Лагранжиан

Понятие функции Лагранжа было первоначально введено для переформулировки классической механики в виде, известном как лагранжева механика. В этом контексте функция Лагранжа обычно берётся в виде разности кинетической и потенциальной энергии механической системы.

Пусть размерность пространства равна трём и функция Лагранжа записана в виде

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,m{\dot {\vec {x}}}^{2}-V({\vec {x}}),}$

где производная по времени обозначается точкой над дифференцируемой величиной, ${\displaystyle {\vec {x}}}$ — радиус-вектор частицы, ${\displaystyle m}$ — её масса и ${\displaystyle V}$ — потенциальная энергия. Тогда уравнение Эйлера — Лагранжа будет иметь

${\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V=0,}$

где ${\displaystyle \nabla V}$ — градиент.

Используя этот результат, можно легко показать, что этот подход эквивалентен подходу Ньютона. Запишем силу ${\displaystyle F}$ в терминах потенциала ${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla V(x)}$, тогда мы получим уравнение ${\displaystyle {\vec {F}}=m{\ddot {\vec {x}}}}$, которое аналогично уравнению Ньютона с постоянной массой. Простые вычисления приведут нас к выражению ${\displaystyle {\vec {F}}=d{\vec {p}}/dt}$, которое является вторым законом Ньютона в его обобщённой форме.

Для трёхмерной системы со сферическими координатами ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle \varphi }$ с лагранжианом

${\displaystyle {\frac {m}{2}}\,({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})-V(r)}$

можно получить следующие уравнения Эйлера-Лагранжа:

${\displaystyle m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})+V'=0,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta \,{\dot {\varphi }}^{2}=0,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }})=0.}$

Классический (не квантовый, кроме прочего, игнорирующий спин) лагранжиан свободной частицы в теории относительности совпадает (с точностью до знака) со скоростью роста длины её мировой линии в пространстве Минковского (то есть со скоростью изменения собственного времени), умноженной на массу частицы ${\displaystyle m}$ и на квадрат скорости света ${\displaystyle c}$:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},}$

где ${\displaystyle v}$ — обычная трёхмерная скорость частицы.

Из этого лагранжиана следует классическая динамика релятивистских частиц (релятивистская динамика).

• В классической и квантовой теории поля делают различие между лагранжианом L, через который действие выражается как интеграл только по времени

${\displaystyle S=\int {L\,dt},}$

и плотностью лагранжиана ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, которую нужно интегрировать по всему четырёхмерному (а в некоторых теориях и более многомерному) пространству-времени:

${\displaystyle S[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x)]\,d^{4}x}.}$

Тогда лагранжиан — это интеграл по пространственным переменным от плотности лагранжиана.

• В последнее время плотность лагранжиана ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ часто называют просто лагранжианом; это полезно в релятивистских теориях, поскольку он определён локально. Такое определение терминов, очевидно, альтернативно приведённому в начале параграфа. Нередко также при этом вводят различие между лагранжианом и функцией Лагранжа, понимая под последней интеграл от лагранжиана по пространству.

Оба определения лагранжиана можно получить как специальные случаи общего определения, в зависимости от того, включены пространственные переменные ${\displaystyle {\vec {x}}}$ в индекс ${\displaystyle i}$ или в параметры ${\displaystyle s}$ в ${\displaystyle \varphi _{i}(s)}$. Квантовые теории поля в физике элементарных частиц, такие как квантовая электродинамика, обычно описываются в терминах ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$. Эта форма удобна, так как быстро переводится в правила, используемые для оценки диаграмм Фейнмана.

В этом разделе речь идёт о чисто классической (не квантовой) электродинамике (квантовоэлектродинамический лагранжиан описан в следующих разделах), в особенности сказанное касается заряженного вещества, с которым взаимодействует электромагнитное поле — то есть и члена взаимодействия, и лагранжиана собственно вещества (лагранжиан же свободного электромагнитного поля в целом один и тот же в классической и квантовой теории).

Электростатика — физика статических (то есть постоянных) электрических полей, которые можно (приближённо или точно) описать скалярным^[1] потенциалом, и достаточно медленно движущегося заряженного вещества, подчиняющегося таким образом ньютоновской механике.

