Первые попытки исследования сопротивления среды движению тела были сделаны Леонардо да Винчи и Галилео Галилеем. В 1628 году Бенедетто Кастелли издал работу, в которой достаточно точно для своего времени объяснил несколько явлений при движении жидкости в реках и каналах; однако он ошибочно полагал скорость вытекания жидкости из сосуда пропорциональной расстоянию от отверстия до поверхности воды. Эванджелиста Торричелли, заметив, что вода из фонтана поднимается на высоту, примерно равную уровню воды в питающем водоёме, доказал теорему о пропорциональности скорости истечения квадратному корню из напора и подтвердил её экспериментально. Эдм Мариотт в посмертно опубликованном труде впервые объяснил расхождение теории и эксперимента влиянием трения. В «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» Исаака Ньютона для описания снижения скорости проточной воды впервые последовательно использованы понятия вязкости и внутреннего трения^[3].

Классический период гидродинамики связан с трудами XVIII века. В 1738 году Даниил Бернулли опубликовал трактат «Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii», в котором систематически применил закон сохранения живой силы (энергии) к движению жидкости и получил соотношение, ставшее одним из основных законов гидродинамики^[4].

Жан Лерон Даламбер в трактате «Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides» (1752) применил принцип, сводящий законы движения тел к законам их равновесия, и получил уравнения движения жидкости методом, отличным от подхода Бернулли^[5]. Метод Даламбера был усовершенствован Леонардом Эйлером, проведшим значительную часть научной жизни в Петербургской академии наук. В работах 1755–1757 годов «Principes généraux du mouvement des fluides» и «Principia motus fluidorum» Эйлер, используя аппарат частных производных, впервые в замкнутом виде выписал систему дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости, носящих ныне его имя^[6][7]. Учёт вязкости в уравнениях движения жидкости был завершён в XIX веке К. Л. Навье и Дж. Г. Стоксом — соответствующая система уравнений составляет основу современной гидродинамики^[1].

В XX веке фундаментальный вклад в развитие гидродинамики внесли отечественные учёные: Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин заложили основы аэродинамики крыла. Л. Прандтль и Н. Е. Кочин развили теорию пограничного слоя, а работы А. Н. Колмогорова, А. М. Обухова и Л. Д. Ландау сформировали современный облик теории турбулентности^[8].

В основе гидродинамики лежат законы сохранения массы, импульса и энергии, записанные для сплошной среды.

Уравнение неразрывности выражает сохранение массы:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} )=0,}$

где ${\displaystyle \rho }$ — плотность, ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — поле скорости. Для несжимаемой жидкости оно сводится к ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$^[1].

Уравнения Навье–Стокса выражают закон сохранения импульса для вязкой ньютоновской жидкости. Для несжимаемой жидкости постоянной вязкости они имеют вид:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=-\nabla p+\mu \,\Delta \mathbf {v} +\rho \mathbf {g} ,}$

где ${\displaystyle p}$ — давление, ${\displaystyle \mu }$ — динамическая вязкость, ${\displaystyle \mathbf {g} }$ — плотность массовых сил (например, силы тяжести), ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа^[1][2]. Вместе с уравнением неразрывности они составляют замкнутую систему для полей ${\displaystyle \mathbf {v} }$ и ${\displaystyle p}$.

Отбрасывая в уравнениях Навье–Стокса вязкий член ${\displaystyle \mu \,\Delta \mathbf {v} }$, получают уравнения Эйлера движения идеальной (невязкой) жидкости, впервые выведенные Л. Эйлером в 1755–1757 годах^[6][7]. Уравнения Эйлера применимы при больших числах Рейнольдса вне тонких пограничных слоёв, где вязкими эффектами можно пренебречь.

Уравнение Бернулли является первым интегралом уравнений Эйлера для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости в поле силы тяжести:

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gh+{\frac {p}{\rho }}=\mathrm {const} }$

вдоль линии тока; здесь ${\displaystyle h}$ — высота, ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения^[4][2].

Число Рейнольдса — безразмерный параметр, характеризующий отношение сил инерции к силам вязкости:

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho vL}{\mu }}={\frac {vL}{\nu }},}$

где ${\displaystyle L}$ — характерный размер, ${\displaystyle \nu =\mu /\rho }$ — кинематическая вязкость. Значение ${\displaystyle \mathrm {Re} }$ служит основным критерием подобия течений и определяет режим течения — ламинарный или турбулентный.

Гидродинамика содержит целый ряд открытых фундаментальных задач, часть из которых относится к числу центральных проблем современной математической физики^[19].

• Существование и гладкость решений уравнений Навье–Стокса. Вопрос о существовании при любых гладких начальных данных глобального по времени гладкого решения трёхмерных уравнений Навье–Стокса в отсутствие внешних сил остаётся открытым. Задача включена Институтом Клэя в число семи задач тысячелетия^[20].
• Проблема замыкания в теории турбулентности. При усреднении уравнений Навье–Стокса (уравнения Рейнольдса) возникают неизвестные корреляции пульсаций скоростей высших порядков; получить для них замкнутую систему уравнений исходя только из уравнений Навье- Стокса до сих пор не удаётся, в следствии чего используются полуэмпирические модели^[10][13].
• Предсказание перехода ламинарного течения в турбулентное. Определить критическое число Рейнольдса и структуру возникающих неустойчивостей аналитически можно лишь для узкого класса задач; общая теория ламинарно-турбулентного перехода и субкритических переходов (в частности, в круглой трубе) остаётся предметом активных исследований^[21].

Значительная часть современных научных исследований по этим направлениям ведётся в Центральном аэрогидродинамическом институте (ЦАГИ), а также в институтах Российской академии наук — ИПМех РАН, ИТФ им. Л. Д. Ландау, ИГиЛ СО РАН, ИВМ им. Г. И. Марчука и других.