Цилиндрическая система координат

Поскольку цилиндрическая система координат — только одна из многих трёхмерных систем координат, существуют законы преобразования координат между цилиндрической системой координат и другими системами.

Орты цилиндрической системы координат связаны с декартовыми ортами следующими соотношениями:

${\displaystyle {\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }=\cos \varphi {\vec {e}}_{x}+\sin \varphi {\vec {e}}_{y},\\{\vec {e}}_{\varphi }=-\sin \varphi {\vec {e}}_{x}+\cos \varphi {\vec {e}}_{y},\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z},\end{cases}}}$

и образуют правую тройку:

${\displaystyle {\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }\times {\vec {e}}_{\varphi }={\vec {e}}_{z},\\{\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{\rho }={\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{\varphi }\times {\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{\rho }.\end{cases}}}$

Обратные соотношения имеют вид:

${\displaystyle {\begin{cases}{\vec {e}}_{x}=\cos \varphi {\vec {e}}_{\rho }-\sin \varphi {\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{y}=\sin \varphi {\vec {e}}_{\rho }+\cos \varphi {\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z}.\end{cases}}}$

Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:

${\displaystyle {\begin{cases}x=\rho \cos \varphi ,\\y=\rho \sin \varphi ,\\z=z.\end{cases}}}$

Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:

${\displaystyle {\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\varphi =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {y}{x}}\right),\\z=z.\end{cases}}}$

Якобиан равен:

${\displaystyle J=\rho .}$

Цилиндрические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

${\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$

• Квадрат дифференциала длины кривой

${\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}+dz^{2}.}$

• Коэффициенты Ламэ имеют вид:

${\displaystyle H_{\rho }=1,\quad H_{\varphi }=\rho ,\quad H_{z}=1.}$

• Символы Кристоффеля ${\displaystyle \{\rho ,\;\varphi ,\;z\}}$:

${\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-\rho ,\quad \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{\rho }}.}$

Остальные равны нулю.

Градиент в цилиндрической системе координат:

${\displaystyle \mathrm {grad} \,\psi ={\vec {e}}_{\rho }{\frac {\partial \psi }{\partial \rho }}+{\vec {e}}_{\varphi }{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \psi }{\partial \varphi }}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}.}$

Дивергенция в цилиндрической системе координат:

${\displaystyle \mathrm {div} \,{\vec {a}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho a_{\rho }}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial a_{z}}{\partial z}}.}$

Ротор в цилиндрической системе координат:

${\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {a}}=\mathrm {det} {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\rho }}{\vec {e}}_{\rho }&{\vec {e}}_{\varphi }&{\frac {1}{\rho }}{\vec {e}}_{z}\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\a_{\rho }&\rho a_{\varphi }&\ a_{z}\end{pmatrix}}={\vec {e}}_{\rho }\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial z}}\right)+{\vec {e}}_{\varphi }\left({\frac {\partial a_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial a_{z}}{\partial \rho }}\right)+{\vec {e}}_{z}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho a_{\varphi }}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\rho }}{\partial \varphi }}\right).}$

Рассмотрим матрицу замены базиса от декартовой к цилиндрической системе координат:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\rho }&{\vec {e}}_{\varphi }&{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}&{\vec {e}}_{y}&{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Матрица является ортогональной, так-как её строки образуют ортонормированный базис.

Обговорим обозначения для координат радиус-вектора в двух системах координат:

${\displaystyle r(t)=x_{\rho }{\vec {e}}_{\rho }+x_{\varphi }{\vec {e}}_{\varphi }+x_{z}{\vec {e}}_{z}=x{\vec {e}}_{x}+y{\vec {e}}_{y}+z{\vec {e}}_{z}}$

Частично выразим координаты радиус-вектора в цилиндрической системе координат через декартову, используя матрицу замены базиса:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{\rho }\\x_{\varphi }\\x_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}^{T}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &\sin \varphi &0\\-\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\cos \varphi +y\sin \varphi \\-x\sin \varphi +y\cos \varphi \\z\end{pmatrix}}}$

Заменим оставшиеся координаты декартовые на цилиндрические:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{\rho }\\x_{\varphi }\\x_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\cos \varphi +y\sin \varphi \\-x\sin \varphi +y\cos \varphi \\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\rho \cos ^{2}\varphi +\rho \sin ^{2}\varphi \\-\rho \sin \cos \varphi +\rho \sin \cos \varphi \\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\rho \\0\\z\end{pmatrix}}}$

Откуда имеем:

${\displaystyle r(t)=\rho {\vec {e}}_{\rho }+z{\vec {e}}_{z}}$

Первая производная радиус-вектора (скорость):

${\displaystyle {\dot {r}}(t)={d \over dt}(\rho {\vec {e}}_{\rho }+z{\vec {e}}_{z})={d \over dt}(\rho {\vec {e}}_{\rho })+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z}={\dot {\rho }}{\vec {e}}_{\rho }+\rho {d \over dt}{\vec {e}}_{\rho }+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z}}$

Производная базисного вектора, непостоянного по времени:

${\displaystyle {d \over dt}{\vec {e}}_{\rho }={d \over dt}(\cos \varphi {\vec {e}}_{x}+\sin \varphi {\vec {e}}_{y})={\dot {\varphi }}(-\sin \varphi {\vec {e}}_{x}+\cos \varphi {\vec {e}}_{y})={\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }}$

В результате:

${\displaystyle {\dot {r}}(t)={\dot {\rho }}{\vec {e}}_{\rho }+\rho {\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z}}$

Вторая производная радиус-вектора (ускорение):

${\displaystyle {\ddot {r}}(t)={d \over dt}({\dot {\rho }}{\vec {e}}_{\rho }+\rho {\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z})=[{\ddot {\rho }}{\vec {e}}_{\rho }+{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }]+[{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+\rho {\ddot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+\rho {\ddot {\varphi }}{d \over dt}{\vec {e}}_{\varphi }]+{\ddot {z}}{\vec {e}}_{z}}$

Производная базисного вектора, непостоянного по времени:

${\displaystyle {d \over dt}{\vec {e}}_{\varphi }={d \over dt}(-\sin \varphi {\vec {e}}_{x}+\cos \varphi {\vec {e}}_{y})={\dot {\varphi }}(-\cos \varphi {\vec {e}}_{x}-\sin \varphi {\vec {e}}_{y})=-{\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\rho }}$

Получаем:

${\displaystyle {\ddot {r}}(t)=[{\ddot {\rho }}{\vec {e}}_{\rho }+{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }]+[{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+\rho {\ddot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }-\rho {\dot {\varphi }}^{2}{\vec {e}}_{\rho }]+{\ddot {z}}{\vec {e}}_{z}}$

Группируем слагаемые:

${\displaystyle {\ddot {r}}(t)=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\varphi }}^{2}){\vec {e}}_{\rho }+(2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }}+\rho {\ddot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }){\vec {e}}_{\varphi }+{\ddot {z}}{\vec {e}}_{z}}$