Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 26 декабря 2019 года; проверки требуют 6 правок.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 26 декабря 2019 года; проверки требуют 6 правок.
Результат решения уравнений мелкой воды для бассейна. Поверхность воды возмущается пятью всплесками, которые вызывают поверхностные волны, распространяющиеся по поверхности и отражающиеся от стенок бассейна
Уравнения получаются[1] путём интегрирования по глубине уравнений Навье — Стокса при условии, что горизонтальный масштаб много больше вертикального. При этом условии из закона неразрывности следует, что вертикальные скорости в жидкости малы, вертикальные градиенты давления близки к нулю, а горизонтальные градиенты вызываются неровностью поверхности жидкости и горизонтальные скорости одинаковы по всей глубине. При интегрировании по вертикали вертикальные скорости уходят из уравнений.
Хотя вертикальные скорости отсутствуют в уравнениях мелкой воды, они не равны нулю. Когда горизонтальные скорости получены, вертикальные скорости выводятся из уравнения непрерывности.
Ситуации, когда глубина акватории много меньше горизонтальных размеров, достаточно обычна, поэтому уравнения мелкой воды находят широкое применение. Они используются с учётом кориолисовых сил при моделировании атмосферы и океана как упрощение системы примитивных уравнений, описывающих потоки в атмосфере.
Уравнения мелкой воды учитывают только один вертикальный уровень, поэтому они не могут описывать факторы, меняющиеся с глубиной. Тем не менее, когда динамика потоков в вертикальном направлении относительно проста, вертикальные изменения могут быть отделены от горизонтальных, и состояние такой системы можно описать несколькими системами уравнений для мелкой воды.
Уравнения могут быть записаны для скоростей. Поскольку скорости не входят в фундаментальные законы сохранения, эти уравнения не описывают явления типа гидравлического удара или гидравлического прыжка.
где
— скорость вдоль оси x;
— скорость вдоль оси y;
— средняя высота поверхности жидкости;
— отклонение давления в горизонтальной плоскости от среднего значения;
Уравнения мелкой воды можно применять для моделирования волн Россби и Кельвина в атмосфере, реках, озёрах, океанах, а также более мелких водоёмах, таких как бассейны. Для того, чтобы применение уравнений мелкой воды было корректным, горизонтальные размеры акватории должны быть значительно больше глубины. Уравнения мелкой воды пригодны также для моделирования приливов. Приливное движение, имеющее горизонтальные масштабы в сотни километров, могут считаться явлениями мелкой воды, даже если происходят над многокилометровыми океанскими глубинами.
Моделирование возникновения и распространения цунами при помощи уравнений мелкой воды (красная линия; без частотной дисперсии)) и с помощью приближения Буссинеска (синия линия, с частотной дисперсией). Глубина воды составляет 100 м