Для бездиссипативной среды и в отсутствие спин-поляризированного тока уравнение Ландау — Лифшица обычно записывается в виде
где — плотность магнитного момента (намагниченность), — некоторая феноменологическая постоянная, — так называемое эффективное магнитное поле.
Уравнение в основном используется для ферро- и ферримагнетиков. В общем случае постоянная не совпадает с гиромагнитным отношением и в рамках феноменологической теории должна рассматриваться как величина, определяемая из эксперимента. Их отличие обусловлено вкладом орбитальных моментов. Поэтому при условии, что магнитные ионы находятся в -состоянии (то есть орбитальные моменты отсутствуют), можно считать равным гиромагнитному отношению с большой степенью точности[1]. Это выполняется для CdCr2Se4, железо-иттриевого граната Y3Fe5O12, пермаллоя Fe20+xNi80-x и большинства др. ферро- и ферримагнитных материалов.
Эффективное магнитное поле определяется как вариационная производная свободной энергии по магнитному моменту[2]
В формулировке (1) сохраняется длина вектора намагниченности. Это легко показать, домножив обе части (1) скалярно на , что даст
Этот факт дает основание говорить о прецессии намагниченности.
Строгий вывод уравнения движения намагниченности в континуальном приближении невозможен[3], поэтому часто постулируется возможность формального перехода от уравнения движения оператора спина
к уравнению (1) путём замены и разложения поля намагниченности вблизи точки в ряд Тейлора[4]. Тут — коммутатор, — гамильтониан, — оператор спина для n-го узла решетки, а — его радиус-вектор, — постоянная решетки, — магнетон Бора.
Учет диссипации, влияния температуры или спин-поляризированных токов требует модификации исходного уравнения (1), которая обычно сводится к появлению дополнительных слагаемых в правой части (1). Релаксационные члены могут иметь различную размерность и различное число параметров. Но для приближенного описания процессов в ферромагнетиках при небольшой диссипации может использоваться уравнение в любой из нижеприведенных форм[5]. Каждое из них можно преобразовать одно к другому.
Примером уравнения с диссипацией, допускающего изменение длины вектора намагниченности может служить модифицированное уравнение Блоха или уравнение Блоха — Бломергена:
где — так называемая статическая восприимчивость, определяемая как отношение намагниченности насыщения к абсолютной величине эффективного поля, а — частота релаксации.
Спин-поляризированный ток обычно описывают дополнительным слагаемым в правой части (1) вида . Один из подходов к его конкретизации[8] состоит в разложении вектора по осям, направленным вдоль , и . Тут — единичный вектор вдоль намагниченности опорного слоя. В предположении, что длина вектора намагниченности не меняется, первая проекция будет равна нулю, а две другие
где коэффциценты и пропорциональны плотности тока, зависящие от параметров поляризирующей структуры и угла между и .
Для аналитического анализа, чаще всего уравнение Ландау — Лифшица записывается в угловых переменных сферической системы координат и . В таком случае вектор намагничености можно представить как
где — намагниченность насыщения. Чтобы перейти в (6) к угловым переменным, домножим уравнение на вариацию намагниченности , выразив в угловых переменных проекцию левой части на ось аппликат. Далее, записав вариации энергии и намагниченности через вариации углов получим
Получение уравнений в угловых переменных содержащих дополнительные члены проделывается аналогично. Так для записи в форме Ландау — Лифшица — Гильберта имеем
↑Подробнее, этот вопрос был рассмотрен, например, в Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г. Пелетминский С. В. Спиновые волны., М.: Наука, 1967, — 368 с. на стр. 44 и Herring C., Kittel C, On the theory of spin waves in ferromagnetic media. — Phys. Rev., 1951, 81 N. 5, p. 869—880.
↑В этом случае обычно ограничиваются членами второго порядка малости, так как в случае, когда каждый узел решетки является её центром симметрии, содержащее первую производную по координате слагаемое обращается в нуль.
↑Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с., — ISBN 5-02-014366-9 на стр. 27.
↑Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел // Ландау Л. Д. Собрание трудов в 2 т. Под ред. Е. М. Лифшица. М.: Наука, 1969. Т. 1. С. 128
Ахиезер, А. И., Барьяхтар, В. Г. Пелетминский, С. В. Спиновые волны., М.: Наука, 1967, — 368 с.
Гуревич, А. Г., Мелков, Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с., ISBN 5-02-014366-9.
Зависляк, И. В., Тычинский, А. В., Физические основы функциональной микроэлектроники. К.: УМК ВО, 1989, — 105. с.
Звездин, А. К, Звездин, К. А, Хвальковский, А. В. Обобщенное уравнение Ландау — Лифшица и процессы переноса спинового момента в магнитных наноструктурах. УФН, 178 436–442, (2008) https://dx.doi.org/10.3367/UFNr.0178.200804i.0436
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел. Phys. Zs. Sowjet., 1935, 8, С. 153-169.
Скроцкий, Г. В. Еще раз об уравнении Ландау — Лифшица. УФН
Gilbert, T. A phenomenological theory of damping in ferromagnetic materials. IEEE Transactions on Magnetics, 2004, 40, pp. 3443-3449. https://dx.doi.org/10.1109/TMAG.2004.836740