Дифференциал (математика)

В работах создателей дифференциального исчисления — Лейбница, Якоба и Иоганна Бернулли — слово differentia (разность), которое употреблялось в смысле «приращение», не имело при себе никаких пояснений.

От И. Бернулли пошла традиция обозначать приращение через ${\displaystyle \Delta }$. Эйлер придал этому знаку современный смысл в исчислении конечных разностей. Лейбниц для «бесконечно малой разности» использовал обозначение ${\displaystyle d}$ — первую букву слова differential, образованного от differentia. Удобство его обозначений (${\displaystyle dx}$ для переменной ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle dy}$ — для ${\displaystyle y}$ и т. д.) сейчас трудно оценить из-за привычности и «естественности». Но вначале предшественники Лейбница, а также и он сам пользовались другими обозначениями приращений. Например, Ферма малые приращения обозначал через ${\displaystyle a}$; Барроу обозначал приращения ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ соответственно через ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle e}$. Лейбниц изменял обозначения приращений следующим образом: ${\displaystyle a,z,{\bar {d}},{\bar {x}},{\bar {dx}},dx}$.

Обозначение ${\displaystyle dx}$ появилось в 1675 году. В печати оно употреблено в статье 1684 г., когда Лейбниц опубликовал свой метод, простейшие правила дифференцирования и назвал этот алгоритм дифференциальным исчислением. Мемуар озаглавлен: «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления». В этой же статье отмечена инвариантность формы первого дифференциала.

При своём рождении исчисление Лейбница было частью аналитической геометрии, для раннего периода характерно исследование кривых алгебраическими методами. Вследствие отсутствия понятия функции роль фундаментального понятия выпала на долю дифференциала. В исчислении Лейбница не было функций, не было производных, а были переменные величины: последовательности значений ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$ и соответственно дифференциалы ${\displaystyle dx_{i},dy_{i}}$. Получаемые формулы существенно зависели от выбора этой последовательности (или прогрессии) переменных.

Я. и И. Бернулли познакомились с исчислением Лейбница между 1687 и 1690 гг. по его публикации и в значительной степени самостоятельно реконструировали его метод. Поэтому их исчисление не тождественно исчислению Лейбница. Они развили концепцию интегрирования как действия, обратного дифференцированию, а поэтому у них появилось понятия «функция». Именно этому направлению и следовали работы Эйлера — ученика И. Бернулли.

Благодаря трудам Эйлера, Лагранжа, Коши, производная заменила дифференциал в качестве основного понятия исчисления, дифференциал всё же устоял при всех попытках вытеснить его из анализа. В течение всего XIX в. под дифференциалом функции многих переменных понимали ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {df}{dx_{i}}}dx_{i}}$. В сочинениях Лагранжа это выражение получалось из разложения в ряд Тейлора (откуда возникали и частные производные). В конце XIX в. была осознана неточность такого определения — это заметили Томе (1873), Штольц (1893), Пирпонт (1905), Юнг (1908). К современному обозначению полного дифференциала пришли после векового отбора и совершенствования символики^[2].

Пусть функция ${\displaystyle y=f(x)}$ задана на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ и пусть ${\displaystyle x}$ — любая фиксированная точка интервала ${\displaystyle (a,b)}$, а ${\displaystyle \Delta x}$ — произвольное число, настолько малое, что значение ${\displaystyle x+\Delta x}$ также находится на интервале ${\displaystyle (a,b)}$. Это число ${\displaystyle \Delta x}$ обычно называют приращением аргумента.

Приращением функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в точке ${\displaystyle x}$, соответствующим этому приращению аргумента ${\displaystyle \Delta x}$ называют число ${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}$. (1)

Дифференцируемая функция

Действительная функция ${\displaystyle y=f(x)}$ действительного переменного называется дифференцируемой в точке ${\displaystyle x}$, если она определена в некоторой окрестности этой точки и если существует такое число ${\displaystyle A}$, что приращение (1) может быть представлено в виде

${\displaystyle \Delta y=A\Delta x+\alpha }$, где ${\displaystyle \alpha /\Delta x\to 0}$ при ${\displaystyle \Delta x\to 0}$.

Функция, дифференцируемая в точке ${\displaystyle x}$, непрерывна в ней и имеет в этой точке конечную производную ${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$.

Через приращение функции

В формуле ${\displaystyle \Delta y=A\Delta x+\alpha }$ величина ${\displaystyle A\Delta x}$ называется дифференциалом функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x}$. 

