Теория потенциала

Теория потенциала — раздел математики и математической физики, посвящённый изучению свойств дифференциальных уравнений в частных производных в областях с достаточно гладкой границей посредством введения специальных видов интегралов, зависящих от определённых параметров, называемых потенциалами.

Абстрактная теория потенциала — обобщение теории потенциала на абстрактные топологические пространства; в качестве основного абстрактной теории используется понятие гармонического пространства — произвольного топологического пространства, снабжённого пучком непрерывных вещественных функций, обладающих (зафиксированными аксиоматически) свойствами, характерными для гармонических функций.

История

Изначально возникла как часть небесной механики, изучающая свойства сил притяжения, действующих согласно закону всемирного тяготения. Основной вклад в создание и первоначальное развитие теории внесли Ньютон, Лагранж, Лежандр, Лаплас. В частности, Лагранж показал, что поле сил тяготения является потенциальным.

Начиная с Гаусса метод потенциалов начал применяться также для задач электростатики и магнетизма, в качестве потенциалов стали рассматриваться «массы» (заряды, намагниченность) произвольного знака. В рамках развития теории в XIX веке выделились основные краевые задачи: задача Дирихле, задача Неймана, задача Робена, задача о выметании масс, значительный вклад в изучение основных краевых задач в конце XIX века внесли Ляпунов и Стеклов.

Результаты теории существенно обобщены в начале XX века с использованием аппарата теории меры и обобщённых функций. Впоследствии в теории потенциалов задействованы аналитические, гармонические и субгармонические функции, инструментарий теорией вероятностей.

В 1950-е годы на основе методов топологии и функционального анализа разработана аксиоматическая абстрактная теория потенциалов.

Основные виды потенциалов

Логарифмические потенциалы (двумерные потенциалы)

Основная статья: Логарифмический потенциал

Потенциал площади

На плоскости объёмным логарифмическим потенциалом (или потенциалом площади) называется интеграл вида

$V(M)=\int \limits _{D}\rho (Q)\ln {\frac {1}{R_{QM}}}d\sigma _{Q}$.

Если плотность $\rho (M)$ непрерывна вместе со своими первыми производными, то объёмный потенциал является классическим решением уравнения Пуассона:

${\Delta }V=-{2\pi \rho }$

Логарифмический потенциал простого слоя

В двумерном случае потенциалом простого слоя называется интеграл:

$V(M)=\int \limits _{C}\mu (P)\ln {\frac {1}{R_{MP}}}dl_{P}$,

где $C$ — некоторая кривая.

Логарифмический потенциал двойного слоя

Потенциалом двойного слоя на плоскости называется интеграл:

$W(M)=-\int \limits _{C}\nu (P){\frac {\partial }{\partial n_{P}}}\ln {\frac {1}{R_{MP}}}dl_{P}$,

где $\mathbf {n} _{P}$ — внешняя нормаль к кривой $C$ в точке $P$. В случае незамкнутой кривой направление внешней нормали выбирается произвольно.

Трёхмерные потенциалы

Объёмный потенциал

Пусть в ограниченной области $D$ задана функция $\rho (M)$, интеграл

$V(M)=\int \limits _{D}{\frac {\rho (Q)}{R_{QM}}}dV$

называется объёмным потенциалом.

Функция ${\frac {1}{R_{QM}}}$ представляет собой, определённый во всех точках $M\neq Q$ потенциал единичного точечного заряда, сосредоточенного в точке $Q$. Если в области $D$ непрерывно распределён заряд с объёмной плотностью $\rho (M)$, то в силу принципа суперпозиции естественно предполагать, что потенциал, создаваемый данным распределением объёмного заряда, выражается вышеприведённым интегралом. Функция $\rho (M)$ называется плотностью потенциала.

Если плотность $\rho (M)$ непрерывна вместе со своими первыми производными, то объёмный потенциал является классическим решением уравнения Пуассона:

${\Delta }V=-{4\pi \rho }$

Поверхностные потенциалы

Потенциал простого слоя

Потенциалом простого слоя в трёхмерном случае называется интеграл

$V(M)=\int \limits _{S}\mu (P){\frac {dS_{P}}{R_{MP}}},$

где $S$ — некоторая поверхность, $\mu (P)$ — функция, заданная на поверхности $S$, она называется плотностью потенциала простого слоя.

Свойства:

1. $\Delta V(M)=0,\forall M\notin S.$
2. $V=O\left({\frac {1}{r}}\right),r\rightarrow \infty .$
3. $V\in C(\mathbb {R} ^{3})$, если $S$ — гладкая поверхность, плотность $\mu (Q)$ — ограничена и непрерывна.
4. Пусть $S$ — замкнутая поверхность Ляпунова, ограничивающая область $D$, $P_{0}\in S$, $\mathbf {n} _{e}(P)$ — внешняя нормаль к поверхности $S$ в точке $P\in S$. Тогда разрыв потенциала при переходе через поверхность $S$ определяется следующими формулами:

$\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)(M)=\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)(P_{0})+2\pi \mu (P_{0}),$

$\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)(M)=\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)(P_{0})-2\pi \mu (P_{0}),$

$\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)(M)-\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)(M)=4\pi \mu (P_{0}).$

Потенциал двойного слоя

Потенциалом двойного слоя в трёхмерном случае называется интеграл:

$W(M)=-\int \limits _{S}\nu (P){\frac {\partial }{\partial n_{P}}}{\frac {1}{R_{MP}}}dS_{P},$

где $S$ — двусторонняя поверхность, $\mathbf {n} _{P}$ — внешняя нормаль к поверхности $S$ в точке $P$ (в том случае, когда поверхность $S$ незамкнута, внешняя нормаль выбирается произвольно), $\nu (P)$ — функция, заданная на поверхности $S$, она называется плотностью потенциала двойного слоя.

Выражение для потенциала двойного слоя также может быть переписано в виде:

$W(M)=\int \limits _{S}\nu (P){\frac {\cos \varphi }{R_{MP}^{2}}}dS_{P},$

где $\varphi$ — угол между внутренней нормалью к поверхности $S$ в точке $P$ и вектором $\mathbf {PM}$.

Свойства:

1. $\Delta W(M)=0,\forall M\notin S.$
2. $W=O\left({\frac {1}{r^{2}}}\right),r\rightarrow \infty .$
3. Пусть $S$ — поверхность Ляпунова. Потенциал двойного слоя с непрерывной и ограниченной плотностью $|\nu (P)|\leq C$ на поверхности $S$ существует, то есть является сходящимся несобственным интегралом при $M\in S$.
4. Пусть $S$ — замкнутая поверхность Ляпунова, ограничивающая область $D$, $P_{0}\in S$. Тогда разрыв потенциала двойного слоя при переходе через поверхность $S$ определяется следующими формулами:

$\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}W(M)=W(P_{0})+2\pi \nu (P_{0}),$

$\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}}W(M)=W(P_{0})-2\pi \nu (P_{0}),$

$\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}W(M)-\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}}W(M)=4\pi \nu (P_{0}).$

Литература

• И. М. Виноградов. Гармоническое пространство // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.
• Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Глава V. Уравнения эллиптического типа. Краевые задачи для уравнения Лапласа. // Лекции по математической физике. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. — С. 203. — 416 с. — ISBN 5-211-04899-7.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Глава IV. Уравнения эллиптического типа. // Уравнения математической физики. — 7-е изд. — М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. — С. 348. — 798 с. — ISBN 5-211-04843-1.
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.