Уравнение Ландау — Лифшица (магнетизм)

Для бездиссипативной среды и в отсутствие спин-поляризированного тока уравнение Ландау — Лифшица обычно записывается в виде:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}=-|\gamma |[\mathbf {M} \times \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }],\qquad (1)}$

где ${\displaystyle \mathbf {M} \equiv \mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)}$ — плотность магнитного момента (намагниченность), ${\displaystyle \gamma }$ — некоторая феноменологическая постоянная, ${\displaystyle \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }\equiv \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }(\mathbf {r} ,t)}$ — так называемое эффективное магнитное поле.

Уравнение в основном используется для ферро- и ферримагнетиков. В общем случае постоянная ${\displaystyle \gamma }$ не совпадает с гиромагнитным отношением и в рамках феноменологической теории должна рассматриваться как величина, определяемая из эксперимента. Их отличие обусловлено вкладом орбитальных моментов. Поэтому при условии, что магнитные ионы находятся в ${\displaystyle S}$-состоянии (то есть орбитальные моменты отсутствуют), ${\displaystyle \gamma }$ можно считать равным гиромагнитному отношению с большой степенью точности^[2]. Это выполняется для CdCr₂Se₄, железо-иттриевого граната Y₃Fe₅O₁₂, пермаллоя Fe_20+xNi_80-x и большинства других ферро- и ферримагнитных материалов.

Эффективное магнитное поле определяется как вариационная производная свободной энергии по магнитному моменту^[3]:

${\displaystyle \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }(\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\delta F}{\delta \mathbf {M} }}.\qquad (2)}$

В случае, когда рассматривается магнетик вдали от температуры Кюри или при нулевой температуре, свободная энергия ${\displaystyle F}$ равна внутренней ${\displaystyle E}$.

В формулировке (1) сохраняется длина вектора намагниченности. Это легко показать, домножив обе части (1) скалярно на ${\displaystyle \mathbf {M} }$, что даст

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {M} ^{2}}{\partial t}}=0.\qquad (3)}$

Этот факт даёт основание говорить о прецессии намагниченности.

Строгий вывод уравнения движения намагниченности в континуальном приближении невозможен^[4], поэтому часто постулируется возможность формального перехода от уравнения движения оператора спина ${\displaystyle \mathbf {S} _{n}}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \mathbf {S} _{n}}{\partial t}}=[{\mathcal {H}},\mathbf {S} _{n}],\qquad (4)}$

к уравнению (1) путём замены ${\displaystyle \mathbf {S} _{n}\to -{\frac {a^{3}}{2\mu _{B}}}\mathbf {M} (\mathbf {r} _{n})}$ и разложения поля намагниченности ${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} _{n+n_{0}})}$ вблизи точки ${\displaystyle \mathbf {r} _{n}}$ в ряд Тейлора^[5]. Тут ${\displaystyle [\bullet ,\bullet ]}$ — коммутатор, ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ — гамильтониан, ${\displaystyle \mathbf {S} _{n}}$ — оператор спина для n-го узла решётки, а ${\displaystyle \mathbf {r} _{n}}$ — его радиус-вектор, ${\displaystyle a}$ — постоянная решётки, ${\displaystyle \mu _{B}}$ — магнетон Бора.

Учёт диссипации, влияния температуры или спин-поляризированных токов требует модификации исходного уравнения (1), которая обычно сводится к появлению дополнительных слагаемых в правой части (1). Релаксационные члены могут иметь различную размерность и различное число параметров. Но для приближённого описания процессов в ферромагнетиках при небольшой диссипации может использоваться уравнение в любой из нижеприведённых форм^[6]. Каждое из них можно преобразовать одно к другому.

Ландау и Лифшиц предложили^[7] следующую модификацию:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}=-|\gamma |[\mathbf {M} \times \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }]-{\frac {|\gamma |\lambda }{M^{2}}}\left[\mathbf {M} \times [\mathbf {M} \times \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }]\right],\qquad (5)}$

где ${\displaystyle \lambda }$ — параметр диссипации. Иногда за параметр диссипации принимают величину ${\displaystyle \lambda _{1}=|\gamma |\lambda }$.

