Математический анализ

Предшественниками математического анализа были античный метод исчерпывания, восходящий к Евдоксу и Архимеду, и метод неделимых Кавальери (1635). Их роднит общая идея: разложение фигуры или величины на бесконечно малые элементы, природа которых, впрочем, оставалась неясной^[3].

Алгебраический подход к исчислению бесконечно малых складывается у Валлиса, Джеймса Грегори и Барроу, который уже располагал геометрической формой связи между задачами о касательной и о площади^[4].

Новое исчисление как систему создал Исаак Ньютон (метод флюксий, около 1665—1666), однако долгое время не публиковал своих результатов^[5]. Официальной датой рождения дифференциального исчисления считается май 1684 года, когда Лейбниц опубликовал статью «Новый метод максимумов и минимумов…»^[6]. Ньютон исходил из представления о непрерывно текущих величинах, Лейбниц — из алгебры дифференциалов; предложенные Лейбницем обозначения ${\displaystyle dx}$ и ${\displaystyle \int }$ оказались настолько удачными, что употребляются до сих пор.

Спор о приоритете, разгоревшийся между сторонниками обоих учёных, привёл к обособлению английской математической школы, надолго задержавшему её развитие^[7].

В конце XVII века вокруг Лейбница складывается кружок, виднейшими представителями которого были братья Якоб и Иоганн Бернулли и Лопиталь. В 1696 году, опираясь на лекции Иоганна Бернулли, Лопиталь издал первый учебник — «Анализ бесконечно малых», давший название всему разделу^[8][9].

Изложение опиралось на понятие переменных величин, связанных между собой посредством плоской кривой; понятие функции ещё отсутствовало — вместо него говорилось, что «известна природа кривой». Дифференциал определялся как «бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина», а рассуждения опирались на два требования, игравшие роль аксиом: величины, отличающиеся на бесконечно малую, можно заменять одна другой, а кривую можно рассматривать как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямолинейных отрезков.

Из первого требования выводились правила дифференцирования; например,

${\displaystyle d(xy)=(x+dx)(y+dy)-xy=x\,dy+y\,dx+dx\,dy=x\,dy+y\,dx,}$

поскольку произведение ${\displaystyle dx\,dy}$ отбрасывается как бесконечно малая высшего порядка. В последней главе книги изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя.

Интегральное исчисление в школе Лейбница изложил Иоганн Бернулли в «Математических лекциях о методе интеграла», где дан способ вычисления большинства элементарных интегралов и приведены методы решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Термин «функция» появляется у Лейбница в 1692 году, но на первые роли его выдвинул Леонард Эйлер. В «Введении в анализ бесконечных» (1748) он определил функцию как аналитическое выражение, составленное из переменной и постоянных^[10]. Такая трактовка позволяла свободно обращаться с многозначными функциями и не требовала указывать, над каким полем рассматривается выражение.

Операции допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное вводилось через «бесконечно большое число». Например, экспонента записывалась как

${\displaystyle e^{x}=\left(1+{\frac {x}{\infty }}\right)^{\infty },}$

в чём лишь позднейшие авторы усмотрели предельный переход. Пользуясь такой техникой, Эйлер вывел разложения элементарных функций в ряды и бесконечные произведения, а также получил свою знаменитую формулу

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

Эйлер обнаружил, что все элементарные функции выражаются через арифметические действия, логарифм и экспоненту, и подробно исследовал трансцендентные функции. В интегральном исчислении он ввёл ряд новых функций — гамма-функцию, эллиптические функции; строгое доказательство их неэлементарности дали позднее Якоби и Лиувилль.

Вместе с тем свободное обращение с бесконечно большими и бесконечно малыми величинами оставалось необоснованным. Утверждение Эйлера, что «бесконечно малое количество есть точно нуль», не удовлетворяло уже современников^[11].

