можно представить в виде суммы таких полей. Поля, выражающиеся через электрический вектор Герца, носят название полей электрического типа, или поперечно-магнитных (TM) полей, поскольку магнитное поле для них ортогонально направлению вектора Герца. Соответственно, поля, выражающиеся через магнитный вектор Герца, называют полями магнитного типа, или поперечно-электрическими полями (TE), электрическое поле в которых ортогонально порождающему вектору Герца. Поля TM можно представить как поля, порождаемые распределёнными в пространстве электрическими диполями, а поля TE, соответственно, магнитными. Векторные потенциалы Герца, в свою очередь, могут быть во многих случаях выражены через скалярные потенциалы.

Потенциалы Дебая

В электродинамике широко используются скалярные потенциалы, предложенные Дебаем.

Волновое уравнение представляет собой систему трёх связанных скалярных уравнений, которые распадаются на три скалярных уравнения Гельмгольца только в декартовой системе координат. Для удобства поиска решений, удовлетворяющих граничным условиям, желательно выбирать координатные системы, координатные поверхности которых близки или совпадают с поверхностями границ. Один из подходов к решению векторного уравнения Гельмгольца состоит во введении скалярных функций $\psi$, удовлетворяющих скалярному волновому уравнению Гельмгольца, через которые затем могут быть выражены векторные поля:

$\nabla ^{2}{\psi }+k^{2}\psi =0.$

${\mathbf {M} }_{\psi }=\nabla \times ({\mathbf {f} }\psi ),$

${\mathbf {N} }_{\psi }={\frac {1}{k}}\nabla \times \nabla \times ({\mathbf {f} }\psi ),$

${\mathbf {L} }_{\psi }=\nabla \psi .$

Здесь $\mathbf {f}$ — некоторая векторная функция координат. Вектор ${\mathbf {L} }_{\psi }$ описывает потенциальную часть поля, и его можно положить равным нулю при отсутствии свободных зарядов.

Если для некоторой ортогональной координатной системы существует функция ${\mathbf {f} }({\mathbf {r} })$, пропорциональная координатному вектору, то произвольное векторное поле, удовлетворяющее векторному уравнению Гельмгольца в этой системе, можно представить в виде суммы векторных функций, пропорциональных векторам ${\mathbf {M} }_{\psi }$ и ${\mathbf {N} }_{\psi }$. Как следует из уравнений Максвелла, электрическому полю, пропорциональному ${\mathbf {M} }_{\psi }$, соответствует магнитное поле типа ${\mathbf {N} }_{\psi }$, и наоборот. При этом векторные потенциалы ${\mathbf {f} }\psi$ соответствуют векторам Герца. Поскольку в этом случае поле, пропорциональное ${\mathbf {M} }_{\psi }$, нормально вектору ${\mathbf {f} }$, его компоненты являются тангенциальными к соответствующей ${\mathbf {f} }$ координатной поверхности. Если границы в решаемой задаче совпадают с одной из таких координатных поверхностей, то удовлетворение граничным условиям существенно упрощается.

Такое представление возможно только в ограниченном числе ортогональных координатных систем. В декартовой системе координат в качестве вектора ${\mathbf {f} }$ может выступать любой координатный вектор. Соответствующие решения представляют собой плоские волны. Для цилиндрической системы координат ${\mathbf {f} }={\mathbf {i} }_{z}$, для сферической ${\mathbf {f} }={\mathbf {r} }$. Кроме того, такое представление возможно в конической, а также относительно оси $z$ в параболической и эллиптической цилиндрических системах координат.

Векторы Римана — Зильберштейна

Если ввести комплексный вектор Римана — Зильберштейна $\mathbf {F}$ и комплексно сопряжённый ему вектор $\mathbf {F} ^{*}$:

СГС	СИ
$\mathbf {F} ={\frac {1}{\sqrt {8\pi }}}\left[{\sqrt {\varepsilon }}\mathbf {E} +i{\sqrt {\mu }}\mathbf {H} \right],$	$\mathbf {F} ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[{\sqrt {\varepsilon \varepsilon _{0}}}\mathbf {E} +i{\sqrt {\mu \mu _{0}}}\mathbf {H} \right],$

то уравнения Максвелла сводятся к двум:

СГС	СИ
$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\sqrt {\frac {2\pi }{\varepsilon }}}\rho ,$ $\nabla \times \mathbf {F} =i{\sqrt {2\pi \mu }}\mathbf {j} +i{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}.$	$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\sqrt {\frac {1}{2\varepsilon \varepsilon _{0}}}}\rho ,$ $\nabla \times \mathbf {F} =i{\sqrt {\frac {\mu \mu _{0}}{2}}}\mathbf {j} +i{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}.$

При отсутствии сторонних зарядов и токов остаётся только второе уравнение (первое из-за равенства дивергенции ротора нулю в этом случае удовлетворяется автоматически с точностью до не зависящей от времени компоненты):

$\nabla \times \mathbf {F} =i{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}.$

В отличие от волнового уравнения, которое получаются в этом случае для векторов поля или потенциала, последнее векторное дифференциальное уравнение имеет первый, а не второй порядок и поэтому в ряде случаев может быть проще для решения.

Для гармонического поля с зависимостью $\mathbf {F} =\mathbf {F} ^{\pm }e^{\pm i\omega t}$ вектор $\mathbf {F}$ является собственным вектором оператора ротора:

$\nabla \times \mathbf {F} ^{\pm }=\mp k\mathbf {F} ^{\pm }.$

При выбранной нормировке $\mathbf {F}$ имеет смысл комплексной амплитуды электромагнитного поля, а его квадрат модуля

$w=|\mathbf {F} |^{2}\equiv \mathbf {F} ^{*}\mathbf {F} =w_{E}+w_{H}$

имеет смысл плотности энергии поля.

Вектор Пойнтинга:

$\mathbf {S} =-{\frac {ic}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}{\mathbf {F} }^{*}\times {\mathbf {F} }.$

Векторы $\mathbf {F}$ и $\mathbf {F} ^{*}$ можно интерпретировать как волновые функции циркулярно поляризованных фотонов.

Ковариантная формулировка

С современной точки зрения четырёхмерная ковариантная формулировка электродинамики (и в частности запись уравнений Максвелла в таком виде) является физически наиболее фундаментальной.

Практически она приводит, кроме явной ковариантности, к значительно большей компактности уравнений, а значит — к определённой красоте и в ряде случаев к удобству, и более органично и прямо включает в себя единство электромагнитного поля.

Под ковариантной формулировкой понимают два различающихся, но прямо и непосредственно связанных варианта: лоренц-ковариантная формулировка в плоском пространстве-времени Минковского и общековариантная формулировка для общего случая искривлённого пространства-времени (стандартно рассматриваемая в контексте общей теории относительности). Второй вариант отличается от первого тем, что метрика пространства-времени в нём не постоянна (что может означать как присутствие гравитации, так и просто использование более широкого класса координат, например, соответствующих неинерциальным системам отсчёта), и во многом сводится к замене обычных производных по четырёхмерным координатам на ковариантные производные (в значительной части случаев это сводится к механической замене первых на вторые). Кроме прочего, второй вариант позволяет исследовать взаимодействие электромагнитного поля с гравитацией.

• Ниже сначала рассмотрен (как более простой) первый вариант — вариант лоренц-ковариантной формулировки в плоском пространстве-времени.

Четырёхмерные векторы

При ковариантной записи уравнений электродинамики производится переход от трёхмерных векторов и скаляров к четырёхмерным векторам (4-векторы). Независимо от системы единиц, четырёхмерные координаты (4-вектор координат, в компоненты которого входят время и трёхмерные пространственные координаты), производная по этим координатам (4-производная) и плотность тока определяются следующим образом:

$x^{\alpha }=(ct,~\mathbf {r} )=(ct,x,y,z),$ $\partial _{\alpha }={\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}={\Bigl (}{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial }{\partial t}},~\nabla {\Bigr )}={\Bigl (}{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}{\Bigr )},$ $j^{\alpha }=\rho {\frac {dx^{\alpha }}{dt}}=(c\rho ,~\mathbf {j} )=(c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}).$

Индекс 4-вектора принимает значения $\alpha =0,1,2,3\$. В компонентной записи вектора сначала идёт нулевая (временная) компонента, затем — пространственные. Например, время равно $t=x^{0}/c\$, а плотность заряда $\rho =j^{0}/c\$. В силу этих определений закон сохранения заряда в ковариантной форме принимает следующий вид:

$\partial _{\alpha }j^{\alpha }=0.$

По повторяющемуся индексу предполагается суммирование от 0 до 3 (правило Эйнштейна).