Она обозначается символами ${\displaystyle dy}$ или ${\displaystyle df(x)}$. Дифференциал ${\displaystyle dy}$ при фиксированном ${\displaystyle x}$ пропорционален ${\displaystyle \Delta x}$, то есть является линейной функцией от ${\displaystyle \Delta x}$. Дополнительный член ${\displaystyle \alpha }$ при ${\displaystyle \Delta x\to 0}$ является, в силу определения, бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с ${\displaystyle \Delta x}$ (и по сравнению с ${\displaystyle dy}$, если ${\displaystyle A\neq 0}$). Именно в этом смысле дифференциал и называется главной частью приращения функции^[3].

Через производную функции

Дифференциалом функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в данной фиксированной точке ${\displaystyle x}$, отвечающим приращению аргумента ${\displaystyle \Delta x}$, называется число равное ${\displaystyle dy=f'(x)\Delta x}$.

В случае ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$ это число представляет собой главную часть приращения ${\displaystyle \Delta y}$ функции ${\displaystyle y=f(x)}$, линейную и однородную относительно приращения аргумента ${\displaystyle \Delta x}$^[4].

Дифференциал независимого переменного ${\displaystyle x}$ обозначают через ${\displaystyle dx}$. Возможны два случая:

1. аргумент ${\displaystyle x}$ представляет собой независимую переменную;
2. аргумент ${\displaystyle x}$ сам является дифференцируемой функцией вида ${\displaystyle x=\varphi (t)}$ некоторой новой переменной ${\displaystyle t}$, которую можно считать независимой.

Для первого случая дифференциал аргумента отождествляют с его приращением ${\displaystyle \Delta x}$, то есть ${\displaystyle dx=\Delta x}$. Тогда формула дифференциала функции принимает вид: ${\displaystyle dy=f'(x)dx}$.

Во втором случае величину ${\displaystyle dx}$ нельзя считать равной ${\displaystyle \Delta x}$, так как она равна ${\displaystyle dx=\varphi '(t)dt}$. Однако и в этом случае формула ${\displaystyle dy=f'(x)dx}$ остаётся справедливой.

Из равенства ${\displaystyle dy=f'(x)dx}$ следует

Производная функции равна отношению дифференциалов ${\displaystyle f'(x)={\frac {dy}{dx}}}$.

Определение дифференциала обобщается на действительные функции от ${\displaystyle n}$ действительных переменных.

Пусть область определения ${\displaystyle D(f)}$ функции ${\displaystyle f}$ содержит окрестность точки ${\displaystyle P_{0}(x_{1}^{0},...,x_{n}^{0})}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$. Функция ${\displaystyle f}$ называется дифференцируемой в точке ${\displaystyle P_{0}}$, если для любых ${\displaystyle P(x_{1},...,x_{n})}$ из этой окрестности ${\displaystyle f(P)-f(P_{0})=\sum _{k=1}^{n}f'_{x_{k}}(P_{0})(x_{k}-x_{k}^{0})+\rho (P_{0},P)R_{1}(P)}$, где ${\displaystyle \rho (P_{0},P)={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k}^{0})^{2}}}}$ и ${\displaystyle \lim _{P\to P_{0}}R_{1}(P)=0}$.

Линейная часть ${\displaystyle df(P)=\sum _{k=1}^{n}f'_{x_{k}}(P_{0})(x_{k}-x_{k}^{0})}$ приращения ${\displaystyle f(P)-f(P_{0})}$ называется полным дифференциалом функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle P_{0}}$.

График функции ${\displaystyle f}$, определяемой равенством ${\displaystyle f(P)=f(P_{0})+\sum _{k=1}^{n}f'_{x_{k}}(P_{0})(x_{k}-x_{k}^{0})}$ называется касательной плоскостью к графику функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle P_{0}}$^[5].

Полное и частное приращения функции

Пусть какие-либо значения ${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$ аргументов ${\displaystyle x,y,z}$ получают некоторые приращения ${\displaystyle \Delta x,\Delta y,\Delta z}$. Тогда функция ${\displaystyle u=f(x,y,z)}$ получит полное приращение ${\displaystyle \Delta u=\Delta f(x,y,z)=f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y,z_{0}+\Delta z)-f(x_{0},y_{0},z_{0})}$.