Стремясь избавиться от бесконечно малых, Лагранж в «Теории аналитических функций» (1797) положил в основу разложение в ряд

${\displaystyle f(x+h)=f(x)+ph+qh^{2}+\ldots ,}$

назвав коэффициент ${\displaystyle p}$ производной и обозначив его ${\displaystyle f'(x)}$. Так понятие производной вводилось без обращения к бесконечно малым; отсюда же ${\displaystyle q={\tfrac {1}{2!}}f''(x)}$ и далее. Лагранж впервые поставил вопрос об оценке точности приближения частными суммами и вывел формулу Тейлора с остаточным членом в форме, носящей его имя^[12].

Однако предпосылка Лагранжа — что всякая функция анализа разлагается в степенной ряд — оказалась неверной. Коши привёл контрпример: функция

${\displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}},\qquad f(0)=0,}$

бесконечно дифференцируема на всей прямой, но её ряд Маклорена тождественно равен нулю и потому не сходится к ${\displaystyle f}$ ни в одной точке, кроме нуля. Возражение Пуассона, что здесь функция задана не единым выражением, снял Прингсхайм (1893), построив заданную единой формулой бесконечно дифференцируемую функцию с расходящимся рядом Маклорена^[13][14].

Решающий шаг к строгости сделал Огюстен Луи Коши. В «Курсе анализа» (1821) и «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых» (1823) он положил в основу всего построения понятие предела, определив через него непрерывность, производную и интеграл^[15].

У Коши бесконечно малая перестала быть загадочной «актуально малой величиной» и стала переменной, стремящейся к нулю. Производная определялась как предел разностного отношения, а определённый интеграл — как предел интегральных сумм, причём Коши первым доказал существование этого предела для непрерывной функции. Он же доказал теорему о среднем значении, установил признаки сходимости рядов и ввёл понятие абсолютной сходимости^[16].

Вместе с тем у Коши ещё не различались равномерная и поточечная сходимость, из-за чего в «Курсе анализа» содержится ошибочное утверждение о том, что сумма сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна. Ошибку обнаружил Абель в 1826 году, указав контрпример; понятие равномерной сходимости ввели независимо Стокс, Зейдель и Вейерштрасс.

Бернхард Риман в работе 1854 года о тригонометрических рядах дал общее определение определённого интеграла через верхние и нижние суммы и получил критерий интегрируемости, распространив понятие интеграла на функции с бесконечным числом точек разрыва^[17].

Наибольший вклад в строгость внёс Карл Вейерштрасс. Полагая геометрическую наглядность ненадёжным основанием, он в лекциях 1860—1880-х годов провёл арифметизацию анализа: свёл все понятия к арифметике вещественных чисел и предложил современное определение предела на языке ε—δ. Он же построил строгую теорию вещественного числа и доказал ряд основополагающих теорем — о промежуточном значении, о достижении непрерывной функцией точных граней на отрезке, о равномерной аппроксимации непрерывной функции многочленами (теорема Вейерштрасса)^[18].

Особую роль сыграл построенный Вейерштрассом (1872) пример непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции

${\displaystyle W(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a^{k}\cos \left(b^{k}\pi x\right),\qquad 0<a<1,}$

при подходящем выборе ${\displaystyle b}$. Этот и подобные ему примеры показали, что геометрическая интуиция обманчива, и окончательно утвердили необходимость строгих определений.

Работы Дедекинда и Кантора (1872) завершили построение теории вещественного числа, а созданная Кантором теория множеств дала анализу общий язык. В начале XX века Анри Лебег построил теорию меры и интеграл, свободный от ограничений интеграла Римана; это дало начало функциональному анализу и теории вероятностей в аксиоматике Колмогорова.

Во второй половине XX века Абрахам Робинсон разработал нестандартный анализ, в котором бесконечно малые вводятся строго как элементы неархимедова расширения поля вещественных чисел; тем самым интуиция Лейбница и Эйлера получила формальное оправдание^[19].

