Математическая модель

Формальная классификация строится по используемому математическому аппарату, обычно в виде дихотомий^[12]:

• линейные или нелинейные. Линейность — принцип суперпозиции. Сам термин «нелинейность», писал Ю. А. Данилов, несёт отпечаток старого заблуждения: линейность сочли первичной, а нелинейность — вторичной «и определили через отрицание последней»^[13]. Встречаются кусочно-линейные, гибридные и линеаризованные в области модели;
• сосредоточенные или распределённые. Первые описываются конечным набором обыкновенных дифференциальных (или разностных) уравнений, вторые — полями и уравнениями в частных производных. ОДУ и УрЧП — средства описания, а не синонимы этих классов;
• детерминированные или стохастические. В первых траектория однозначна при заданных данных; во вторых фигурируют случайные величины и процессы. Стохастическое дифференциальное уравнение — один частный язык, не определение стохастической модели. Модель не есть алгоритм;
• статические или динамические: равновесие без времени против эволюции. Это не «статика» и «динамика» как разделы механики;
• дискретные или непрерывные — по времени, пространству или множеству состояний. Это не «дискретная математика» и не «сплошная среда» как таковые;
• механистические или управляемые данными (data-driven). Механистические модели строятся на основе фундаментальных законов (физики, химии, биологии). Модели, управляемые данными (например, машинное обучение, нейронные сети), выявляют скрытые закономерности непосредственно из массивов данных, часто выступая в роли сложных «чёрных ящиков» без явной интерпретируемой физической структуры.

Смешанные типы обычны: модель линейна по одним переменным и стохастична по другим.

• Структурные модели представляют объект как систему с устройством и механизмом функционирования.
• Функциональные отражают только внешне наблюдаемое поведение; в пределе это модели «чёрного ящика».
• Агентные модели (agent-based models) — особый класс структурных моделей, где глобальное поведение системы возникает (emerges) из взаимодействия множества автономных агентов, следующих простым правилам (широко применяются в социологии, эпидемиологии, экономике).

Комбинации называют моделями «серого ящика». Слово «функциональные» здесь — о функции как поведении, а не о «должности» и не о математической функции как таковой.

Сначала строится идеальная конструкция — содержательная (концептуальная, умозрительная) модель, или предмодель. Её формализация даёт формальную математическую модель. В механике готовые идеализации (материальная точка, идеальная пружина, абсолютно твёрдое тело) служат кирпичами содержательной модели. На переднем крае физики, биологии, экономики, социологии таких кирпичей меньше, и содержательный этап труднее.

Р. Пайерлс в работе «Model-making in physics» (1980; рус. пер. УФН, 1983) предложил классификацию из семи типов моделей, применяемых в физике^[14]. А. Н. Горбань и Р. Г. Хлебопрос расширили данную классификацию, добавив восьмой тип^[15].

Гипотеза — предварительное описание явления, принимаемое автором в качестве рабочего предположения. Примеры: гелиоцентрическая система Н. Коперника (уточнённая И. Кеплером), планетарная модель атома Э. Резерфорда, теория Большого взрыва. Гипотеза не может быть окончательно доказана; как отмечал Р. Фейнман, любая теория допускает возможность опровержения, но не абсолютного подтверждения^[16].

Феноменологическая модель — описание, в котором механизм явления формализован, но его теоретическое обоснование остаётся недостаточным или не согласуется с принятыми представлениями. Примеры: концепция теплорода, ранние варианты кварковой модели. Статус таких моделей со временем может изменяться: атомизм перешёл в разряд гипотез, тогда как модели светоносного эфира XIX века были отвергнуты в рамках современной физики, сохранив значение как исторический объект.

Приближение — модель, основанная на предположении о пренебрежимо малой или, напротив, доминирующей величине определённых параметров. Примеры: линейный отклик, закон Ома, модель идеального газа для разреженных сред.

Упрощение — модель, в которой намеренно исключаются второстепенные факторы ради ясности описания. Те же уравнения идеального газа, применяемые при высокой плотности, относятся к данному типу; большинство моделей физики твёрдого тела также являются упрощениями. Гармонический осциллятор как описание груза на пружине представляет собой типичное упрощение, в котором не учитывается диссипация.

Эвристическая модель — качественное подобие, используемое для оценок по порядку величины. Пример: средняя длина свободного пробега в кинетической теории газов.

Аналогия — модель, учитывающая лишь отдельные черты исходного явления. Пайерлс рассматривает первую работу В. Гейзенберга о ядерных силах: аналогия с обменом электроном в системе ${\displaystyle \mathrm {H} -\mathrm {H} ^{+}}$ привела к концепции обменных сил нейтрон-протон, однако повлекла и ошибочный вывод об отсутствии протон-протонных ядерных сил.

