Цилиндрические параболические координаты

Цилиндрические параболические координаты (координаты параболического цилиндра) $(u,\;v,\;z)$ — система координат, обобщающая параболические координаты на трёхмерный случай путём добавления третьей (декартовой) координаты $\ z$ , то есть аппликаты.

Существует несколько вариантов ориентации этих координат. Наиболее распространённой является ориентация, соответствующая

{\begin{cases}x={\dfrac {c}{2}}(u^{2}-v^{2}),\\y=cuv,\\z=z,\end{cases}}

где $c>0$ — размерный множитель.

Поверхности уровня $u=\mathrm {const}$ и $v=\mathrm {const}$ суть параболические цилиндры, образующие которых параллельны оси $z$ .

Прямоугольная система координат ( x , y , z ) {\displaystyle (x,\;y,\;z)}

{\begin{cases}x={\dfrac {c}{2}}(u^{2}-v^{2}),\\y=cuv,\\z=z,\end{cases}}

Цилиндрическая система координат ( ρ , φ , z ) {\displaystyle (\rho ,\;\varphi ,\;z)}

{\begin{cases}\rho ={\dfrac {c}{2}}(u^{2}+v^{2}),\\\varphi =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {2uv}{u^{2}-v^{2}}}\right),\\z=z.\end{cases}}

Коэффициенты Ламе в данных координатах имеют следующий вид:

{\begin{cases}H_{u}=c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}},\\H_{v}=c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}},\\H_{z}=1.\end{cases}}

Градиент

\mathrm {grad} \,F(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left({\frac {\partial F}{\partial u}}{\vec {e}}_{u}+{\frac {\partial F}{\partial v}}{\vec {e}}_{v}\right)+{\frac {\partial F}{\partial z}}{\vec {e}}_{z}.

Дивергенция

\mathrm {div} {\vec {A}}(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u}\right)+{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v}\right)\right]+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}.

Ротор

\mathrm {rot} \,{\vec {A}}={\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial v}}A_{z}-{\frac {\partial }{\partial z}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v})\right]{\vec {e}}_{u}+{\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial z}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u})-{\frac {\partial }{\partial u}}A_{z}\right]{\vec {e}}_{v}+

+{\frac {1}{c(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v})-{\frac {\partial }{\partial v}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u})\right]{\vec {e}}_{z}.

Лапласиан

\Delta F(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}}}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}.

Weisstein, Eric W. Parabolic Cylindrical Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Системы координат
Название координат	Абсцисса Ордината Аппликата
Типы систем координат	Прямолинейная система координат Криволинейная система координат
Двумерные координаты	Биангулярные координаты Бицентрические координаты Гиперболические координаты Полярные координаты Биполярные координаты Параболические координаты Эллиптические координаты Тетрациклические координаты Трилинейные координаты
Трёхмерные координаты	Цилиндрические координаты Сферические координаты Бисферические координаты Тороидальные координаты Цилиндрические параболические координаты Бицилиндрические координаты Эллипсоидальные координаты Конические координаты Пентасферические координаты Диполярная система координат
$n$ -мерные координаты	Декартовы координаты Аффинные координаты Проективные координаты Плюккеровы координаты Барицентрические координаты
Физические координаты	Координаты Риндлера Координаты Борна Система небесных координат Географические координаты Главноортодромическая система координат
Связанные определения	Метод координат Начало координат Координатная ось Вектор Орт Система отсчёта Репер Коэффициенты Ламе Метрический тензор

Цилиндрические параболические координаты

Связь с другими системами координат

Прямоугольная система координат ( x , y , z ) {\displaystyle (x,\;y,\;z)}

Цилиндрическая система координат ( ρ , φ , z ) {\displaystyle (\rho ,\;\varphi ,\;z)}

Коэффициенты Ламе

Выражение основных дифференциальных операторов

Градиент

Дивергенция

Ротор

Лапласиан

См. также

Ссылки

Дополнительно по теме

Категории