Закон дисперсии

В гармоническом решении классического волнового уравнения фазовая скорость не зависит от волнового числа. Однако различные эффекты, возникающие в среде, могут приводить к появлению дополнительных членов в дифференциальном уравнении, описывающем распространение в этой среде волн. При подстановке в такое уравнение гармонической функции, можно увидеть, что она всё ещё является решением, но связь между частотой и волновым числом уже не линейная, что эквивалентно зависимости фазовой скорости от волнового числа.

Дисперсионные соотношения могут быть рассчитаны в рамках тех или иных моделей среды.

Экспериментально они не измеряются напрямую, но подлежат определению на основе анализа распространения волн. Например, закон дисперсии электромагнитной волны в некоторой среде можно получить на базе измерений частотной зависимости показателя преломления.

Дисперсия возникает, если фазовая скорость распространения волны зависит от её волнового числа, что имеет место, когда закон дисперсии нелинеен. Среда, в которой возникает дисперсия, называется дисперсионной или диспергирующей средой. Такой средой в частности является стекло. Можно показать, что нелинейное дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в стекле, приводит к зависимости показателя преломления от длины волны.

Дисперсия стекла и закон Снеллиуса приводят к возможности использования стеклянной призмы в качестве простейшего спектрального прибора (см. картинку).

Пусть имеется одномерная линейная цепочка атомов массой ${\displaystyle m}$, расстояние между ними ${\displaystyle d}$. Сместим ${\displaystyle n}$-й атом на малое расстояние ${\displaystyle u_{n}}$. Из-за малости отклонения сила взаимодействия атомов будет квазиупругой.

С учётом ближайших соседей, действующая на ${\displaystyle n}$-й атом смла запишется как

${\displaystyle F_{n}=-\beta (u_{n}-u_{n+1})-\beta (u_{n}-u_{n-1})=\beta (u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1}),}$

где ${\displaystyle \beta }$ — коэффициент. Уравнение движения для ${\displaystyle n}$-го атома имеет вид

${\displaystyle ma_{n}=F_{n}\quad \Longleftrightarrow \quad m{\cfrac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}=\beta (u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1})}$.

Его решение ищется в форме ${\displaystyle Ae^{i(kd-\omega t)}}$, где ${\displaystyle k}$ — волновое число, ${\displaystyle A=\,}$const, а ${\displaystyle \omega }$ — частота. Тогда

${\displaystyle -m\omega ^{2}=\beta (e^{ikd}+e^{-ikd}-2)=-2\beta (1-\cos kd)=-4\beta \sin ^{2}(kd/2),}$

откуда получается:

${\displaystyle \omega =\pm \omega _{m}\sin {kd/2},\,\,}$ где ${\displaystyle \,\,\omega _{m}=2{\sqrt {\beta /m}}}$.

Это и есть зависимость частоты от волнового числа, то есть закон дисперсии, для одноатомной цепочки.

В физике твёрдого тела закон дисперсии выражает связь между энергией электрона и его волновым вектором. Такие зависимости могут иметь достаточно сложный вид. На их основе рассчитывается эффективная масса электрона в разных квантовых состояниях.

В полупроводниках, в диапазоне энергий электрона ${\displaystyle E}$ вблизи минимума зона проводимости ${\displaystyle E_{c}}$ дисперсионное соотношение часто повторяет соответствующее выражение для случая вакуума, но с эффективной массой ${\displaystyle m^{*}}$ отличной от массы свободного электрона:

${\displaystyle E=E_{c}+\hbar ^{2}k^{2}/2m^{*}}$.

Однако при повышении энергии выражение значительно модифицируется.