Все основные теоремы анализа опираются на полноту множества вещественных чисел — свойство, отличающее ${\displaystyle \mathbb {R} }$ от множества рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Полнота может быть введена аксиоматически в нескольких эквивалентных формах^[21]:

• аксиома непрерывности (принцип Дедекинда): если множество разбито на два непустых класса так, что всякий элемент первого меньше всякого элемента второго, то существует разделяющее их число;
• существование точной верхней границы: всякое непустое ограниченное сверху множество имеет супремум;
• принцип вложенных отрезков (Кантора): всякая последовательность вложенных отрезков имеет общую точку;
• критерий Коши: всякая фундаментальная последовательность сходится.

Поле ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ этими свойствами не обладает. Например, последовательность, задаваемая рекуррентно формулой ${\displaystyle x_{n+1}={\tfrac {1}{2}}\left(x_{n}+{\tfrac {2}{x_{n}}}\right)}$ при ${\displaystyle x_{0}=1}$, состоит из рациональных чисел

${\displaystyle {\frac {3}{2}},\quad {\frac {17}{12}},\quad {\frac {577}{408}},\quad {\frac {665857}{470832}},\ \ldots }$

и является фундаментальной, однако её предел ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ иррационален. Точно так же множество ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}}$ ограничено сверху, но не имеет точной верхней границы в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Именно поэтому анализ строится над ${\displaystyle \mathbb {R} }$, а не над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$^[22].

Из полноты выводятся теорема Больцано — Вейерштрасса (всякая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность) и лемма Гейне — Бореля (из всякого открытого покрытия отрезка можно выделить конечное подпокрытие). Последняя выражает компактность отрезка и служит основным техническим средством при доказательстве теорем о непрерывных функциях^[23][24].

Понятие предела составляет ядро анализа. Определение на языке «эпсилон — дельта», восходящее к Больцано и Коши и окончательно оформленное Вейерштрассом, гласит: число ${\displaystyle A}$ есть предел функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle a}$, если

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\ \left(0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon \right).}$

Эквивалентное определение по Гейне формулируется через последовательности: ${\displaystyle f(x_{n})\to A}$ для всякой последовательности ${\displaystyle x_{n}\to a}$, ${\displaystyle x_{n}\neq a}$. Равносильность двух определений опирается на аксиому выбора в счётной форме.

Функция называется непрерывной в точке, если предел в ней существует и равен значению функции. Непрерывность допускает и топологическую формулировку: прообраз всякого открытого множества открыт. Эта форма не использует метрику и переносится на произвольные топологические пространства, что делает её отправной точкой общей топологии^[25].

Для непрерывных функций на отрезке справедливы:

• теорема Больцано — Коши: непрерывная на ${\displaystyle [a,b]}$ функция принимает всякое значение между ${\displaystyle f(a)}$ и ${\displaystyle f(b)}$;
• теорема Вейерштрасса: непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает наибольшего и наименьшего значений;
• теорема Кантора: непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна{^[26][27][28].

Все три существенно используют компактность отрезка и перестают быть верными на открытом или неограниченном промежутке.

Различие между непрерывностью и равномерной непрерывностью состоит в порядке кванторов: в первом случае ${\displaystyle \delta }$ зависит и от ${\displaystyle \varepsilon }$, и от точки, во втором — только от ${\displaystyle \varepsilon }$:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x,y\ \left(|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon \right).}$

Функция ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ непрерывна на всей прямой, но не равномерно непрерывна: положив ${\displaystyle x=2/\delta }$ и ${\displaystyle y=x-\delta /2}$, получаем ${\displaystyle |x-y|<\delta }$ при ${\displaystyle |f(x)-f(y)|\approx 2}$, каким бы малым ни было ${\displaystyle \delta }$. Функция ${\displaystyle \sin(1/x)}$ на интервале ${\displaystyle (0,1)}$ даёт другой пример: в точках ${\displaystyle x_{k}={\bigl (}2\pi k+{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}^{-1}}$ и ${\displaystyle y_{k}={\bigl (}2\pi k+{\tfrac {3\pi }{2}}{\bigr )}^{-1}}$ расстояние стремится к нулю, тогда как разность значений постоянно равна 2. На отрезке же, по теореме Кантора, подобное невозможно.