Пример

Приведённое выше уравнение является компактной записью уравнения непрерывности:

$\partial _{0}j^{0}+\partial _{1}j^{1}+\partial _{2}j^{2}+\partial _{3}j^{3}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \mathbf {j} =0.$

Введём 4-вектор потенциала, имеющий в системах СГС и СИ следующие компоненты:

СГС	СИ
$A^{\alpha }=(\varphi ,~~\mathbf {A} )$ $A_{\alpha }=(\varphi ,-\mathbf {A} )$	$A^{\alpha }=(\varphi /c,~~\mathbf {A} )$ $A_{\alpha }=(\varphi /c,-\mathbf {A} )$

При ковариантной записи играет роль положение индекса у 4-вектора. Если индекс находится внизу, то такой вектор называется ковариантным вектором (или ковектором), и его пространственные компоненты имеют обратный знак по сравнению с компонентами 4-вектора. Поднятие и опускание индексов проводится при помощи метрического тензора $A_{\alpha }=g_{\alpha \beta }A^{\beta }\$, который в четырёхмерном пространстве Минковского имеет диагональный вид с сигнатурой: $g_{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }={\rm {diagonal}}(1,-1,-1,-1)\$.

При помощи такого определения 4-вектора потенциала калибровочное условие Лоренца в ковариантной форме можно записать следующим образом:

$\partial _{\alpha }A^{\alpha }=0.$

Если это условие выполняется, то уравнения Максвелла для потенциалов в вакууме при наличии зарядов и токов принимают вид:

СГС	СИ
$\partial ^{2}A^{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}\,j^{\alpha }$	$\partial ^{2}A^{\alpha }=\mu _{0}\,j^{\alpha }$,

где $\partial ^{2}$ — оператор Даламбера с обратным знаком:

$\partial ^{2}=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }=-\square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta .$

Нулевая компонента уравнений Максвелла для 4-вектора потенциала соответствует уравнению для $\varphi$, а пространственная — для $\mathbf {A}$.

Тензор электромагнитного поля

Определим ковариантный тензор электромагнитного поля при помощи производной от 4-вектора потенциала:

$F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }.$

Явный вид этого антисимметричного тензора ($F_{\alpha \beta }=-F_{\beta \alpha }\$) может быть представлен в следующем виде:

СГС	СИ
$F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right),$	$F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right).$

Временные компоненты тензора составлены из компонент напряжённости электрического поля, а пространственные — магнитного, что может быть записано следующим образом: $F_{\alpha \beta }=(\mathbf {E} ,\mathbf {B} )$. В тензоре электромагнитного поля с верхними индексами изменяется знак у нулевых компонент (то есть перед компонентами электрического поля): $F^{\alpha \beta }=(-\mathbf {E} ,\mathbf {B} )$.

Используя определение тензора электромагнитного поля, несложно проверить выполнение следующего тождества:

$\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }=0.$

Его можно переписать в более компактном виде, введя дуальный тензор электромагнитного поля:

$\partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\tilde {F}}^{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\,F_{\gamma \delta },$

где $\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\$ — антисимметричный символ Леви-Чивиты ($\epsilon ^{0123}=1\$). Это уравнение является ковариантной записью закона Гаусса для магнитного поля и закона электромагнитной индукции Фарадея. Компоненты дуального тензора ${\tilde {F}}_{\alpha \beta }$ получаются из тензора $F_{\alpha \beta }$ в результате перестановки электрического и магнитного полей: ${\tilde {F}}_{\alpha \beta }=(\mathbf {B} ,-\mathbf {E} )$, ${\tilde {F}}^{\alpha \beta }=(-\mathbf {B} ,-\mathbf {E} )$.

Полная система уравнений Максвелла в ковариантной форме имеет вид:

СГС	СИ
$\partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0$ $\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }={\frac {4\pi }{c}}j^{\beta },$	$\partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0$ $\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}\,j^{\beta }.$

По повторяющемуся индексу $\alpha \$ проводится суммирование от 0 до 3, а в правой части второго уравнения находится 4-вектор тока. Нулевая компонента этого уравнения соответствует закону Гаусса, а пространственные — закону Ампера — Максвелла.