В классической механике лагранжиан есть

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V,}$

где ${\displaystyle T}$ — кинетическая энергия и ${\displaystyle V}$ — потенциальная энергия.

Для заряженной частицы массой ${\displaystyle m}$ и зарядом ${\displaystyle q}$, находящейся в электрическом (электростатическом) поле со скалярным потенциалом ${\displaystyle \varphi \ }$, кинетическая энергия задаётся выражением

${\displaystyle T_{s}={1 \over 2}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }$ — для одной частицы (для многих берётся сумма).

Энергия взаимодействия поля с заряженным веществом выглядит как

${\displaystyle V=q\varphi \ }$ для одного точечного заряда (для многих суммируется),

или

${\displaystyle V=\int \rho \varphi \ dxdydz}$ — в виде для непрерывного распределения заряда.

(Тот и другой вид оказывается полезно выписать отдельно, хотя, конечно, они друг к другу сводятся, если использовать дельта-функцию). Энергия поля входит в член кинетической энергии наряду с кинетической энергией частиц^[2], записываясь как:

${\displaystyle T_{f}=\int {1 \over 2\varkappa }(\nabla \varphi )^{2}dxdydz,}$

где ${\displaystyle \varkappa }$ — «силовая константа», входящая в конечном итоге в закон Кулона.

Таким образом, лагранжиан электростатики, включающий в себя и кинетическую энергию (медленного) движения заряженных частиц, таков:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T_{f}-V+T_{s},}$

(каждый член его выписан выше).

• Естественно, этот лагранжиан может быть при необходимости дополнен другими членами, описывающими неэлектрические силы, например, энергией упругости и т. д.

Проварьировав действие с описанным в этом параграфе лагранжианом^[3], легко получить уравнение поля для электростатики (уравнение Пуассона):

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-\varkappa \rho }$

и уравнение движения частицы в электростатическом поле (в целом совпадающее с полученным в примере для классической частицы в начале статьи):

${\displaystyle m{\dot {\mathbf {v} }}=-q\nabla \varphi .}$

В случае электродинамики приходится пользоваться уже не классической потенциальной энергией, а обобщённой (зависящей и от скоростей) потенциальной энергией (энергией взаимодействия):

${\displaystyle V=q\varphi -{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} ,}$

или

${\displaystyle V=\int (\rho \varphi -{1 \over c}\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} )dxdydz,}$

где ${\displaystyle c}$ — скорость света, ${\displaystyle v}$ — скорость частицы, j — вектор плотности тока, А — векторный потенциал.

Энергия электромагнитного поля также должна включать по сравнению со случаем электростатики ещё и энергию магнитного поля^[4]:

${\displaystyle T_{f}=\int {\frac {1}{2\varkappa }}(E^{2}-H^{2})dxdydz,}$

где векторы напряжённости электрического поля E и напряжённости магнитного поля H следует считать выраженными через скалярный потенциал ${\displaystyle \varphi }$ и векторный потенциал А:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}$

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {rot} \mathbf {A} .}$

Тогда электромагнитный лагранжиан запишется в виде

${\displaystyle L=T_{f}-q\varphi +{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} +T_{s}.}$

или

${\displaystyle L=T_{f}+\int (-\rho \varphi +{\frac {\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} }{c}})dxdydz+T_{s}.}$

Здесь в качестве лагранжиана вещества ${\displaystyle T_{s}}$ можно использовать приближённое выражение для медленных частиц, как описано в параграфе об электростатике, а можно использовать (так как для электродинамики, не ограничивающейся медленными движениями, это, вообще говоря, актуально) релятивистский лагранжиан для быстрых частиц

${\displaystyle T_{s}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}$

Как и в случае электростатики, при необходимости к этому лагранжиану могут быть дописаны дополнительные члены, описывающие неэлектромагнитные силы, другие поля и т. д., что, впрочем, выходит за рамки задачи описания электромагнитного лагранжиана. Строго говоря, выписывание кинетической энергии вещества тоже выходит за эти рамки, однако мы выписали его, чтобы описание сохраняло целостность.