Равномерная непрерывность играет решающую роль при доказательстве интегрируемости непрерывных функций и при обосновании предельного перехода под знаком интеграла^[29].

Определённый интеграл в смысле Римана вводится через суммы Дарбу: функция интегрируема, если верхний и нижний интегралы совпадают. Точный ответ на вопрос, какие именно функции интегрируемы, даёт критерий Лебега: ограниченная на отрезке функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда множество её точек разрыва имеет меру нуль.

Классические примеры показывают, насколько тонко устроено это условие:

• функция Дирихле (равная 1 в рациональных точках и 0 в иррациональных) разрывна всюду; её нижняя сумма Дарбу равна 0, верхняя равна 1 при любом разбиении, поэтому интеграл Римана не существует;
• функция Римана, равная ${\displaystyle 1/q}$ в точке ${\displaystyle p/q}$ несократимой дроби и нулю в иррациональных точках, разрывна в каждой рациональной точке, то есть на всюду плотном множестве, — и тем не менее интегрируема, поскольку множество рациональных чисел счётно и имеет меру нуль. Действительно, точек со значением ${\displaystyle \geqslant \varepsilon }$ на отрезке лишь конечное число: при ${\displaystyle \varepsilon =0{,}01}$ их 3045, при ${\displaystyle \varepsilon =0{,}001}$ — 304 193, так что верхние суммы стремятся к нулю, и интеграл равен нулю.

Ограниченность интеграла Римана проявляется и в том, что он плохо согласуется с предельным переходом. Для последовательности ${\displaystyle f_{n}}$, равной ${\displaystyle n}$ на интервале ${\displaystyle (0,1/n)}$ и нулю вне его, каждый интеграл равен единице, тогда как ${\displaystyle f_{n}(x)\to 0}$ в каждой точке: предел интегралов не совпадает с интегралом предела^[30].

Эти трудности устраняет интеграл Лебега, построенный на разбиении не области определения, а области значений. Он определён для более широкого класса функций (в частности, функция Дирихле интегрируема по Лебегу с интегралом 0, так как ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ имеет меру нуль) и допускает мощные теоремы о предельном переходе — теорему Леви о монотонной сходимости, лемму Фату и теорему Лебега о мажорируемой сходимости. Пространства ${\displaystyle L^{p}}$ интегрируемых функций полны, что и делает их основой функционального анализа^[31][32][33].

Обобщениями служат также интеграл Стилтьеса, в котором роль длины играет приращение функции ограниченной вариации, и несобственные интегралы для неограниченных функций и промежутков^[34][35][36].

Для последовательностей и рядов функций существенно, в каком смысле понимается сходимость. При поточечной сходимости предельная функция может утратить свойства членов последовательности: функции ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$ непрерывны на ${\displaystyle [0,1]}$, однако их поточечный предел равен нулю при ${\displaystyle x<1}$ и единице при ${\displaystyle x=1}$, то есть разрывен.

Равномерная сходимость (${\displaystyle \sup _{x}|f_{n}(x)-f(x)|\to 0}$) сохраняет непрерывность, допускает почленное интегрирование и — при равномерной сходимости производных — почленное дифференцирование. Достаточным условием для рядов служит признак Вейерштрасса: если ${\displaystyle |u_{n}(x)|\leqslant c_{n}}$ и ряд ${\displaystyle \sum c_{n}}$ сходится, то функциональный ряд сходится равномерно. Согласно теореме Дини, для монотонной последовательности непрерывных функций с непрерывным пределом поточечная сходимость на компакте автоматически оказывается равномерной.

Именно неразличение поточечной и равномерной сходимости привело к ошибочному утверждению в «Курсе анализа» Коши (1821) о непрерывности суммы сходящегося ряда непрерывных функций; исправление этой ошибки Абелем и Зейделем стало одним из стимулов к строгому обоснованию анализа.

Пространство непрерывных функций на отрезке с равномерной метрикой полно; предкомпактность в нём описывает теорема Асколи — Арцела (ограниченность и равностепенная непрерывность), а плотность многочленов — теорема Вейерштрасса — Стоуна. В теории рядов различают абсолютную и условную сходимость: по теореме Римана, члены условно сходящегося ряда можно переставить так, чтобы сумма стала равной любому наперёд заданному числу или бесконечности^[37][38].

