Скаляр

Термин «скаляр» употребляется (иногда просто как синоним числа) в векторном исчислении, где скаляр противополагается вектору. В математике под «числами» могут подразумеваться элементы произвольного поля, тогда как в физике имеются в виду действительные или комплексные числа. О функции, принимающей скалярные значения, говорят как о скалярной функции.

В тензорном исчислении скалярами являются тензоры валентности (0,0).

В векторной алгебре величины, значения которых могут быть изображены положительными или отрицательными числами (скалярами), называются скалярными (масса, температура, работа и др.). Величины, значения которых определяются как размерами, так и направлением в пространстве, называются векторными (сила, скорость, ускорение и др.) и могут быть изображены векторами^[3].

Поле называется скалярным, если рассматриваемая величина скалярна, то есть вполне характеризуется своим числовым значением. Например, поле температур. Скалярное поле задаётся скалярной функцией точки ${\displaystyle u=f(M)}$. Если в пространстве введена декартова система координат, то ${\displaystyle u}$ есть функция трёх переменных ${\displaystyle x,y,z}$ — координат точки ${\displaystyle M}$: ${\displaystyle u=f(x,y,z)}$.

Поверхностью уровня скалярного поля называется множество точек, в которых функция ${\displaystyle f(M)}$ принимает одно и то же значение. Уравнение поверхности уровня ${\displaystyle f(x,y,z)=c=const}$.

Скалярное поле называется плоским, если во всех плоскостях, параллельных некоторой плоскости, поле одно и то же. Если указанную плоскость принять за плоскость ${\displaystyle xOy}$, то функция· поля не будет зависеть от координаты ${\displaystyle z}$, то есть будет функцией только аргументов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$: ${\displaystyle u=f(x,y)}$. Плоское поле можно характеризовать с помощью линий уровня — множества точек плоскости, в которых функция ${\displaystyle f(x,y)}$ имеет одно и то же значение. Уравнение линии уровня — ${\displaystyle f(x,y)=c=const}$^[4].

Произведением скаляра ${\displaystyle \alpha }$ и вектора ${\displaystyle {\bar {a}}}$ называется вектор, коллинеарный с вектором ${\displaystyle {\bar {a}}}$; длина которого равна произведению модулей сомножителей, а направление совпадает с направлением вектора ${\displaystyle {\bar {a}}}$, если ${\displaystyle \alpha >0}$, и противоположно направлению вектора ${\displaystyle {\bar {a}}}$, если ${\displaystyle \alpha <0}$^[5].

Скалярным произведением векторов ${\displaystyle {\vec {a}}}$ и ${\displaystyle {\vec {b}}}$ называется скаляр — результат произведения длин этих векторов, приведённых к общему началу, на косинус угла между ними^[6].

Скалярное произведение векторов ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ равно произведению ${\displaystyle |\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta )}$

Каждый вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$ в пространстве может быть единственным образом разложен на сумму векторов, параллельным ортам ${\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}}$:

${\displaystyle {\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}}$, где скаляры ${\displaystyle a_{x},a_{y},a_{z}}$ называются прямоугольными декартовыми координатами вектора ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$.

Разложение вектора ${\displaystyle {\vec {a}}}$ по базису

В современной физике, подразумевающей пространственно-временной подход, под скаляром обычно имеется в виду скалярное поле, то есть пространственно-временной скаляр, лоренц-инвариантная величина, не меняющаяся при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (а в общей теории относительности и других метрических теориях гравитации — скаляр остаётся неизменным также и при переходе к неинерциальным системам отсчёта). В этом отличие от ньютоновской физики, где под скаляром понимается обычный скаляр обычного трёхмерного пространства (так, энергия в ньютоновском смысле — скаляр, а в пространственно-временном — лишь компонента четырёхмерного вектора).

Создавая свою алгебру, Виет рассматривал не только длины, площади, объёмы, но и величины, не имеющие геометрического смысла: квадрато-квадрат, квадрато-куб и т. д.. Эти восходящие степени образуют шкалу — лестницу; а величины Виет назвал скалярами — «ступеньками». В таком смысле слово «скаляр» впервые вошло в математику.

Современный термин скалярная величина (в отличие от векторной) придумал Гамильтон, образовав его от того же латинского слова «scale» — шкала, лестница (1843)^[7].