Часто используется релаксационный член в форме Гильберта:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}=-|\gamma |[\mathbf {M} \times \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }]+{\frac {\alpha }{M}}\left[\mathbf {M} \times {\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}\right],\qquad (6)}$

где ${\displaystyle \alpha }$ — параметр диссипации. Формальный переход между уравнениями (5) и (6) можно совершить заменой

${\displaystyle \gamma \to {\frac {\gamma }{1+\alpha ^{2}}},\quad \lambda \to {\frac {\alpha M}{1+\alpha ^{2}}}.\qquad (7)}$

В связи с отрицательным значением гиромагнитного отношения встречаются определения параметров релаксации с противоположными знаками в (5) и (6)^[8].

Примером уравнения с диссипацией, допускающего изменение длины вектора намагниченности, может служить модифицированное уравнение Блоха или уравнение Блоха — Бломергена:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}=-|\gamma |[\mathbf {M} \times \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }]-\omega _{r}(\mathbf {M} -\chi _{0}\mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }),\qquad (8)}$

где ${\displaystyle \chi _{0}}$ — так называемая статическая восприимчивость, определяемая как отношение намагниченности насыщения к абсолютной величине эффективного поля, а ${\displaystyle \omega _{r}}$ — частота релаксации.

Спин-поляризированный ток обычно описывают дополнительным слагаемым в правой части (1) вида ${\displaystyle |\gamma |\mathbf {T} }$. Один из подходов к его конкретизации^[9] состоит в разложении вектора ${\displaystyle |\gamma |\mathbf {T} }$ по осям, направленным вдоль ${\displaystyle \mathbf {M} }$, ${\displaystyle [\mathbf {M} \times \mathbf {m} _{\mathrm {ref} }]}$ и ${\displaystyle \mathbf {M} \times [\mathbf {M} \times \mathbf {m} _{\mathrm {ref} }]}$. Тут ${\displaystyle \mathbf {m} _{\mathrm {ref} }}$ — единичный вектор вдоль намагниченности опорного слоя. В предположении, что длина вектора намагниченности не меняется, первая проекция будет равна нулю, а две другие

${\displaystyle \mathbf {T} _{\parallel }=-{\frac {|\gamma |a_{J}}{M_{s}}}\mathbf {M} \times [\mathbf {M} \times \mathbf {m} _{\mathrm {ref} }],\quad \mathbf {T} _{\perp }=|\gamma |b_{J}[\mathbf {M} \times \mathbf {m} _{\mathrm {ref} }],\qquad (9)}$

где коэффициценты ${\displaystyle a_{J}}$ и ${\displaystyle b_{J}}$ пропорциональны плотности тока, зависящие от параметров поляризующей структуры и угла между ${\displaystyle \mathbf {M} }$ и ${\displaystyle \mathbf {m} _{\mathrm {ref} }}$.

Для аналитического анализа уравнение Ландау — Лифшица чаще всего записывается в угловых переменных сферической системы координат ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \phi }$. В таком случае вектор намагниченности можно представить как

${\displaystyle M_{x}+iM_{y}=M_{s}\sin \theta e^{i\phi },\quad M_{z}=M_{s}\cos \theta ,}$

где ${\displaystyle M_{s}}$ — намагниченность насыщения. Чтобы перейти в (6) к угловым переменным, домножим уравнение на вариацию намагниченности ${\displaystyle \delta \mathbf {M} }$, выразив в угловых переменных проекцию левой части на ось аппликат. Далее, записав вариации энергии и намагниченности через вариации углов, получим:

${\displaystyle \sin \theta {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=-{\frac {|\gamma |}{M_{s}}}{\dfrac {\delta E}{\delta \phi }},\quad \sin \theta {\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {|\gamma |}{M_{s}}}{\dfrac {\delta E}{\delta \theta }}.\qquad (10)}$

Получение уравнений в угловых переменных содержащих дополнительные члены проделывается аналогично. Так для записи в форме Ландау — Лифшица — Гильберта имеем

${\displaystyle \sin \theta {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=-{\frac {|\gamma |}{M_{s}}}{\dfrac {\delta E}{\delta \phi }}-\alpha \sin ^{2}\theta {\frac {\partial \phi }{\partial t}},\quad \sin \theta {\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {|\gamma |}{M_{s}}}{\dfrac {\delta E}{\delta \theta }}+\alpha {\frac {\partial \theta }{\partial t}}.\qquad (11)}$