Развитие теории сопровождалось построением примеров, опровергавших казавшиеся очевидными утверждения.

• Функция Вейерштрасса ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x)}$ при ${\displaystyle 0<a<1}$ и достаточно больших ${\displaystyle b}$ непрерывна всюду и не дифференцируема ни в одной точке. Ряд сходится равномерно по признаку Вейерштрасса, поэтому сумма непрерывна; недифференцируемость же разрушила распространённое до 1872 года убеждение, что непрерывная функция дифференцируема всюду, кроме отдельных точек^[39].
• Канторово множество несчётно (имеет мощность континуума), но его мера равна нулю: после ${\displaystyle n}$ шагов построения суммарная длина составляет ${\displaystyle (2/3)^{n}\to 0}$. Пример показал, что мощность множества и его мера — независимые характеристики.
• Гладкая, но не аналитическая функция ${\displaystyle e^{-1/x^{2}}}$ (доопределённая нулём в нуле) имеет в нуле все производные, равные нулю, поэтому её ряд Тейлора тождественно равен нулю и не представляет функцию ни в какой окрестности.
• Существуют функции, дифференцируемые всюду, но с разрывной производной; монотонная функция дифференцируема почти всюду (теорема Лебега), однако существует непрерывная монотонная «лестница Кантора», производная которой равна нулю почти всюду, а сама функция возрастает от 0 до 1.

Эти примеры очертили границы наглядных представлений и показали необходимость точных определений, приведя к «арифметизации анализа» Вейерштрасса.

Понятия анализа допускают далеко идущие обобщения. Замена числовой прямой на метрическое или топологическое пространство приводит к общей топологии; замена области значений на банахово пространство — к функциональному анализу, где производная понимается как производная Фреше, а роль отрезка играют компактные множества^[40].

Особое место занимает нестандартный анализ Робинсона (1961), в котором поле вещественных чисел расширяется до поля гипервещественных чисел, содержащего актуально бесконечно малые элементы. В нём производная определяется как стандартная часть отношения бесконечно малых приращений, что придаёт строгий смысл рассуждениям Лейбница и Эйлера. Доказуемые в обеих системах утверждения о вещественных числах совпадают, поэтому нестандартный анализ представляет собой не альтернативную теорию, а иной язык для той же математики^[41].

Дифференциальное исчисление изучает производные функций, их свойства и приложения. Пусть функция ${\displaystyle f}$ определена в некоторой окрестности точки ${\displaystyle a}$. Производной функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle a}$ называется предел

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}},}$

если он существует и конечен. Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке; дифференцируемость влечёт непрерывность, но не наоборот.

Отношение под знаком предела называется разностным отношением. Геометрически оно равно угловому коэффициенту секущей, проходящей через точки ${\displaystyle (a,\,f(a))}$ и ${\displaystyle (a+h,\,f(a+h))}$ графика. При ${\displaystyle h\to 0}$ секущая переходит в касательную, поэтому производная равна угловому коэффициенту касательной к графику в точке ${\displaystyle (a,\,f(a))}$.

Если аргументом служит время, а значением — координата движущейся точки, то производная равна мгновенной скорости; вторая производная — ускорению. Именно эта механическая интерпретация лежала в основе метода флюксий Ньютона.

Пример. Для ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ в точке ${\displaystyle a=3}$:

${\displaystyle f'(3)=\lim _{h\to 0}{\frac {(3+h)^{2}-3^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {6h+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}(6+h)=6.}$

Вычисление в произвольной точке даёт ${\displaystyle f'(x)=2x}$.

