Уравнение Кортевега — де Фриза

Уравне́ние Кортеве́га — де Фри́за (уравнение КдФ; также встречается написание де Вриза, де Вриса, де Фриса, Де Фриса; англ. Korteweg–de Vries equation) — нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в основном гидродинамического происхождения. Впервые было получено Жозефом Буссинеском в 1877 году, но подробный анализ был проведён уже Дидериком Кортевегом и Густавом де Врисом в 1895 году.

Уравнение имеет вид:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+6u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}=0$.

Решения

Для уравнения Кортевега — де Фриза найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В том числе данное уравнение имеет решения солитонного типа следующего вида:

$u\left(x,t\right)={\frac {2\kappa ^{2}}{\operatorname {ch} ^{2}\left[\kappa \left(x-4\kappa ^{2}t-x_{0}\right)\right]}}$,

где $\kappa$ — свободный параметр, определяющий высоту и ширину солитона, а также его скорость; $x_{0}$ — также произвольная константа, зависящая от выбора начала отсчёта оси x. Особое значение солитонам придаёт тот факт, что любое начальное возмущение, экспоненциально спадающее на бесконечности, с течением времени эволюционирует в конечный набор солитонов, разнесённых в пространстве. Точный поиск этих решений может быть проведён регулярным образом при помощи метода обратной задачи рассеяния.

Периодические решения уравнения Кортевега — де Фриза имеют вид кноидальных волн, описываемых эллиптическими интегралами:

$x-ct-x_{0}=\int \left(2E+cu^{2}-2u^{3}\right)^{-{\frac {1}{2}}}du$

где c, E — параметры волны, определяющие её амплитуду и период.

Также уравнение Кортевега — де Фриза допускает автомодельные решения, которые в общем случае могут быть получены при помощи преобразований Беклунда и выражаются через решения уравнения Пенлеве.

Интегралы движения и представление Лакса

Уравнение Кортевега — де Фриза имеет важное значение для теории интегрируемых систем как один из простейших примеров точно решаемого нелинейного дифференциального уравнения. Интегрируемость обеспечивается наличием у уравнения бесконечного количества интегралов движения, имеющих вид

$I_{n}=\int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}(u,\,\partial _{x}u,\,\partial _{x}^{2}u,\,\ldots )\,{\text{d}}x\,$

где $P_{n}$ — полиномы n-ой степени от неизвестной функции и её пространственных производных, заданные рекурсивно следующим образом:

${\begin{aligned}P_{1}&=u,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1}^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i},\quad n\geq 2.\end{aligned}}$

Их можно получить, воспользовавшись представлением Лакса

${\frac {dL}{dt}}=[P,L]$

посредством пары операторов

${\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+u,\\P&=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}.\end{aligned}}$

Более того, можно показать, что уравнение Кортевега — де Фриза имеет бигамильтонову структуру.

Несколько первых интегралов движения:

• масса $\int u\,{\text{d}}x,$
• импульс $\int u^{2}\,{\text{d}}x,$
• энергия $\int \left[2u^{3}-\left(\partial _{x}u\right)^{2}\right]\,{\text{d}}x.$

Обобщения

При наличии диссипации уравнение Кортевега — де Фриза переходит в уравнение Бюргерса — Кортевега — де Фриза, имеющее вид

${\frac {\partial u}{\partial t}}+6u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

где параметр $\nu$ характеризует величину диссипации.

В двумерной геометрии обобщением уравнения Кортевега — де Фриза является так называемое уравнение Кадомцева — Петвиашвили, имеющее вид:

${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+6u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}\right)=\pm {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}$

Литература

• Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы. I. — Динамические системы — 4, Итоги науки и техн. — М.: ВИНИТИ, 1985. — Т. 4. — С. 179—284. — (Совр. пробл. математики. Фундаментальные направления).
• Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: метод обратной задачи. — 1980. — 319 с.
• Кортевега — де Фриса уравнение — статья из Физической энциклопедии
• Дж. Уизем. 13.11. Уравнение Кортевега — де Фриза и Буссинеска // Линейные и нелинейные волны. — Мир, 1977. — С. 443—448. — 622 с.
• Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — 1989. — 326 с.