При помощи тензора электромагнитного поля можно получить законы преобразований компонент электрического и магнитного полей, измеряемых относительно различных инерциальных систем отсчёта:

СГС	СИ
$E'_{y}=\gamma \,(E_{y}-{u \over c}\,B_{z}),~~~E'_{z}=\gamma \,(E_{z}+{u \over c}\,B_{y}),$ $B'_{y}=\gamma \,(B_{y}+{u \over c}\,E_{z}),~~~B'_{z}=\gamma \,(B_{z}-{u \over c}\,E_{y}),$	$E'_{y}=\gamma \,(E_{y}-u\,B_{z}),~~~E'_{z}=\gamma \,(E_{z}+u\,B_{y}),$ $B'_{y}=\gamma \,(B_{y}+{u \over c^{2}}\,E_{z}),~~B'_{z}=\gamma \,(B_{z}-{u \over c^{2}}\,E_{y}),$

где «штрихованные» величины измеряются относительно системы отсчёта, движущейся вдоль оси $x$ со скоростью $u$ относительно системы, в которой измеряются «не штрихованные» компоненты полей, а $\gamma =1/{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}$ — фактор Лоренца. Компоненты полей вдоль направления относительного движения инерциальных систем отсчёта остаются неизменными: $E'_{x}=E_{x},~~B'_{x}=B_{x}$.

Уравнения Максвелла в вакууме инвариантны относительно преобразований Лоренца. Это послужило одним из толчков к созданию специальной теории относительности.

Электрическое и магнитное поля различным образом изменяются при инверсии осей пространственной системы координат. Электрическое поле является полярным вектором, а магнитное — аксиальным вектором. Можно построить две инвариантные относительно преобразований Лоренца величины:

$F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }=\mathrm {inv} ~~~~~~~~~~~~\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\alpha \beta }F_{\gamma \delta }=\mathrm {inv} .$

Первый инвариант является скаляром, а второй — псевдоскаляром, то есть изменяет свой знак при инверсии координатных осей.

Лагранжиан

Действие $S\$ и лагранжиан (функция Лагранжа) $L\$ для пробного заряда, движущегося во внешнем электромагнитном поле, в системе СГС и СИ имеют вид :

СГС	СИ
$S=\int (-mc\,ds~-~{\frac {q}{c}}\,A_{\alpha }\,dx^{\alpha })$ $L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u^{2}} }{c^{2}}}}}+{\frac {q}{c}}\,\mathbf {A} \cdot \mathbf {u} -q\varphi$	$S=\int (-mc\,ds~-~q\,A_{\alpha }\,dx^{\alpha })$ $L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u^{2}} }{c^{2}}}}}+q\,\mathbf {A} \cdot \mathbf {u} -q\varphi$

где:

• $m\$ — масса частицы (в единицах СИ — кг);
• $\mathbf {u}$ — её скорость (в единицах СИ — м/с);
• $q\$ — заряд частицы (в единицах СИ — Кл);
• $ds={\sqrt {dx_{\alpha }dx^{\alpha }}}$ — 4-х интервал.

Уравнения движения заряда под воздействием силы Лоренца в ковариантной записи имеют вид:

СГС	СИ
$mc{\frac {d^{2}x^{\alpha }}{ds^{2}}}={\frac {q}{c}}\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {dx_{\beta }}{ds}}$	$mc{\frac {d^{2}x^{\alpha }}{ds^{2}}}=q\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {dx_{\beta }}{ds}}.$

Уравнения Максвелла получаются из принципа наименьшего действия, в котором динамическими переменными являются 4-потенциалы электромагнитного поля $A^{\alpha }\$. При этом используется следующее ковариантное выражение для действия:

СГС	СИ
$S=-{\frac {1}{16\pi c}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\,d^{4}x-{\frac {1}{c^{2}}}\int A_{\alpha }\,j^{\alpha }\,d^{4}x$	$S=-{\frac {1}{4\mu _{0}c}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\,d^{4}x-{\frac {1}{c}}\int A_{\alpha }\,j^{\alpha }\,d^{4}x,$

где производится интегрирование по инвариантному 4-объёму $d^{4}x=c\,dt\,dv$.