Функция, сопоставляющая каждой точке значение производной, называется производной функцией. Операция перехода от ${\displaystyle f}$ к ${\displaystyle f'}$ — дифференцирование — является линейным оператором на пространстве дифференцируемых функций^[42][43]:

${\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'.}$

Функция ${\displaystyle f}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle a}$ тогда и только тогда, когда её приращение представимо в виде

${\displaystyle f(a+h)-f(a)=A\,h+o(h),\qquad h\to 0,}$

где ${\displaystyle A=f'(a)}$. Линейная по ${\displaystyle h}$ часть ${\displaystyle A\,h}$ называется дифференциалом и обозначается ${\displaystyle df}$. Дифференциал есть главная линейная часть приращения; именно в этой форме понятие обобщается на функции нескольких переменных и на отображения нормированных пространств^[44].

• Теорема Ферма. Если функция дифференцируема во внутренней точке экстремума, то её производная там равна нулю.
• Теорема Ролля. Если ${\displaystyle f}$ непрерывна на ${\displaystyle [a,b]}$, дифференцируема на ${\displaystyle (a,b)}$ и ${\displaystyle f(a)=f(b)}$, то существует точка ${\displaystyle \xi \in (a,b)}$ с ${\displaystyle f'(\xi )=0}$.
• Теорема Лагранжа. При тех же условиях без требования ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ найдётся ${\displaystyle \xi \in (a,b)}$, для которой

${\displaystyle f(b)-f(a)=f'(\xi )(b-a).}$

• Формула Тейлора. Если ${\displaystyle f}$ имеет ${\displaystyle n+1}$ производную в окрестности точки ${\displaystyle a}$, то

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+R_{n}(x),}$

где остаточный член в форме Лагранжа равен ${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}}$.

Формула Тейлора служит основным инструментом приближённых вычислений и исследования функций. Следует подчеркнуть, что бесконечная дифференцируемость не гарантирует сходимости ряда Тейлора к самой функции: пример Коши ${\displaystyle e^{-1/x^{2}}}$ показывает, что класс гладких функций шире класса аналитических^[45].

Производная позволяет исследовать поведение функции: знак ${\displaystyle f'}$ определяет монотонность, знак ${\displaystyle f''}$ — выпуклость, нули ${\displaystyle f'}$ — стационарные точки, а перемена знака ${\displaystyle f''}$ — точки перегиба. Для раскрытия неопределённостей вида ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$ и ${\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }}}$ применяется правило Лопиталя^[46][47].

Для функции ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ частной производной по переменной ${\displaystyle x_{i}}$ называется производная по этой переменной при фиксированных остальных:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a)}{h}}.}$^[48]

Существование всех частных производных ещё не влечёт дифференцируемости. Функция называется дифференцируемой в точке ${\displaystyle a}$, если её приращение представимо в виде

${\displaystyle f(a+h)-f(a)=\langle \nabla f(a),h\rangle +o(\|h\|),}$

где ${\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)}$ — градиент. Достаточным условием дифференцируемости служит непрерывность всех частных производных в окрестности точки.

Градиент указывает направление наибыстрейшего возрастания функции и перпендикулярен линии уровня. Уравнение касательной плоскости к графику имеет вид

${\displaystyle z=f(a)+\langle \nabla f(a),\,x-a\rangle .}$^[49]

Согласно теореме Шварца, если смешанные производные ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}}$ непрерывны, то они равны. Для исследования экстремумов применяется матрица Гессе: в стационарной точке (где ${\displaystyle \nabla f=0}$) положительная определённость гессиана даёт минимум, отрицательная — максимум, а знакопеременность — седловую точку. Задачи на условный экстремум решаются методом множителей Лагранжа.

Для вектор-функций ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ роль производной играет матрица Якоби; теорема о неявной функции и теорема об обратной функции дают условия локальной разрешимости систем уравнений^[50].

Функция ${\displaystyle F}$ называется первообразной функции ${\displaystyle f}$ на промежутке ${\displaystyle I}$, если ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ для всех ${\displaystyle x\in I}$. Первообразная — это одна функция, а не семейство.

Совокупность всех первообразных называется неопределённым интегралом и обозначается ${\displaystyle \int f(x)\,dx}$. Эти понятия следует различать: первообразная — функция, неопределённый интеграл — множество функций.

