Уравнение вихря

Жидкость (или газ), в которой пренебрежимо малы эффекты, связанные с внутренним трением (вязкостью) и теплообменом, называется «идеальной». Динамика идеальной жидкости подчиняется уравнению Эйлера^[2] (1755 год). Можно записать это уравнение при отсутствии внешних сил в форме Громеки-Лэмба:

${\displaystyle \ {\frac {\partial v}{\partial t}}-[v\times [\nabla \times v]]=-{\frac {\nabla p}{\rho }}-\nabla \left({\frac {v^{2}}{2}}\right),}$

(1)

где ${\displaystyle \ v}$ — вектор скорости, ${\displaystyle \ p}$ — давление, ${\displaystyle \ {\rho }}$ — плотность, принять условие несжимаемости можно в виде ${\displaystyle \ \rho =\operatorname {const} ,(\nabla \cdot v)=0}$, и применить к обеим сторонам этого уравнения операцию${\displaystyle \ \operatorname {rot} }$, то, учитывая известные свойства этого оператора, получим уравнение вихря идеальной несжимаемой жидкости:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \omega }{\partial t}}+(v\cdot \nabla )\omega -(\omega \cdot \nabla )v=0\end{aligned}}.}$   (2)

Интегральной форме этого уравнения соответствует теорема Гельмгольца—Кельвина о сохранении циркуляции скорости в баротропной жидкости^[3][4]. Уравнение (2) называется уравнением Гельмгольца.

При безвихревом движение жидкости (называемым также «потенциальным») ${\displaystyle \ \omega =0}$. Из уравнения (2) следует, что если в начальный момент времени движение безвихревое, то оно таковым и останется в дальнейшем.

Если в уравнении (1) учитывать также и силу внутреннего трения (вязкость), то вместо уравнения (2) получим:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \omega }{\partial t}}+(v\cdot \nabla )\omega -(\omega \cdot \nabla )v=\nu \Delta \omega \end{aligned}},}$   (3)

где ${\displaystyle \nu }$ — кинематическая вязкость^[5].

Условие отсутствия теплообмена (то есть адиабатичности) течения несжимаемой невязкой жидкости эквивалентно условию постоянства энтропии (то есть изоэнтропичности)^[2]. Если отказаться от этого ограничения, то уравнение (2) заменится на более общее:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \omega }{\partial t}}+(v\cdot \nabla )\omega \ -(\omega \cdot \nabla )v+\omega (\nabla \cdot v)={\frac {1}{\rho ^{2}}}\left[\nabla \rho \times \nabla p\right]\end{aligned}},}$   (4)

учитывающее эффект бароклинности. Правая часть этого уравнения равна нулю, если ${\displaystyle \ \nabla \rho \sim \nabla p}$, то есть, если изопикническая поверхность параллельна изобарической. В противном случае векторное произведение градиента плотности и градиента давления отлично от нуля, что приводит к изменению завихренности из-за влияния бароклинности. Влияние бароклинности на эволюцию вихря установил Вильгельм Бьеркнес^[6][7]. Это уравнение вскрыло важную роль эффектов бароклинности при образовании и развитии вихрей в атмосфере и океане.

(Уравнение Фридмана существует также в космологии. См. Уравнение Фридмана).

В общем случае движение ньютоновской жидкости подчиняется уравнениям Навье-Стокса. В отличие от рассмотренной выше формы уравнения Эйлера для несжимаемой жидкости, в нём учтены эффекты сжимаемости и внутреннего трения. Применяя к уравнению Навье-Стокса дифференциальный оператор${\displaystyle \ \operatorname {rot} }$, получим уравнение А. А. Фридмана^[8][9].

${\displaystyle \ \operatorname {helm} \omega ={\frac {1}{\rho ^{2}}}\left[\nabla \rho \times \nabla p\right]+\left[\nabla \times \left({\frac {f}{\rho }}\right)\right],}$   (5)

где ${\displaystyle \ \operatorname {helm} \omega \equiv {\frac {\partial \omega }{\partial t}}+(v\cdot \nabla )\omega -(\omega \cdot \nabla )v+\omega (\nabla \cdot v)}$ — дифференциальный оператор гельмгольциан, ${\displaystyle \ f}$ — плотность силы молекулярной вязкости.

Гидродинамический смысл гельмгольциана заключается в том, что равенство ${\displaystyle \ \operatorname {helm} \omega =0}$ означает «вмороженность» векторного поля ${\displaystyle \ \omega }$ в движущуюся жидкость, понимаемую в том смысле, что каждая векторная линия этого поля (то есть линия, касательная к которой в любой её точке имеет направление вектора ${\displaystyle \ \omega }$ в этой точке) сохраняется, то есть всё время состоит из одних и тех же жидких частиц, а интенсивность вихревых трубок (стенки которых состоят из вихревых линий), то есть потоки ${\displaystyle \ \int \limits _{\sigma }(\omega \cdot d\sigma )}$ вектора ${\displaystyle \ \omega }$ через любые сечения ${\displaystyle \ \sigma }$ этих трубок, не меняются со временем^[10].

Влияние силы тяжести не меняет вид уравнений (2) — (5) потому, что эта сила потенциальна.

Уравнение Фридмана — основное уравнение геофизической гидродинамики. На нём построена теория численного прогноза погоды.

Уравнение Фридмана применяется и к турбулентным течениям. Но в таком случае, все входящие в него величины должны пониматься как осреднённые (в смысле О. Рейнольдса). Однако, следует иметь в виду, что такое обобщение в этом случае недостаточно точно, поскольку при выводе уравнения (5) не принимался во внимание (из-за относительной малости) вектор плотности турбулентного импульса ${\displaystyle \ S={\overline {\rho ^{'}v^{'}}}}$, где черта сверху — знак осреднения, штрих — отклонения от среднего. Это обстоятельство проявилось в том, что уравнение Фридмана не может объяснить явление цикла индекса (васцилляции), в котором наблюдается обратимый баротропный обмен энергией и угловым моментом между упорядоченным и турбулентным движениями.

Обозначим через ${\displaystyle \ c=S/\rho }$ — «вектор скорости турбулентного переноса». Конечно, ${\displaystyle \ \left|c\right|\ll \left|v\right|}$, но, тем не менее, пренебрежение турбулентным переносом в задачах геофизической и астрофизической гидродинамики приводит к потере эффектов, проявляющих себя в медленных, но развивающихся процессах. Уравнение эволюции вихря, свободное от такого ограничения предложил А. М. Кригель^[11][12]:

${\displaystyle \ \operatorname {helm} \psi =\nabla \times \left[c\times \omega +c\left(\nabla \cdot c\right)+F\right]+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\left[\nabla \rho \times \left(\nabla p-\rho \nabla c^{2}\right)\right],}$   (6)

где ${\displaystyle \ \psi \equiv \nabla \times \left(v+c\right)}$ — «псевдовектор полного вихря скорости», ${\displaystyle \ \rho F}$ — плотность полной силы трения (молекулярного и турбулентного). Если опустить в этом уравнении эффекты бароклинности и вязкости, то правая часть остаётся, вообще говоря, отличной от нуля. В таком случае, как легко показать, теорема о сохранении циркуляции скорости Гельмгольца—Кельвина не выполняется, несмотря на то, что течение баротропно. Этот вывод является следствием непотенциальности «плотности турбулентной силы Кориолиса» ${\displaystyle \ 2\rho \left[c\times \omega \right]}$. В уравнении (6) появился дополнительный механизм, влияющий на эволюцию вихря, открывающий путь к пониманию природы цикла индекса.