Теорема о равномерной непрерывности

Воспользуемся доказательством от противного.

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте ${\displaystyle A}$), но не равномерно непрерывная на нём. Тогда существует такое ${\displaystyle \varepsilon }$, что для всех ${\displaystyle \delta >0}$ существуют такие ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, расстояние между которыми меньше ${\displaystyle \delta }$, но расстояние между их образами не менее ${\displaystyle \varepsilon }$:

${\displaystyle \exists \varepsilon >0\colon \quad \forall \delta >0\ \exists x_{\delta },y_{\delta }\in A\colon \quad d(x,y)<\delta ,}$ но ${\displaystyle d(f(x),f(y))\geqslant \varepsilon .}$

Возьмём последовательность ${\displaystyle \{\delta _{k}\}}$, сходящуюся к 0, например, ${\displaystyle \left\{{\frac {1}{k}}\right\}}$. Построим последовательности ${\displaystyle x_{k}}$ и ${\displaystyle y_{k}}$ так, чтобы

${\displaystyle d(x_{k},y_{k})<{\frac {1}{k}}}$, но ${\displaystyle d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon }$

${\displaystyle A}$ — компакт, поэтому можно выделить сходящуюся подпоследовательность:

${\displaystyle x_{k_{j}}\to {\bar {x}}\in A.}$

Но так как расстояние между членами обеих последовательностей стремится к нулю, то, воспользовавшись неравенством треугольника, получаем, что соответствующие подпоследовательности стремятся к одной точке: ${\displaystyle {\bar {x}}=\lim \limits _{j\to \infty }y_{k_{j}}=\zeta }$. И, так как ${\displaystyle f}$ непрерывна ${\displaystyle f(x_{k_{j}})\to f(\zeta ),\quad f(y_{k_{j}})\to f(\zeta )\Rightarrow d(f(x_{k_{j}}),f(y_{k_{j}}))\to 0}$, что противоречит предположению, что ${\displaystyle d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon }$.

Стало быть, функция, непрерывная на компакте, действительно равномерно непрерывна на нём.