Если ${\displaystyle F}$ — некоторая первообразная функции ${\displaystyle f}$ на промежутке (то есть на связном множестве), то всякая другая первообразная отличается от ${\displaystyle F}$ на постоянную, и

${\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C.}$

Требование связности существенно. Например, функция ${\displaystyle f(x)=1/x}$ определена на несвязном множестве ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$, и функции

${\displaystyle F_{1}(x)=\ln |x|,\qquad F_{2}(x)=\ln |x|+{\begin{cases}0,&x>0,\\5,&x<0,\end{cases}}}$

обе являются её первообразными, хотя их разность не постоянна. На каждом из промежутков ${\displaystyle (-\infty ;0)}$ и ${\displaystyle (0;+\infty )}$ в отдельности разность, разумеется, постоянна^[51].

Постоянная ${\displaystyle C}$ называется постоянной интегрирования.

Пусть ${\displaystyle f}$ определена на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$. Разобьём отрезок точками ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}=b}$ и в каждом отрезке разбиения выберем точку ${\displaystyle \xi _{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}$. Сумма

${\displaystyle \sigma =\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\,\Delta x_{i},\qquad \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1},}$

называется интегральной суммой (суммой Римана). Если при стремлении к нулю наибольшей длины отрезков разбиения суммы имеют предел, не зависящий ни от разбиения, ни от выбора точек ${\displaystyle \xi _{i}}$, то этот предел называется определённым интегралом:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\max \Delta x_{i}\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\,\Delta x_{i}.}$

Всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема; по критерию Лебега функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она ограничена и множество её точек разрыва имеет меру нуль.

Геометрический смысл. Для неотрицательной функции определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком, осью абсцисс и прямыми ${\displaystyle x=a}$, ${\displaystyle x=b}$. В общем случае интеграл равен площади со знаком: участки, где ${\displaystyle f<0}$, входят со знаком минус. Так,

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin x\,dx=0,}$

тогда как площадь фигуры, ограниченной синусоидой и осью абсцисс на этом отрезке, равна 4. Площадь выражается интегралом от модуля: ${\displaystyle S=\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}$.

Физический смысл. Если ${\displaystyle v(t)}$ — скорость точки, то

${\displaystyle s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}v(t)\,dt}$

есть перемещение (со знаком) за промежуток времени. При постоянной скорости интеграл сводится к произведению ${\displaystyle v\cdot (t_{2}-t_{1})}$; при переменной — разбиение промежутка на малые части, на каждой из которых скорость почти постоянна, приводит к интегральной сумме.

Обозначение ${\displaystyle \int }$ — удлинённая буква S (лат. summa) — предложено Лейбницем. Запись

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

читается «интеграл от ${\displaystyle a}$ до ${\displaystyle b}$ эф от икс дэ икс». Символ ${\displaystyle dx}$ указывает переменную интегрирования и не является самостоятельным сомножителем^[52][53].

Основная теорема анализа связывает дифференцирование и интегрирование, показывая, что это взаимно обратные операции.

Первая часть. Если ${\displaystyle f}$ интегрируема на ${\displaystyle [a,b]}$, то функция

${\displaystyle \Phi (x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$

непрерывна на ${\displaystyle [a,b]}$; если, кроме того, ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle x}$, то ${\displaystyle \Phi }$ дифференцируема в ней и ${\displaystyle \Phi '(x)=f(x)}$.

Вторая часть (формула Ньютона — Лейбница). Если ${\displaystyle f}$ непрерывна на ${\displaystyle [a,b]}$, а ${\displaystyle F}$ — любая её первообразная, непрерывная на ${\displaystyle [a,b]}$, то

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Требование непрерывности ${\displaystyle F}$ на всём отрезке существенно: если ${\displaystyle F}$ лишь удовлетворяет условию ${\displaystyle F'=f}$ внутри интервала, но терпит разрыв на конце, формула нарушается.

Эту связь между двумя задачами — о касательной и о площади — в геометрической форме знал уже Барроу, учитель Ньютона; общий аналитический вид ей придали независимо Ньютон и Лейбниц, и именно она сделала анализ действенным вычислительным аппаратом^[54].

