Гиперболические уравнения

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции ${\displaystyle u\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть: ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}$. Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

${\displaystyle \left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+\mathbf {b} \cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$,

где ${\displaystyle A=A^{T}}$.
Матрица ${\displaystyle A}$ называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна ${\displaystyle (n-1,1)}$, то есть матрица ${\displaystyle A}$ имеет ${\displaystyle n-1}$ положительных собственных значений и одно отрицательное (либо наоборот: ${\displaystyle n-1}$ отрицательных, одно положительное), то уравнение относят к гиперболическому типу^[1].

Другое, эквивалентное определение: уравнение называется гиперболическим, если оно представимо в виде:

${\displaystyle Lu-a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=f(x_{1},\ldots ,x_{n-1},t)}$,

где: ${\displaystyle L}$ — положительно определённый эллиптический оператор, ${\displaystyle a\neq 0}$.

Уравнение типа

${\displaystyle u_{t}+Au_{x}=h(t,x,u)}$

где ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle A=A(x,t,u)\in \mathbb {R} ^{n\cdot n}}$ — квадратные матрицы и ${\displaystyle u=u(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ — неизвестные, являются гиперболическими, если матрица ${\displaystyle A}$ имеет различные вещественные собственные значения для всех параметров^[2].

Оператор Гамильтона (набла) — векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Обозначается символом ∇ (набла).

Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольной декартовой системе координат оператор набла определяется следующим образом:

${\displaystyle \nabla ={\partial \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec {k}}}$,

где ${\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}}$ — единичные векторы по осям ${\displaystyle x,y,z}$ соответственно.

Также используется следующая запись оператора набла через компоненты:

${\displaystyle \nabla =\left\{{\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right\}}$.

Для нахождения однозначного решения уравнение доопределяется начальными и краевыми условиями, поскольку уравнение имеет второй порядок по времени, то начальных условия два: для самой функции и для её производной.

• Для аналитического решения уравнений в бесконечной области используют формулу Кирхгофа, которая в одномерном случае представляется в виде формулы Д’Аламбера, а в двухмерном в виде формулы Пуассона — Парсеваля.
• Для аналитического решения в конечной области можно использовать метод разделения переменных Фурье и его модификации для решения неоднородных уравнений.
• Для численного решения используют метод конечных элементов, метод конечных разностей, их комбинацию (по времени решают конечными разностями, по пространству — конечными элементами)^[3], а также другие численные методы, подходящие под задачу.

• Волновое уравнение — уравнение, описывающее колебания струн, мембран и так далее.
• Различные уравнения, получаемые из уравнений Максвелла, описывающие электромагнитное поле. Это может быть постановка относительно одного из векторов ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {E} ,\mathbf {B} ,\mathbf {D} ,\mathbf {H} }$, считая не нулевой только одну из компонент вектора (то есть когда уравнение становится скалярным).
• Сеть Чебышёва — решение линейного гиперболического уравнения первой степени.