При варьировании действия с этим лагранжианом по φ и по ${\displaystyle A_{x},A_{y},A_{z}}$ (независимо по каждому, используя вторую форму записи лагранжиана), получаются уравнения Максвелла, а при варьировании по координатам заряженных частиц — используя первую форму записи — уравнения движения заряженных частиц в поле, сводящемуся к:

${\displaystyle d\mathbf {p} /dt=\mathbf {F} _{L},}$

где p — (трёхмерный) импульс частицы, ${\displaystyle \mathbf {F} _{L}}$ — сила Лоренца (включая электрический член).

Однако проще и короче всего такой вывод получается в четырёхмерной формулировке (см. далее).

В четырёхмерной формулировке плотность лагранжиана электромагнитного поля, его взаимодействия с заряженным веществом и (для полноты картины) самого вещества выглядит так (при использовании системы единиц c = 1):

${\displaystyle L={\frac {1}{4\varkappa }}F_{ik}F^{ik}+A_{i}j^{i}+L_{s}.}$

Второй член (описывающий взаимодействие) можно переписать так, что соответствующее действие будет:

${\displaystyle S_{int}=-\int qA_{i}dx^{i}.}$

(Член ${\displaystyle L_{s}}$ — обычная плотность лагранжиана быстрой — в общем случае — частицы; явно её можно не выписывать, поскольку для классической теории она не нужна, так как для неё нужен лагранжиан такой частицы, выписанный как обычно — см. выше — а не его плотность).

Здесь ${\displaystyle F^{ik}}$ — тензор электромагнитного поля (в лагранжиан входит его свёртка — квадрат), ${\displaystyle A_{i}}$ — 4-потенциал, ${\displaystyle j^{i}}$ — четырёхмерная плотность тока, ${\displaystyle x^{i}}$ — 4-координата точки в области, в которой проводится интегрирование; подразумевается правило Эйнштейна суммирования по повторяющемуся индексу.

Варьированием по ${\displaystyle A_{i}}$ легко получаются уравнения Максвелла в четырёхмерной форме:

${\displaystyle \partial _{i}F^{ik}=\varkappa j^{k},}$

а варьированием по ${\displaystyle x^{i}}$ — уравнение движения для частицы:

${\displaystyle dp_{i}/d\tau =qF_{ik}u^{k},\,}$

где ${\displaystyle p_{i}=mu_{i}}$ — 4-импульс, ${\displaystyle u^{k}}$ — 4-скорость.

Лагранжиан квантовой теории поля (КТП) в принципе совпадает с классическим, за исключением случаев, когда для некоторой части полевых переменных затруднительно ввести классические аналоги или корректно проинтерпретировать их; впрочем, и тогда обычно можно, хотя бы чисто формально, получить то, что называется классическими уравнениями движения, использовав вместо той или иной процедуры квантования поля с данным лагранжианом приближение стационарной фазы (стационарного действия) — то есть найдя классическое приближение описания системы.

Таким образом, лагранжианы, выписанные ниже, не являются в определённом смысле специфичными только для квантовой теории соответствующих полей; тем не менее они используются в КТП, представляя в определённом отношении её основу.

Плотность лагранжиана для квантовой электродинамики (КЭД):

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i{D}\!\!\!\!/\ -m)\psi -{1 \over 4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu },}$

где ${\displaystyle \psi }$ — спинор (четырёхмерный), ${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ — его дираковское сопряжение, ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ — тензор электромагнитного поля, D — калибровочная ковариантная производная и ${\displaystyle {D}\!\!\!\!/\ }$ — обозначение Фейнмана для ${\displaystyle \gamma ^{\sigma }D_{\sigma }}$.

Плотность лагранжиана для дираковского поля

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i{\partial }\!\!\!/\ -m)\psi .}$

Плотность лагранжиана для квантовой хромодинамики^[5]

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{1 \over 4}F^{\alpha }{}_{\mu \nu }F_{\alpha }{}^{\mu \nu }-\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}({D}\!\!\!\!/_{\mu }\ +m_{n})\psi _{n},}$

где ${\displaystyle D_{\mu }}$ — калибровочная ковариантная производная КХД и ${\displaystyle F^{\alpha }{}_{\mu \nu }}$ — тензор напряжённости глюонного поля.

В классической механике необходимым и достаточным условием существования и единственности уравнения Лагранжа является ${\displaystyle det\left\|{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{k}}}\right\|_{j,k=1}^{n}\neq 0}$^[6].