Давление электромагнитного излучения

Впервые гипотеза о существовании светового давления была высказана И. Кеплером в XVII веке для объяснения поведения хвостов комет при пролёте их вблизи Солнца. В 1873 г. Максвелл дал теорию давления света в рамках своей классической электродинамики. Экспериментально световое давление впервые исследовал П. Н. Лебедев в 1899 г. В его опытах в вакуумированном сосуде на тонкой серебряной нити подвешивались крутильные весы, к коромыслам которых были прикреплены тонкие диски из слюды и различных металлов. Главной сложностью было выделить световое давление на фоне радиометрических и конвективных сил (сил, обусловленных разностью температуры окружающего газа с освещённой и неосвещённой стороны). Кроме того, поскольку в то время не были разработаны вакуумные насосы, отличные от простых механических, Лебедев не имел возможности проводить свои опыты в условиях даже среднего, по современной классификации, вакуума.

Путём попеременного облучения разных сторон крылышек Лебедев нивелировал радиометрические силы и получил удовлетворительное (±20 %) совпадение с теорией Максвелла. Позднее, в 1907—1910 гг., Лебедев провёл более точные опыты по изучению давления света в газах и также получил приемлемое согласие с теорией^[2].

Для вычисления давления света при нормальном падении излучения и отсутствии рассеяния можно воспользоваться следующей формулой:

${\displaystyle p={\frac {I}{c}}(1-k+\rho )}$,

где ${\displaystyle I}$ — интенсивность падающего излучения; ${\displaystyle c}$ — скорость света, ${\displaystyle k}$ — коэффициент пропускания, ${\displaystyle \rho }$ — коэффициент отражения.

Давление солнечного света на перпендикулярную свету зеркальную поверхность, находящуюся в космосе в районе Земли, легко рассчитать через плотность потока солнечной (электромагнитной) энергии на расстоянии одной астрономической единицы от Солнца (солнечная постоянная). Оно составляет около 9 мкН/м²=9 микропаскалей, или 9⋅10⁻¹¹ атм^[3].

Если свет падает под углом θ к нормали, то силу, действующую на единицу поверхности площадки можно выразить формулой:

${\displaystyle {\vec {F}}=w((1-k){\vec {i}}-\rho \,{\vec {i'}})\cos \theta }$,

где ${\displaystyle w}$ — объёмная плотность энергии излучения, ${\displaystyle k}$ — коэффициент пропускания, ${\displaystyle \rho }$ — коэффициент отражения, ${\displaystyle {\vec {i}}}$ — единичный вектор в направлении падающего пучка, ${\displaystyle {\vec {i'}}}$ — единичный вектор в направлении отражённого пучка.

Например, тангенциальная составляющая силы давления света на единичную площадку будет равна

${\displaystyle {f_{\tau }}\,=w((1-k)\sin \theta -\rho \sin \theta )\cos \theta =w(1-k-\rho )\sin \theta \cos \theta }$.

Нормальная составляющая силы давления света на единичную площадку будет равна

${\displaystyle {f{n}}\,=w((1-k)\cos \theta -\rho (-\cos \theta ))\cos \theta =w(1-k+\rho )\cos ^{2}\theta }$.

Отношение нормальной и тангенциальной составляющих равно

${\displaystyle {\frac {f{n}}{f{\tau }}}={\frac {1-k+\rho }{1-k-\rho }}{\rm {ctg\,}}\theta }$.

Если рассеяние света поверхностью и при пропускании, и при отражении подчиняется закону Ламберта, то при нормальном падении давление будет равно:

${\displaystyle p={\frac {I}{c}}(1+{\frac {2}{3}}(A-K))}$

где ${\displaystyle I}$ — интенсивность падающего излучения, ${\displaystyle K}$ — коэффициент диффузного пропускания, ${\displaystyle A}$ — альбедо.

Найдём импульс, уносимый электромагнитной волной от ламбертова источника. Полная светимость ламбертова источника, как известно, равна

${\displaystyle E=\pi B_{n}}$,

где ${\displaystyle B_{n}}$ — сила света в направлении нормали.