Запись при помощи дифференциальных форм

Основная статья: Дифференциальные формы в электромагнетизме

Уравнения Максвелла в ковариантной форме, аналогично векторному представлению в трёхмерном пространстве, можно записать в «безындексной форме». Для этого вводится операция внешнего произведения $\wedge$, обладающая свойством антисимметричности: $\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }=-\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }$. Внешнее произведение позволяет записывать свёрнутые по всем индексам выражения с антисимметричными тензорами, такими как $F_{\alpha \beta }\$. При этом возникают объекты, называемые дифференциальными формами (или просто формами). 1-форма потенциала поля определяется следующим образом (по индексу $\alpha \$ — сумма от 0 до 3):

$\mathrm {A} =A_{\alpha }\mathrm {d} x^{\alpha }\ .$

Из 1-формы при помощи операции внешнего дифференцирования $\mathrm {d} \$ получается 2-форма электромагнитного поля (или 2-форма Фарадея):

$\mathrm {F} =\mathrm {d} \,\mathrm {A} =\mathrm {d} A_{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }=\partial _{\beta }A_{\alpha }~\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }~\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }.$

Операция внешнего дифференцирования обладает свойством $\mathrm {d} ^{2}=0\$, что приводит к закону Гаусса для магнитного поля и закону Фарадея:

$\mathrm {d} \,\mathrm {F} =\mathrm {d} ^{2}\,\mathrm {A} ={\frac {1}{2}}\,\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }\,\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }={\frac {1}{6}}\,(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha })~\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }=0.$

Для записи оставшихся уравнений Максвелла вводится дуальная к $\mathrm {F} \$ 2-форма $^{*}\mathrm {F} \$, называемая также 2-формой Максвелла:

$^{*}\mathrm {F} ={\frac {1}{2}}\,{\tilde {F}}_{\alpha \beta }~\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }={\frac {1}{4}}\,F^{\alpha \beta }\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }~\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta },$

и 3-форма тока:

$^{*}\mathrm {J} =-{\frac {1}{3!}}\,j^{\alpha }\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }~\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta },$

где $\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\$ — абсолютный антисимметричный символ Леви-Чивиты ($\epsilon _{0123}=-1\$). Свёртка с символом Леви-Чивиты внешнего произведения дифференциалов называется оператором звезды Ходжа.

В этих обозначениях уравнения Максвелла в системах СГС и СИ принимают следующий вид:

СГС	СИ
$\mathrm {d} \,\mathrm {F} =0,$ $\mathrm {d} ^{*}\mathrm {F} ={\frac {4\pi }{c}}\,^{*}\mathrm {J} ,$	$\mathrm {d} \,\mathrm {F} =0,$ $\mathrm {d} ^{*}\mathrm {F} =\mu _{0}\,^{*}\mathrm {J} .$

Доказательство

Чтобы показать эквивалентность этих уравнений уравнениям Максвелла, необходимо записать их в трёхмерной векторной форме. В этом случае в системе СГС ток и 2-форма Максвелла имеют вид:

$^{*}\mathrm {J} =c\rho \mathrm {d} v-\mathbf {j} \mathrm {d} \mathbf {s} \wedge \mathrm {d} t\,c,~~~~~~~~~~~~~~~~~^{*}\mathrm {F} =\mathbf {E} \mathrm {d} \mathbf {s} -\mathbf {B} \mathrm {d} \mathbf {r} \wedge \mathrm {d} t\,c,$

где $\mathrm {d} v=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z$ - трёхмерный объём, а $\mathrm {d} \mathbf {s} =(\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z,~\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y)$ - вектор площади поверхности в трёхмерном пространстве. Так как:

$\mathrm {d} ^{*}\mathrm {F} =(\nabla \mathbf {E} )\mathrm {d} v+{\Bigl (}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}-\nabla \times \mathbf {B} {\Bigr )}\mathrm {d} \mathbf {s} \wedge \mathrm {d} t\,c.$

то с учётом уравнений Максвелла в дифференциальной форме получим $^{*}\mathrm {J} \$.

С учётом тождества $\mathrm {d} ^{2}=0\$ последнее уравнение Максвелла, записанное при помощи дифференциальных форм, сразу приводит к уравнению непрерывности (закону сохранения заряда):

$\mathrm {d} ^{*}\mathrm {J} =0\ .$

В такой форме уравнения Максвелла остаются справедливыми и на произвольном 4-мерном многообразии, например, в искривлённом пространстве-времени общей теории относительности. В этом случае в соотношениях дополнительно появляется определитель метрического тензора $g$. Например, для тока и внешнего дифференцирования:

$^{*}\mathrm {J} =-{\frac {1}{3!}}\,j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }~\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta },~~~~~~~~~~~~~~\mathrm {d} ^{*}\mathrm {F} ={\frac {1}{4}}\,F_{~~;\alpha }^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,\epsilon _{\beta \gamma \delta \eta }~\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }\wedge \mathrm {d} x^{\eta }.$

Общековариантная запись в компонентах

На произвольном 4-мерном многообразии, то есть в общем случае, включающем и пространство-время ненулевой кривизны (а также произвольных четырёхмерных координат, включая случаи неинерциальных систем отсчёта) электродинамика может быть сформулирована и в обычных индексных обозначениях.