Основные приёмы вычисления — замена переменной и интегрирование по частям; для рациональных функций применяется разложение на простейшие дроби. В отличие от дифференцирования, интегрирование не является алгоритмической операцией: интегралы многих элементарных функций (например, ${\displaystyle \int e^{-x^{2}}dx}$) не выражаются через элементарные функции — это доказано в рамках дифференциальной алгебры (теорема Лиувилля).

Определённый интеграл применяется для вычисления площадей, длин дуг, объёмов тел вращения, площадей поверхностей, работы силы, массы и моментов инерции тел.

Несобственные интегралы распространяют понятие на неограниченные промежутки и неограниченные функции^[55].

Для функции двух переменных на области ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ аналогично строится двойной интеграл ${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy}$ как предел сумм ${\displaystyle \sum f(\xi _{i},\eta _{i})\,\Delta S_{i}}$. Для неотрицательной функции он равен объёму тела под поверхностью. Вычисляется двойной интеграл сведением к повторному (теорема Фубини):

${\displaystyle \iint _{D}f\,dx\,dy=\int _{a}^{b}\left(\int _{\varphi _{1}(x)}^{\varphi _{2}(x)}f(x,y)\,dy\right)dx.}$

При замене переменных появляется якобиан:

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{D'}f{\bigl (}x(u,v),y(u,v){\bigr )}\,\left|{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right|du\,dv.}$

Аналогично определяются тройные и ${\displaystyle n}$-кратные интегралы, а также криволинейные (вдоль кривой) и поверхностные (по поверхности) интегралы первого и второго рода.

Классические интегральные теоремы связывают интегралы разных размерностей:

• Формула Грина: ${\displaystyle \oint _{\partial D}P\,dx+Q\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dx\,dy;}$
• Формула Остроградского — Гаусса: ${\displaystyle \oiint _{\partial V}\langle \mathbf {F} ,\mathbf {n} \rangle \,dS=\iiint _{V}\operatorname {div} \mathbf {F} \,dV;}$
• Формула Стокса: ${\displaystyle \oint _{\partial S}\langle \mathbf {F} ,d\mathbf {r} \rangle =\iint _{S}\langle \operatorname {rot} \mathbf {F} ,\mathbf {n} \rangle \,dS.}$

Все три являются частными случаями общей формулы Стокса ${\displaystyle \int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }d\omega }$ для дифференциальных форм, которая может рассматриваться как многомерное обобщение теоремы Ньютона — Лейбница^[56].

Практически все понятия классической механики формулируются на языке анализа: скорость — производная координаты по времени, ускорение — вторая производная, а второй закон Ньютона ${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} }$ представляет собой дифференциальное уравнение. Работа переменной силы, масса тела по известной плотности, моменты инерции и потенциальная энергия выражаются интегралами.

Уравнения Максвелла и уравнения общей теории относительности записываются средствами дифференциального исчисления функций нескольких переменных; уравнения теплопроводности, волновое и Лапласа составляют предмет математической физики.

В химии анализ применяется для описания скоростей реакций и радиоактивного распада; в биологии — для моделей динамики популяций; в медицине — при расчёте дозирования препаратов и оптимального угла ветвления кровеносных сосудов; в экономике — при исследовании предельных издержек и предельного дохода, а также в задачах оптимизации.

Анализ служит основой численных методов: приближённого решения уравнений (метод Ньютона, метод простой итерации), численного интегрирования (формула трапеций, формула Симпсона), решения дифференциальных уравнений (метод Эйлера, методы Рунге — Кутты). Оценки погрешности этих методов опираются на формулу Тейлора.

Средствами анализа изучаются кривые и поверхности, а объединение анализа с линейной алгеброй приводит к методу наименьших квадратов и функциональному анализу. В теории вероятностей непрерывные распределения задаются плотностями, а математическое ожидание — интегралом. Дифференциальная геометрия и теория дифференциальных уравнений выросли непосредственно из классического анализа.