Электромагнитный потенциал

Именно в связи с векторным (4-векторным) характером электромагнитного потенциала электромагнитное поле относится к классу векторных полей в том смысле, который употребляется в современной физике по отношению к фундаментальным бозонным полям (например, гравитационное поле является в этом смысле не векторным, а тензорным полем).

• Обозначается электромагнитный потенциал чаще всего как ${\displaystyle A_{i}}$ или ${\displaystyle \varphi _{i}}$, что подразумевает величину с индексом, имеющую четыре компоненты ${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}}$ или ${\displaystyle \varphi _{0},\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}}$, причём индексом 0, как правило, обозначается временная компонента, а индексами 1, 2, 3 — три пространственных. В данной статье придерживаются обозначения первого типа;
• В современной литературе могут использоваться более абстрактные обозначения.

В любой определённой инерциальной системе отсчёта электромагнитный потенциал ${\displaystyle (A_{0},\ A_{1},\ A_{2},\ A_{3})}$ распадается^[2] на скалярный (в трёхмерном пространстве) потенциал ${\displaystyle \varphi \equiv A_{0}}$ и трёхмерный векторный потенциал ${\displaystyle {\vec {A}}\equiv (A_{x},A_{y},A_{z})\equiv (-A_{1},-A_{2},-A_{3})}$; эти потенциалы ${\displaystyle \varphi \ }$ и ${\displaystyle {\vec {A}}}$ и есть те скалярный и векторный потенциалы, которые используются в традиционной трёхмерной формулировке электродинамики. В случае, когда электромагнитное поле не зависит от времени (или быстротой его изменения в конкретной задаче можно пренебречь), то есть в случае (приближении) электростатики и магнитостатики, напряжённость электрического поля выражается через ${\displaystyle \varphi }$, называемый в этом случае электростатическим потенциалом, а напряжённость магнитного поля (магнитная индукция)^[3] — только через векторный потенциал. Однако в общем случае (когда поля меняются со временем) в выражение для электрического поля входит также и векторный потенциал, тогда как магнитное всегда выражается лишь через векторный (нулевая компонента электромагнитного потенциала в это выражение не входит).

Связь напряжённостей с электромагнитным потенциалом в общем случае такова в традиционных трёхмерных векторных обозначениях^[4]:

${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}},}$

${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}},}$

где ${\displaystyle {\vec {E}}}$ — напряжённость электрического поля, ${\displaystyle {\vec {B}}}$ — магнитная индукция (или, что в случае вакуума в сущности то же самое, напряжённость магнитного поля), ${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла, причём ${\displaystyle \nabla \varphi \equiv \mathrm {grad} \,\varphi }$ — градиент скалярного потенциала, а ${\displaystyle \nabla \times {\vec {A}}\equiv \mathrm {rot} \,{\vec {A}}}$ — ротор векторного потенциала.

В несколько более современной четырёхмерной формулировке эти же соотношения можно записать как выражение тензора электромагнитного поля через 4-вектор электромагнитного потенциала:

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu },}$

где ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ — тензор электромагнитного поля, компоненты которого представляют собой компоненты ${\displaystyle E_{x},E_{y},E_{z},B_{x},B_{y},B_{z}}$.

Приведённое выражение является обобщением выражения ротора для случая четырёхмерного векторного поля.

При переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты ${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}}$ преобразуются, как это свойственно компонентам 4-вектора, посредством преобразований Лоренца.

Физический смысл четырёхмерного электромагнитного потенциала можно прояснить, заметив, что при взаимодействии заряженной частицы^[5] (с электрическим зарядом q) с электромагнитным полем этот потенциал даёт добавку в фазу ${\displaystyle \varphi }$ волновой функции частицы:

${\displaystyle \Delta \varphi =-{\frac {1}{\hbar }}\int qA_{i}dx^{i}=-{\frac {1}{\hbar }}\int qA_{i}u^{i}d\tau }$,

или, другими словами, вклад в действие (формула отличается от записанной выше только отсутствием множителя ${\displaystyle 1/\hbar }$, а в системе единиц, где ${\displaystyle \hbar =1}$ — просто совпадает с ней). Изменение фазы волновой функции частицы проявляется в сдвиге полос при наблюдении интерференции заряженных частиц (см., например, эффект Ааронова-Бома).

Физический смысл электрического и магнитного потенциалов в более простом частном случае электростатики и магнитостатики, а также единицы измерения этих потенциалов обсуждаются в статьях Электростатический потенциал и Векторный потенциал электромагнитного поля^[6].