В основном рецепт перехода от случая нулевой кривизны пространства-времени и лоренцевых систем отсчёта в нём, подробно описанного выше, к общему случаю состоит в замене обычных производных по координатам на ковариантные производные, учёт того, что метрика в этом случае не постоянна и не имеет специального лоренцева вида (то есть практически произвольна), а также при интегрировании — например, при записи действия — учёт того, что метрика входит в элемент объёма (через множитель ${\sqrt {-g}}$ — корень из минус детерминанта метрики).

В общековариантном виде уравнения Максвелла имеют вид:

$F_{\mu \nu :\sigma }+F_{\nu \sigma :\mu }+F_{\sigma \mu :\nu }=0$

$F_{:\nu }^{\mu \nu }=4\pi J^{\mu }$

Здесь знак «:» означает ковариантную производную, подобно тому, как знак «,» означает обычную производную:

$A_{\mu :\nu }=A_{\mu ,\nu }-\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }A_{\alpha }$,

где $\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }$ — символ Кристоффеля второго типа.

Закон сохранения электрического заряда в общековариантном виде следует из $F_{:\nu }^{\mu \nu }=4\pi J^{\mu }$. Умножая обе части на ${\sqrt {-g}}$ и используя тождество $F_{:\nu }^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}=(F^{\mu \nu }{\sqrt {-g}})_{,\nu }$ находим $(F^{\mu \nu }{\sqrt {-g}})_{,\nu }=4\pi J^{\mu }{\sqrt {-g}}$.

Отсюда получаем закон сохранения электрического заряда в общековариантном виде:

$(J^{\mu }{\sqrt {-g}})_{,\mu }={\frac {1}{4\pi }}(F^{\mu \nu }{\sqrt {-g}})_{,\mu \nu }=0$.

Спинорная формулировка

Уравнения Максвелла можно записать в спинорной форме:

$\partial _{\lambda {\dot {\sigma }}}f_{\dot {\mu }}^{\dot {\sigma }}+\partial _{{\dot {\mu }}\sigma }f_{\lambda }^{\sigma }=2s_{{\dot {\lambda }}\mu }$,

$\partial _{\lambda {\dot {\sigma }}}f_{\dot {\mu }}^{\dot {\sigma }}-\partial _{{\dot {\mu }}\sigma }f_{\lambda }^{\sigma }=0$,

где спинор второго ранга $f$ определяется уравнением $f_{\lambda \mu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\lambda {\dot {\sigma }}}\varphi _{\mu }^{\dot {\sigma }}+\partial _{\mu \sigma }\varphi _{\sigma }^{\dot {\sigma }})$, $\varphi _{\mu \nu }$ — четырёхмерный потенциал в форме спинора второго ранга, $\partial _{\mu \nu }$ — оператор четырёхмерного градиента в спинорной форме, $s_{\mu \nu }$ — плотность тока в спинорной форме.

Спектральное представление

В электродинамике большое значение имеют гармонические колебания. Такие поля можно представить в виде

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{2}}\left[{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}+{\mbox{c. c.}}\right]=\Re [{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}],$

$\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{2}}\left[{\tilde {\mathbf {H} }}(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}+{\mbox{c. c.}}\right]=\Re [{\tilde {\mathbf {H} }}(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}].$

где $\omega \$ — частота колебаний поля. Обозначение «c. c.» означает комплексное сопряжение предыдущего слагаемого. В некоторых работах коэффициент 1/2 в соглашении о гармонических амплитудах не используется, что приводит к соответствующей модификации всех связанных с этим соглашением выражений. В литературе также часто встречается выбор обратного знака в комплексной экспоненте. Рассмотренный здесь вариант согласуется с принятым в квантовой теории в представлении Шрёдингера.

