Метод конечных разностей для решения эллиптических задач[править | править код]
Для решения эллиптической задачи методом конечных разностей на расчётной области строится сетка, затем выбирается разностная схема и для каждого узла сетки записывается разностное уравнение (аналог исходного уравнения, но с использованием разностной схемы), затем производится учёт краевых условий (для краевых условий второго и третьего рода так же строится некоторая разностная схема). Получается система линейных алгебраических уравнений, решая которую в ответе получают приближенные значения решения в узлах.
Главной проблемой метода является построение правильной разностной схемы, которая будет сходиться к решению. Построение схемы выполняется исходя из свойств исходного дифференциального оператора.
Построим сетку с постоянным шагом . Для аппроксимации выберем трёхточечный шаблон, то есть для аппроксимации производной в точке будем использовать точки . Тогда разностное уравнение будет выглядеть следующим образом:
Учитывая краевые условия, система линейных уравнений вида , для нахождения решения, будет выглядеть следующим образом:
.
Метод конечных разностей для решения нестационарных задач[править | править код]
Решение задач методом конечных разностей, когда процесс изменяется во времени, представляет собой итерационный процесс — на каждой итерации мы находим решение на новом временном слое. Для решения таких задач используются явные, неявные схемы и предиктор-корректор (пара из специально подобранных явной и неявной схемы). Явные схемы и схемы предиктор-корректор просто пересчитывают значение, используя информацию с предыдущих временных слоёв, использование неявной схемы приводит к решению уравнения (или системы уравнений).
Для параболических и гиперболических уравнений часто прибегают к смешиванию методов — производные по времени аппроксимируют с помощью разностной схемы, а оператор по пространству аппроксимируется с помощью конечноэлементной постановки[1].
Пример решения обыкновенного дифференциального уравнения[править | править код]
Пусть дано уравнение с начальным условием . Для решения воспользуемся следующими разностными схемами:
При уменьшении шага точность метода увеличивается. Поскольку исходное уравнение — это линейное дифференциальное уравнение, то и для неявной схемы тоже получилось линейное уравнение, из которого можно выразить (что и было сделано) решение.
Этот пример демонстрирует, как совмещаются конечноэлементные постановки и разностные схемы. Пусть дано параболическое уравнение:
Для аппроксимации по времени, используя неявную схему Эйлера, получим:
Поскольку значение на предыдущем слое уже известно, то, при перенесении его в правую часть, получается эллиптическое уравнение относительно :
Для решения данного уравнения можно применить метод Галёркина, тогда полученная СЛАУ будет иметь следующий вид:
.
Здесь: — матрица жесткости, — матрица массы, — вектор, связный с правой частью исходного уравнения, — вектор весов базисных функций на слое с номером .
Однако, решение по пространству можно искать также и с помощью разностной схемы, аналогично показанному выше примеру.
↑Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9.