В случае, если некоторые приращения равны нулю (например ${\displaystyle \Delta y=0,\Delta z=0}$), то есть эти переменные (${\displaystyle y,z}$) остаются неизменными, функция ${\displaystyle f(x,y,z)}$ получает частное приращение: ${\displaystyle \Delta _{x}u=\Delta _{x}f(x,y,z)=f(x_{0}+\Delta x,y_{0},z_{0})-f(x_{0},y_{0},z_{0})}$.

Частный дифференциал

Если частное приращение ${\displaystyle \Delta _{x}u}$ функции ${\displaystyle u=f(x,y,z)}$ можно разбить на сумму двух членов: ${\displaystyle \Delta _{x}u=A\Delta x+\alpha }$, где ${\displaystyle A}$ не зависит от ${\displaystyle \Delta x}$, а ${\displaystyle \alpha }$ имеет высший порядок относительно ${\displaystyle \Delta x}$, то первый член ${\displaystyle A\Delta x}$ называют частным дифференциалом функции ${\displaystyle f(x,y,z)}$ по аргументу ${\displaystyle x}$ и обозначают ${\displaystyle d_{x}f(x,y,z)}$ или ${\displaystyle d_{x}u}$: ${\displaystyle d_{x}u=d_{x}f(x,y,z)=A\Delta x}$.

Иначе говоря, частный дифференциал — это дифференциал функции ${\displaystyle f(x,y,z)}$, взятый в предположении, что величины ${\displaystyle y,z}$ не изменяются (${\displaystyle \Delta y=0,\Delta z=0}$). При этом предположении ${\displaystyle x}$ есть единственный аргумент, и поэтому вместо ${\displaystyle x}$ можно писать ${\displaystyle dx}$, так что ${\displaystyle d_{x}u=d_{x}f(x,y,z)=Adx}$. Аналогично определяются частные дифференциалы ${\displaystyle d_{y}f(x,y,z)}$, ${\displaystyle d_{z}f(x,y,z)}$ по аргументам ${\displaystyle y,z}$.

Коэффициент ${\displaystyle A}$ равен частной производной ${\displaystyle u_{x}'}$, то есть

частный дифференциал функции равен произведению соответствующей частной производной на приращение аргумента ${\displaystyle d_{x}u=u_{x}'dx}$. 

Аналогично определяются частные дифференциалы по другим аргументам: ${\displaystyle d_{y}u=u_{y}'dy}$, ${\displaystyle d_{z}u=u_{z}'dz}$^[6].

Дифференциал вектор-функции определяется так же, как и для скалярной функции, и обозначается ${\displaystyle d{\mathsf {r}}}$ или ${\displaystyle \operatorname {d} \!{\mathsf {r}}}$^[7].

Дифференциал векторной функции ${\displaystyle {\mathsf {r}}(t)}$ скалярного аргумента ${\displaystyle t}$ есть вектор и равен произведению производной вектор-функции ${\displaystyle {\mathsf {r}}'(t)}$ на приращение аргумента ${\displaystyle d{\mathsf {r}}={\mathsf {r}}'(t)dt}$. 

Дифференциалом отображения ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ в точке ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ называют линейное отображение ${\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ такое, что выполняется условие ${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).}$

Уравнение касательной к графику функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в точке ${\displaystyle M(x_{0},y_{0})}$ имеет вид ${\displaystyle y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})}$. Если положить ${\displaystyle x=x_{0}+\Delta x}$, то ${\displaystyle y-y_{0}=f'(x_{0})\Delta x}$. Правая часть есть значение дифференциала функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$, отвечающее рассматриваемому значению ${\displaystyle \Delta x}$. Таким образом, дифференциал совпадает с соответствующим приращением ординаты касательной к кривой ${\displaystyle y=f(x)}$ (см. отрезок ${\displaystyle NT}$ на рисунке ниже). При этом ${\displaystyle \alpha =\Delta y-dy}$, то есть значение ${\displaystyle |\alpha |}$ совпадает с длиной отрезка ${\displaystyle TS}$^[8].

Геометрический смысл дифференциала

Геометрически полный дифференциал ${\displaystyle df(x_{0},y_{0})}$ есть приращение аппликаты касательной плоскости к поверхности ${\displaystyle z=f(x,y)}$ в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$, где ${\displaystyle z_{0}=f(x_{0},y_{0})}$^[9].

Геометрическая интерпретация полного дифференциала функции двух производных

Пусть ${\displaystyle s=f(t)}$ — расстояние прямолинейно движущейся точки от начального положения (${\displaystyle t}$ — время пребывания в пути). Приращение ${\displaystyle \Delta s}$ — это путь, пройденный точкой за промежуток времени ${\displaystyle \Delta t}$.