Отсюда сила света под произвольным углом ${\displaystyle \theta }$ к нормали, по закону Ламберта, равна

${\displaystyle B=B_{n}\cos \theta ={\frac {E}{\pi }}\cos \theta }$.

Энергия, излучаемая в элемент телесного угла, имеющий вид сферического кольца, равна

${\displaystyle dE=Bd\Omega =({\frac {E}{\pi }}\cos \theta )d\Omega =({\frac {E}{\pi }}\cos \theta )(2\pi \sin \theta d\theta )=2E\cos \theta \sin \theta d\theta }$.

Для определения импульса, уносимого излучением, нужно учитывать только его нормальную составляющую, так как в силу поворотной симметрии все тангенциальные составляющие взаимно компенсируются:

${\displaystyle dp={\frac {dE}{c}}\cos \theta }$.

Отсюда

${\displaystyle p=\int {\frac {dE}{c}}\cos \theta ={\frac {2E}{c}}\int \limits _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}\theta \sin \theta \,d\theta ={\frac {2E}{c}}\int \limits _{\pi /2}^{0}\cos ^{2}\theta \,d\cos \theta ={\frac {2E}{c}}\int \limits _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {2}{3}}{\frac {E}{c}}}$.

Для рассеянного обратно излучения ${\displaystyle E=AI}$ и ${\displaystyle p={\frac {2}{3}}A{\frac {I}{c}}}$.

Для излучения, прошедшего сквозь пластинку, ${\displaystyle E=KI}$ и ${\displaystyle p=-{\frac {2}{3}}K{\frac {I}{c}}}$ (минус возникает из-за того, что это излучение направлено вперёд).

Складывая давление, создаваемое падающим и обоими видами рассеянного излучения, получаем искомое выражение.

В случае, когда отражённое и пропущенное излучение является частично направленным и частично рассеянным, справедлива формула:

${\displaystyle p={\frac {I}{c}}(1+\rho -k+{\frac {2}{3}}(A-K))}$

где I — интенсивность падающего излучения, k — коэффициент направленного пропускания, K — коэффициент диффузного пропускания, ρ — коэффициент направленного отражения, A — альбедо рассеяния.

Изотропный фотонный газ, имеющий плотность энергии u, оказывает давление:

${\displaystyle p={\frac {1}{3}}u}$

В частности, если фотонный газ является равновесным (излучение абсолютно чёрного тела) с температурой T, то его давление равно:

${\displaystyle p=\left({\frac {\pi ^{2}k^{4}}{45c^{3}\hbar ^{3}}}\right)T^{4}={\frac {4}{3c}}\sigma T^{4}}$

где σ — постоянная Стефана — Больцмана.

Давление электромагнитного излучения является следствием того, что оно, как и любой материальный объект, обладающий энергией E и движущийся со скоростью v, также обладает импульсом p = Ev/c². А поскольку для электромагнитного излучения v = c, то p = E/c.

В электродинамике давление электромагнитного излучения описывается тензором энергии-импульса электромагнитного поля.

Если рассматривать свет как поток фотонов, то, согласно принципам классической механики, частицы при ударе о тело должны передавать ему импульс, другими словами — оказывать давление.

С точки зрения волновой теории света электромагнитная волна представляет собой изменяющиеся и взаимосвязанные во времени и пространстве колебания электрического и магнитного полей. При падении волны на отражающую поверхность электрическое поле возбуждает токи в приповерхностном слое, на которые действует магнитная составляющая волны. Таким образом, световое давление есть результат сложения многих сил Лоренца, действующих на частицы тела.

Возможными областями применения являются солнечный парус и разделение газов^[2], а в более отдалённом будущем — фотонный двигатель.

Начиная с конца XX века широко обсуждается возможность ускорения световым давлением, создаваемым сверхсильными лазерными импульсами, тонких (толщиной от 5 до 10 нм) металлических плёнок с целью получения высокоэнергичных протонов^[6].