Уравнение Гельмгольца

Уравне́ние Гельмго́льца — это эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных:

$(\Delta +k^{2})U=f,$

где $\Delta =\nabla ^{2}$ — это оператор Лапласа, а неизвестная функция $U$ определена в $\mathbb {R} ^{n}$ (на практике уравнение Гельмгольца применяется для $n=1,2,3$).

Вывод уравнения

Как легко заметить, в уравнение Гельмгольца не входят операторы дифференцирования по времени, следовательно, сведение исходной задачи в частных производных к уравнению Гельмгольца может упростить её решение. Рассмотрим волновое уравнение:

$\triangle u({\bar {x}},t)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u({\bar {x}},t)}{\partial t^{2}}}=f({\bar {x}},t).$

Пусть функции $u$ и $f$ допускают разделение переменных: $u({\bar {x}},t)=U({\bar {x}})T(t),\ f({\bar {x}},t)=F({\bar {x}})T(t)$, и пусть $T(t)=e^{i\omega t}$. Заметим, что в пространстве Фурье-преобразований дифференцирование по времени соответствует умножению на множитель iω. Таким образом, наше уравнение приводится к виду:

$\triangle U({\bar {x}})+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}U({\bar {x}})=F({\bar {x}}),$

где ${\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=k^{2}$ — это квадрат модуля волнового вектора.

Решение уравнения Гельмгольца

Случай однородного уравнения

Решение уравнения Гельмгольца зависит от вида граничных условий. В двумерном случае уравнение Гельмгольца применяется для решения задачи о колеблющейся мембране, тогда естественным образом задаются однородные граничные условия, что физически соответствует закреплению мембраны на границе. В таком случае решение будет зависеть от формы мембраны. Так, для круглой мембраны радиуса $a$ в полярных координатах ($r,\,\varphi$) уравнение принимает вид:

$U_{rr}+{\frac {1}{r}}U_{r}+{\frac {1}{r^{2}}}U_{\varphi \varphi }+k^{2}U=0,\qquad U(a,\varphi )=0.$

Методом разделения переменных приходим к задаче на собственные значения для части решения, зависящей только от $\varphi$:

$U(r,\varphi )=R(r)\Phi (\varphi ),$

${\frac {\Phi ''}{\Phi }}=-\lambda ^{2},$

а функция, зависящая только от радиуса, будет удовлетворять уравнению:

$\displaystyle r^{2}R''+rR'+R(r^{2}k^{2}-\lambda ^{2})=0.$

Фундаментальными решениями этих уравнений являются, соответственно, функции $\scriptstyle \sin(\lambda \varphi ),\ \cos(\lambda \varphi )$ и $\scriptstyle J_{\lambda }\left({\frac {\mu _{i}^{(\lambda )}}{a}}r\right),$ где $\mu _{i}^{(\lambda )}$ — $i$-й корень функции Бесселя $\lambda$-го порядка.

Случай неоднородного уравнения

Рассмотрим уравнение Гельмгольца в пространстве обобщённых функций:

$\triangle U+k^{2}U=\delta (x).$

Покажем, что в трёхмерном случае $(x=(x_{1},x_{2},x_{3}))$ фундаментальными решениями этого уравнения являются функции:

$U_{1}^{(3)}(x)=-{\frac {e^{ik|x|}}{4\pi |x|}},\qquad U_{2}^{(3)}=-{\frac {e^{-ik|x|}}{4\pi |x|}}.$

В самом деле, воспользуемся равенствами:

${\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {1}{|x|}}=-{\frac {x_{j}}{|x|^{3}}}$

${\frac {\partial }{\partial x_{j}}}e^{ik|x|}={\frac {ikx_{j}}{|x|}}e^{ik|x|}$

$\triangle e^{ik|x|}=\left({\frac {2ik}{|x|}}-k^{2}\right)e^{ik|x|}$

и формулой, доказываемой в курсе математической физики:

$\triangle {\frac {1}{|x|}}=-{\frac {2\pi ^{3/2}}{\Gamma (3/2)}}\delta (x).$

Получаем:

$(\triangle +k^{2}){\frac {1}{|x|}}e^{ik|x|}=e^{ik|x|}\triangle {\frac {1}{|x|}}+2\left(\operatorname {grad} \,\,e^{ik|x|},\operatorname {grad} {\frac {1}{|x|}}\right)+{\frac {1}{|x|}}\triangle e^{ik|x|}+{\frac {k^{2}}{|x|}}e^{ik|x|}=$

$=-4\pi e^{ik|x|}\delta (x)+\left(-{\frac {2ik}{|x|^{2}}}+{\frac {2ik}{|x|^{2}}}-{\frac {k^{2}}{|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}\right)e^{ik|x|}=-4\pi \delta (x).$

Прямыми вычислениями также проверяется, что в двумерном случае фундаментальным решением будут функции Ханкеля первого и второго рода:

$U_{1}^{(2)}=-{\frac {i}{4}}H_{0}^{(1)}(k|x|),\qquad U_{2}^{(2)}={\frac {i}{4}}H_{0}^{(2)}(k|x|),$

а в одномерном:

$U_{1}^{(1)}(x)={\frac {e^{ik|x|}}{2ik}},\qquad U_{2}^{(1)}=-{\frac {e^{-ik|x|}}{2ik}}.$

Литература

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.