Усреднённые за период плотности энергии электрического и магнитного поля равны соответственно

СГС	СИ
$\mathbf {S} ={\frac {c}{16\pi }}\left[{{\tilde {\mathbf {E} }}^{*}}\times {\tilde {\mathbf {H} }}+{\tilde {\mathbf {E} }}\times {{\tilde {\mathbf {H} }}^{*}}\right],$ $\langle w_{E}\rangle ={\frac {\tilde {\varepsilon }}{16\pi }}\,|{\tilde {\mathbf {E} }}|^{2},$ $\langle w_{H}\rangle ={\frac {\tilde {\mu }}{16\pi }}\,|{\tilde {\mathbf {H} }}|^{2}.$	$\mathbf {S} ={\frac {1}{4}}\left[{\mathbf {E} ^{*}}\times {\tilde {\mathbf {H} }}+{\tilde {\mathbf {E} }}\times {{\tilde {\mathbf {H} }}^{*}}\right],$ $\langle w_{E}\rangle ={\frac {\varepsilon _{0}{\tilde {\varepsilon }}|{\tilde {\mathbf {E} }}|^{2}}{4}},$ $\langle w_{H}\rangle ={\frac {\mu _{0}{\tilde {\mu }}|{\tilde {\mathbf {H} }}|^{2}}{4}}.$

Используя преобразование Фурье, по гармоническим колебаниям можно разложить поля с произвольной временной зависимостью.

$\mathbf {E} (r,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}{\frac {d\omega }{2\pi }},$

$\mathbf {H} (r,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!{\tilde {\mathbf {H} }}(\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}{\frac {d\omega }{2\pi }}.$

Переход к спектральным компонентам позволяет сосредоточиться на координатной зависимости полей. Уравнения Максвелла для спектральных компонент в однородных средах при этом принимают вид

СГС	СИ
$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {4\pi {\tilde {\rho }}}{\tilde {\varepsilon }}},$	$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {\tilde {\rho }}{\varepsilon _{0}{\tilde {\varepsilon }}}},$
$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}=0,$	$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}=0,$
$\nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=i{\frac {\omega }{c}}{\tilde {\mathbf {B} }},$	$\nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=i\omega {\tilde {\mathbf {B} }},$
$\nabla \times {\tilde {\mathbf {B} }}=-i{\tilde {\varepsilon }}{\tilde {\mu }}{\frac {\omega }{c}}\left[1+i{\frac {4\pi {\tilde {\sigma }}}{\omega {\tilde {\varepsilon }}}}\right]{\tilde {\mathbf {E} }}.$	$\nabla \times {\tilde {\mathbf {B} }}=-i{\tilde {\varepsilon }}{\tilde {\mu }}{\frac {\omega }{c^{2}}}\left[1+i{\frac {\tilde {\sigma }}{\omega \varepsilon _{0}{\tilde {\varepsilon }}}}\right]{\tilde {\mathbf {E} }}.$

Диэлектрическая и магнитная проницаемости среды в спектральном представлении связаны с восприимчивостями материальных уравнений в интегральном представлении Фурье-преобразованием:

СГС	СИ
${\tilde {\varepsilon }}(\omega )=1+4\pi \int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{e}(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau ,$ ${\tilde {\mu }}(\omega )=1+4\pi \int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{m}(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau .$	${\tilde {\varepsilon }}(\omega )=1+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{e}(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau ,$ ${\tilde {\mu }}(\omega )=1+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{m}(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau .$

Уравнения без свободных зарядов и токов

В отсутствие свободных зарядов и токов $\rho =0$, $\mathbf {j} =0$, в изотропных и однородных средах без дисперсии уравнения Максвелла принимают следующий вид:

СГС	СИ
$\nabla \cdot \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~~~\nabla \cdot \mathbf {B} =0,$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},~~~~~~\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}},$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~\nabla \cdot \mathbf {B} =0,$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},~~~~~~\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.$

Решениями этих уравнений является напряжённость электрического поля $\mathbf {E}$ и магнитная индукция $\mathbf {B}$. Диэлектрическая $\varepsilon$ и магнитная $\mu$ проницаемости определяются свойствами среды. Для вакуума $\varepsilon =1$, $\mu =1$.

Почтовая марка Никарагуа 1971 года и её оборот. Закон Максвелла (электромагнетизм)

Волновое уравнение

Уравнения Максвелла являются дифференциальными уравнениями первого порядка по координатам и времени. Однако во второй паре в каждое уравнение входят обе неизвестные векторные функции $\mathbf {E}$ и $\mathbf {B}$