Третья краевая задача

Задача Робена, задача Ньютона, третья краевая задача, задача импедансного типа — разновидность краевой задачи для дифференциальных уравнений. Названа в честь французского математика Виктора Робена и британского физика Исаака Ньютона.

Постановка задачи

В самом общем виде задача ставится следующим образом: решить дифференциальное уравнение в частных производных, вида

$Lu=f(\mathbf {x} )$ в области $\Omega$

При граничных условиях следующего вида:

$\left.\left(au+b{\frac {\partial u}{\partial \mathbf {n} }}\right)\right|_{\partial \Omega }=g(\mathbf {x} )$

Такая задача называется третьей краевой задачей.

Физическая интерпретация

Поскольку третьи краевые задают связь между искомой функцией и её нормальной производной на границе области, то в зависимости от решаемой задачи используются разные способы задания и интерпретации третьих краевых:

• Для уравнения теплопроводности задаются в виде $-\lambda {\frac {\partial u}{\partial \mathbf {n} }}=\beta (u-u_{\beta }(\mathbf {x} ))$ — теплообмен по закону Ньютона-Рихмана.
• Для скалярных уравнений, получаемых из уравнений Максвелла, задаётся в похожем виде $-\mu ^{-1}{\frac {\partial E}{\partial \mathbf {n} }}=\beta (E-u_{\beta }(\mathbf {x} ))$ (если уравнение относительно напряжённости электрического поля) и означает связь между электрическим и магнитным полем на границе области.
• Для векторных уравнений, получаемых из уравнений Максвелла записать третьи краевые, с учётом связи $\mathbf {H} =\mu ^{-1}\nabla \times \mathbf {E}$, можно следующим образом:

$-\mathbf {E} \times \mathbf {n} +\sigma (\mathbf {H} \times \mathbf {n} )\times \mathbf {n} =Q(\mathbf {E} \times \mathbf {n} +\sigma (\mathbf {H} \times \mathbf {n} )\times \mathbf {n} )+\mathbf {g} =0$

Аналитическое решение

Аналитическое решение третьей краевой задачи можно найти с помощью теории потенциала.

Численное решение

В каждом численном методе решения дифференциальных уравнений свои особенности учёта третьих краевых, например:

• В методе конечных разностей строится разностная схема вида $au_{i}+Ru_{i}=g(\mathbf {x} _{i})$, где $R$ — разностный оператор и полученное уравнение добавляется в систему.
• В методе конечных элементов третьи краевые являются естественными и учитываются на уровне вариационной постановки, получаются добавки в матрицу и в правую части:

$\int _{\partial \Omega }{\beta \varphi _{i}(\mathbf {x} )\varphi _{j}(\mathbf {x} )dx}$ — добавка в $i$-й, $j$-й элемент матрицы;

$\int _{\partial \Omega }{\beta u_{\beta }(\mathbf {x} )\varphi _{i}(\mathbf {x} )dx}$ — добавка в $i$-й элемент правой части.

См. также

• Задача Дирихле
• Задача Неймана