Теорема Вейерштрасса о функции на компакте

Теорема Вейерштрасса — теорема математического анализа и общей топологии, согласно которой непрерывная на компактном множестве функция ограничена и достигает своих точных верхней и нижней граней.

В числовых пространствах компактные множества — это замкнутые и ограниченные множества, а на вещественной прямой такими являются отрезки. Теорема утверждает: если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена и достигает своего минимального и максимального значений.

Из полноты действительных чисел существует точная верхняя грань; для неё подбирается последовательность значений функции, стремящаяся к этой грани. По теореме Больцано — Вейерштрасса из ограниченной последовательности выделяется сходящаяся подпоследовательность, предел которой принадлежит отрезку. В силу непрерывности функция достигает верхней грани; для нижней грани рассуждение аналогично.

Для произвольного компакта в силу непрерывности функции полные прообразы открытых интервалов являются открытыми множествами и образуют покрытие компакта. По определению компактности из этого покрытия выделяется конечное подпокрытие, что обеспечивает ограниченность функции. Достижение максимума и минимума устанавливается от противного: рассматриваются функции, обратные к разности функции и её грани, к которым применяется уже доказанная ограниченность.

В условии теоремы отрезок нельзя заменить на открытый интервал. Функция тангенс непрерывна на всей области определения, но не ограничена.

Теоре́ма Вейерштра́сса — теорема математического анализа и общей топологии, которая гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своих точных верхней и нижней граней^[1].

Иногда (в учебных курсах) два утверждения (об ограниченности и достижимости границ) разделяются на две теоремы Вейерштрасса — первую и вторую соответственно.^[1]

Теорема Вейерштрасса формулируется для непрерывных функций, действующих из заданного метрического пространства в множество вещественных чисел.

Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций

В математическом анализе рассматриваются числовые пространства, для которых компактными являются произвольные замкнутые и ограниченные множества. На вещественной прямой связные компактные множества — это отрезки, то теорема Вейерштрасса формулируется для отрезков:

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ , то она ограничена на нём и притом достигает своих минимального и максимального значений, т. е. существуют $x_{m},x_{M}\in [a,b]$ такие, что $f(x_{m})\leqslant f(x)\leqslant f(x_{M})$ для всех $x\in [a,b]$ .

Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций

Пусть функция $f\colon [a,\;b]\to \mathbb {R}$ ограничена и полунепрерывна сверху. Тогда
$M=\sup \limits _{x\in [a,\;b]}f(x)<\left\vert \infty \right\vert$ и $\exists x_{M}\in [a,\;b]\colon f(x_{M})=M.$
Пусть функция $f\colon [a,\;b]\to \mathbb {R}$ ограничена и полунепрерывна снизу. Тогда
$m=\inf \limits _{x\in [a,\;b]}f(x)>-\infty$ и $\exists x_{m}\in [a,\;b]\colon f(x_{m})=m.$

Доказательство теоремы для непрерывных функций

В силу полноты действительных чисел существует (конечная или бесконечная) точная верхняя грань $M=\sup _{x\in [a,b]}f(x)$ . Поскольку $M$ — точная верхняя грань, существует последовательность $x_{n}$ такая, что $\lim f(x_{n})=M$ . По теореме Больцано — Вейерштрасса из ограниченной последовательности $x_{n}$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность $x_{n_{k}}$ , предел которой (назовем его $x_{M}$ ) также принадлежит отрезку $[a,b]$ . В силу непрерывности функции $f$ имеем $f(x_{M})=\lim f(x_{n_{k}})$ , но с другой стороны $\lim f(x_{n_{k}})=\lim f(x_{n})=M$ . Таким образом, точная верхняя грань $M$ конечна и достигается в точке $x_{M}$ .

Для нижней грани доказательство аналогично.

Доказательство теоремы в общем случае

Пусть $A$ — компакт, и функция $f$ непрерывна на $A$ . Рассмотрим совокупность множеств $V_{n}=f^{-1}{\big (}(-n,n){\big )}$ , где $(-n,n)\subset \mathbb {R}$ — открытый интервал. Эти множества суть открытые (как полные прообразы открытого множества при непрерывном отображении), и, очевидно, образуют покрытие $A$ . По определению компакта из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие $V_{n_{k}}$ , откуда имеем $\forall x\in A:f(x)<\max n_{k}$ , ограниченность доказана. Достижение максимума и минимума легко доказать от противного, если рассмотреть функции $[f(x)-\sup f(A)]^{-1}$ , $[f(x)-\inf f(A)]^{-1}$ , и применить к ним только что доказанное утверждение.