Калибровка векторного потенциала

Калибро́вка ве́кторного потенциа́ла — наложение дополнительных условий, позволяющих однозначно вычислить векторный потенциал электромагнитного поля ($\mathbf {A}$) при решении тех или иных физических задач. Налагаемые условия являются искусственными и служат для упрощения математических выкладок. Наиболее широкое распространение получили калибровка Кулона и калибровка Лоренца, но существуют и применяются и другие калибровки.

Возможность и смысл калибровки

При введении векторного ($\mathbf {A}$) и скалярного ($\varphi$) потенциалов электромагнитного поля возникает неоднозначность, не создающая никаких проблем фундаментального плана, но требующая разрешения для проведения расчётов в конкретных задачах. А именно, преобразования

$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi$,

$\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$,

где $\psi =\psi ({\vec {r}},t)$ — произвольная скалярная функция координат (${\vec {r}}$) и времени ($t$), не изменяют вида уравнений Максвелла, а значит, допустимы с физической точки зрения. Необходимо остановиться на каком-то выборе данной функции, причём он может быть сделан из соображений математического удобства. На практике осуществляется не фиксация функции $\psi$ (при предварительно введённых потенциалах), а наложение некоторого дополнительного условия на сами потенциалы.

Примеры калибровок

Кулоновская калибровка

Кулоновская калибровка — выбор векторного потенциала магнитного поля (A) с дополнительным условием

$\operatorname {div} \,\mathbf {A} =0$

Эта калибровка применяется для рассмотрения нерелятивистских магнитостатических задач.

Калибровка Лоренца

Калибровка Лоренца — выбор векторного потенциала электромагнитного поля с условием (в системе СИ)

$\operatorname {div} \,\mathbf {A} +{1 \over c}{\partial \mathbf {\varphi } \over \partial t}=0$, где $\varphi$ — электростатический потенциал.

Эта калибровка применяется для рассмотрения динамических задач. Калибровка Лоренца сохраняется при преобразованиях Лоренца и в ковариантной форме может быть записана как

${\partial A_{\mu } \over \partial x_{\mu }}=0$

Калибровка Ландау

Калибровка Ландау — выбор векторного потенциала магнитного поля в виде ${\vec {A}}({\vec {r}})=Bx{\vec {e}}_{y}$, где $B$ — магнитное поле, а ${\vec {e}}_{y}$ — единичный орт по направлению оси y.

Используется для удобства при решении уравнения Шрёдингера в магнитном поле, поскольку позволяет разделить переменные в декартовой системе координат и получить так называемые уровни Ландау.

Симметричная калибровка

Симметричная калибровка — выбор векторного потенциала магнитного поля в виде ${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {1}{2}}{\vec {B}}\times {\vec {r}}$, где ${\vec {B}}$ — вектор магнитного поля, а ${\vec {r}}$ — радиус-вектор.

Калибровка Лондонов

Калибровка Лондонов — выбор векторного потенциала магнитного поля таким образом, чтобы выполнялись условия

$\operatorname {div} \,{\vec {A}}=0$

${\vec {A}}\cdot {\vec {n}}=0$, где ${\vec {n}}$ -- вектор нормали к поверхности сверхпроводника.

В этой калибровке упрощается запись уравнения Лондонов для линейной электродинамики сверхпроводников.

Калибровка Вейля

Калибровка Вейля — выбор векторного потенциала магнитного поля таким образом, чтобы выполнялись условие

$\varphi =0$

Другие названия — калибровка Гамильтона

$A_{4}=0$

Калибровка Пуанкаре

Калибровка Пуанкаре (мультиполярная калибровка) — выбор векторного потенциала магнитного поля таким образом, чтобы выполнялись условие

$\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} =0$

Калибровка Фока — Швингера

Калибровка Фока — Швингера — выбор векторного потенциала магнитного поля таким образом, чтобы выполнялись условие

$\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +t\cdot \varphi =0$,

или

$x^{\mu }A_{\mu }=0$

Калибровка Дирака

$A_{\mu }A^{\mu }=k^{2}$

См. также

• Калибровочная инвариантность
• Калибровочные преобразования

Примечания