Мысленный эксперимент — модель, предназначенная для проверки внутренней непротиворечивости теории или выявления её ограничений. А. Эйнштейн: рассмотрение движения вдоль световой волны со скоростью света приводило бы к статическому периодическому полю, что противоречит уравнениям Максвелла, — отсюда принцип независимости скорости света от системы отсчёта. Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена (1935) был сформулирован как аргумент в пользу неполноты квантовой механики, а не её внутренней противоречивости, и не предполагал «телепортацию информации»^[17]. Телепортация квантового состояния (Беннетт и др., 1993) представляет собой иную конструкцию и не обеспечивает сверхсветовой передачи информации.

Демонстрация возможности (дополнение Горбаня и Хлебопроса) — мысленный эксперимент, подтверждающий внутреннюю непротиворечивость предполагаемого явления, в отличие от типа 7, выявляющего скрытые противоречия. К данному типу относят, в частности, формально-кинетические модели химических колебаний. Отнесение геометрии Лобачевского к моделям типа 8 представляется не вполне корректным, поскольку классификация Пайерлса разработана применительно к физическим моделям.

Понятие грубой (структурно устойчивой) динамической системы было введено А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным в 1937 году^[19]. Динамическая система называется грубой, если её качественный фазовый портрет (топологическая структура траекторий) остаётся неизменным при достаточно малых возмущениях правых частей дифференциальных уравнений. Понятие негрубости (бифуркационной чувствительности) описывает системы, в которых малые изменения параметров приводят к качественной перестройке поведения.

Дихотомия Арнольда переносит эту идею из строгой математической теории в плоскость методологии моделирования, оценивая не только математическую структуру, но и степень идеализации, заложенной в модель исследователем.

Жёсткая модель представляет собой сильно идеализированное описание системы, в котором зафиксированы конкретные, часто упрощённые, правые части уравнений и точно заданы все параметры. В такой модели не предусмотрено место для неопределённостей, флуктуаций или вариативности внешних условий. Жёсткая модель даёт чёткий, однозначный результат, но её предсказательная сила критически зависит от точности исходных допущений.

Мягкая модель допускает определённую свободу в выборе параметров, структуры уравнений или начальных условий. Она ориентирована на описание качественного поведения системы, её общих закономерностей и инвариантных свойств, которые сохраняются при варьировании деталей. Мягкая модель менее чувствительна к точности исходных данных и чаще применима для описания сложных, плохо формализуемых систем (например, в биологии, экономике, экологии).

Согласно Арнольду, любая жёсткая модель требует обязательной проверки на «мягкость». Этот процесс заключается в следующем:

1. Жёсткая модель подвергается малому возмущению (вводятся дополнительные факторы, варьируются параметры, учитываются ранее отброшенные детали).
2. Исследуется, сохраняется ли качественный вывод, полученный из исходной жёсткой модели.

Если качественный результат сохраняется при широком классе возмущений, модель переходит в разряд мягких, а её выводы считаются надёжными и робастными (устойчивыми). Если же малое возмущение приводит к радикальному изменению поведения системы, предсказание исходной жёсткой модели признаётся математическим артефактом и не может быть перенесено на реальный объект. Таким образом, переход от жёсткой модели к мягкой является необходимым этапом верификации в математическом моделировании.

Т. Мальтус (1798): скорость роста пропорциональна численности,

${\displaystyle {\dot {x}}=\alpha x,\qquad x(t)=x_{0}e^{\alpha t}.}$

При ${\displaystyle \alpha >0}$ решение неограниченно растёт; «очень быстро» — только если ${\displaystyle \alpha }$ не мало. Это жёсткая одномерная модель без ёмкости среды.

П. Ф. Ферхюльст (1838) ввёл логистическое уравнение

${\displaystyle {\dot {x}}=\alpha x{\bigl (}1-x/K{\bigr )}.}$

Рост насыщается на ёмкости ${\displaystyle K}$. В одномерном случае вывод устойчив к малым изменениям правой части: качественная картина (насыщение) сохраняется.

Классическая модель А. Лотки (1925) и В. Вольтерры (1926)^[22][23]:

${\displaystyle {\dot {x}}=(\alpha -cy)\,x,\qquad {\dot {y}}=(-\beta +dx)\,y,}$

где ${\displaystyle x}$ — жертвы, ${\displaystyle y}$ — хищники, параметры положительны. Ненулевое равновесие — центр: вокруг него семейство замкнутых орбит. Отклонение даёт незатухающие периодические колебания, амплитуда которых зависит от начальных данных. Для этих уравнений нет ни постепенного затухания, ни «вымирания от малого отклонения». Вымирание возможно на осях (одна популяция уже нулевая) или после изменения модели.

Малые поправки (конкуренция жертв за ресурс, хищников — за жертву)

${\displaystyle {\dot {x}}=x(\alpha -cy-\varepsilon x),\qquad {\dot {y}}=y(-\beta +dx-\eta y)}$

делают модель мягкой. Качественный вывод о вечном возвращении пропадает. По Арнольду возможны структурно устойчивые сценарии: устойчивый фокус (затухание к равновесию); неустойчивый фокус и уход, в том числе к вымиранию; устойчивый предельный цикл, амплитуда которого уже не зависит от малого начального отклонения. Какой сценарий реализуется, жёсткая модель не говорит: нужны данные о виде поправок^[24].