Дифференциал ${\displaystyle \operatorname {d} \!s=f'(t)\Delta t}$ — это путь, который точка прошла бы за то же время ${\displaystyle \Delta t}$, если бы она сохранила скорость ${\displaystyle f'(t)}$, достигнутую к моменту ${\displaystyle t}$. 

При бесконечно малом ${\displaystyle \Delta t}$ воображаемый путь ${\displaystyle \operatorname {d} \!s}$ отличается от истинного ${\displaystyle \Delta s}$ на бесконечно малую высшего порядка относительно ${\displaystyle \Delta t}$. Если скорость в момент ${\displaystyle t}$ не равна нулю, то ${\displaystyle \operatorname {d} \!s}$ даёт приближённую величину малого смещения точки^[10].

1. Дифференциал постоянной величины равен нулю: ${\displaystyle da=0}$.
2. Дифференциал независимой переменной равен её приращению: ${\displaystyle dx=\Delta x}$.
3. Вообще дифференциал линейной функции равен её приращению: ${\displaystyle d(ax+b)=\Delta (ax+b)=a\Delta x}$. Для остальных функций дифференциал и приращение не равны. Они отличаются на величину высшего порядка малости относительно ${\displaystyle \Delta x}$.
4. Дифференциал степенной функции ${\displaystyle x^{n}}$ равен ${\displaystyle dx^{n}=nx^{n-1}\Delta x}$^[11].

1. Постоянный множитель можно вынести за знак дифференциала: ${\displaystyle d(af(x))=adf(x)}$.
2. Дифференциал алгебраической суммы нескольких функций (взятых в неизменном числе) равен алгебраической сумме их дифференциалов: ${\displaystyle d(f_{1}(x)+f_{2}(x)-f_{3}(x))=df_{1}(x)+df_{2}(x)-df_{3}(x)}$.
3. Дифференциал произведения двух функций равен сумме произведений каждой из функций на дифференциал другой: ${\displaystyle d(u\cdot v)=u\cdot dv+v\cdot du}$.
4. Дифференциал дроби вычисляется по следующей формуле: ${\displaystyle d{\frac {u}{v}}={\frac {v\,du-u\,dv}{v^{2}}}}$^[12].

Если аргумент ${\displaystyle x}$ дифференцируемой функции ${\displaystyle y=f(x)}$ представляет собой независимую переменную, то для дифференциала ${\displaystyle dy}$ этой функции справедливо представление ${\displaystyle dy=f'(x)dx}$.

Это представление является универсальным и справедливо также и в случае, когда аргумент ${\displaystyle x}$ сам является дифференцируемой функцией вида ${\displaystyle x=\varphi (t)}$ некоторой независимой переменной ${\displaystyle t}$. Это свойство дифференциала функции принято называть инвариантностью его формы. Второй и последующие дифференциалы функции ${\displaystyle y=f(x)}$ уже не обладают инвариантностью формы. Вследствие этого данное свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Эквивалентная формулировка свойства инвариантности формы первого дифференциала

Производная дифференцируемой функции ${\displaystyle y=f(x)}$ равна отношению дифференциала этой функции ${\displaystyle dy}$ к дифференциалу её аргумента ${\displaystyle dx}$, то есть ${\displaystyle f'(x)={\frac {dy}{dx}}}$, как в случае, когда аргумент ${\displaystyle x}$ является независимой переменной, так и в случае, когда аргумент ${\displaystyle x}$ сам является дифференцируемой функцией вида ${\displaystyle x=\varphi (t)}$ некоторой независимой переменной ${\displaystyle t}$. Универсальность представления производной как ${\displaystyle f'(x)={\frac {dy}{dx}}}$ позволяет использовать отношение ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ для обозначения производной функции ${\displaystyle y=f(x)}$ по аргументу ${\displaystyle x}$^[13].

Все приведённые выше определения дифференциала почти без изменений распространяются соответственно на комплексные функции одного или нескольких действительных переменных, на действительные и комплексные вектор-функции одного или нескольких действительных переменных, на комплексные функции и вектор-функции одного или нескольких комплексных переменных. В функциональном анализе они распространяются на функции точки абстрактного пространства. Можно говорить о дифференцируемости и дифференциале функции множества по отношению к некоторой мере^[3].

• Дифференциал (дифференциальная геометрия)
• Дифференциалы высших порядков
• Дифференциал Ито
• Внешний дифференциал
• Производная Пеано
• Производная Фреше
• Вариация функционала