Диэлектрическая восприимчивость

В общем случае, вещество не может поляризоваться мгновенно в ответ на приложенное электрическое поле, поэтому более общая формула содержит время:

${\displaystyle \mathbf {P} (t)=\varepsilon _{0}\int _{-\infty }^{t}\chi _{e}(t-t')\mathbf {E} (t')\,dt'.}$

Это значит, что поляризованность вещества является свёрткой электрического поля в прошлом и восприимчивости, зависящей от времени как ${\displaystyle \chi _{e}(\Delta t).}$ Верхний предел этого интеграла может быть расширен до бесконечности, если определить ${\displaystyle \chi _{e}(\Delta t)=0}$ для ${\displaystyle \Delta t<0.}$ Мгновенный ответ соответствует дельта-функции Дирака ${\displaystyle \chi _{e}(\Delta t)=\chi _{e}\delta (\Delta t)}$.

В линейной системе удобно использовать непрерывное преобразование Фурье и писать это соотношение как функцию частоты. Благодаря теореме о свёртке этот интеграл превращается в обычное произведение:

${\displaystyle \mathbf {P} (\omega )=\varepsilon _{0}\chi _{e}(\omega )\mathbf {E} (\omega ).}$

Эта зависимость диэлектрической восприимчивости от частоты приводит к дисперсии света в веществе.

Тот факт, что поляризация вследствие принципа причинности может зависеть только от электрического поля в прошлом (то есть ${\displaystyle \chi _{e}(\Delta t)=0}$ для ${\displaystyle \Delta t<0}$), налагает на восприимчивость ${\displaystyle \chi _{e}(0)}$ ограничения, называемые соотношениями Крамерса — Кронига.

В анизотропных кристаллах восприимчивость характеризуется тензором ${\displaystyle \chi _{ij}}$, так что связь между вектором поляризации и вектором напряжённости электрического поля выражается как:

${\displaystyle P_{i}=\chi _{ij}E_{j}}$

где по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Из закона сохранения энергии можно вывести, что тензор ${\displaystyle \chi _{ij}}$ симметричен:

${\displaystyle \chi _{ij}=\chi _{ji}}$

В изотропных кристаллах недиагональные компоненты тензора тождественно равны нулю, а все диагональные равны между собой.