Криволинейная трапеция

Криволинейная трапеция
Криволинейная трапеция
Область использования	математический анализ; геометрия; интегральное исчисление

Криволинейная трапеция
Криволинейная трапеция
Область использования	математический анализ; геометрия; интегральное исчисление

Криволине́йная трапе́ция — плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции $y=f(x)$ , заданной на отрезке $[a;\,b]$ , осью абсцисс и двумя вертикальными отрезками прямых $x=a$ и $x=b$ ^[1]^[2]^[3].

Термин широко используется в учебной литературе по математическому анализу, поскольку задача о вычислении площади такой фигуры служит стандартной геометрической интерпретацией определённого интеграла и исторически привела к его введению^[4]^[5]. Название связано с внешним сходством фигуры с обычной трапецией, у которой одна из сторон заменена криволинейной дугой^[6].

Античность: метод исчерпывания

Задача о квадратуре — построении квадрата, равновеликого криволинейной фигуре, — одна из древнейших в математике. Египетские и вавилонские писцы пользовались приближёнными правилами для площадей фигур с криволинейными границами, но систематический метод появился в Древней Греции^[7].

Гиппократ Хиосский (V век до н. э.) выполнил первую точную квадратуру криволинейной фигуры — гиппократовых луночек^[8].
Евдокс Книдский (IV век до н. э.) разработал метод исчерпывания, основанный на аксиоме, позднее названной аксиомой Архимеда: фигура «исчерпывается» вписанными многоугольниками, а равенство площадей доказывается приведением к противоречию. Это прямой предшественник современного определения площади через нижние и верхние суммы^[9].

Архимед (III век до н. э.) в сочинениях «Квадратура параболы» и «О коноидах и сфероидах» фактически вычислил площади и объёмы, которые в современных обозначениях соответствуют интегралам вида $\int x^{2}\,dx$ . Он доказал, что площадь параболического сегмента составляет $4/3$ площади вписанного треугольника; в «Послании к Эратосфену» описан и эвристический «механический метод», где фигура мыслится составленной из бесконечно тонких полосок, уравновешиваемых на рычаге^[10].

Средневековье и Возрождение

Идея представления площади суммой узких полос встречается у Николая Орема (XIV век), который в «учении о широтах форм» изображал равномерно-ускоренное движение графически и получил площадь под линейным «графиком скорости» — по существу, первую квадратуру фигуры с прямым физическим смыслом. Схожие результаты получила Мертонская школа в виде «правила о среднем значении скорости». Позднее эти построения использовал Галилей при выводе закона свободного падения^[11].

XVII век: метод неделимых и рождение интеграла

И. Кеплер в трактате «Новая стереометрия винных бочек» (1615) вычислял объёмы тел вращения, разбивая их на бесконечно тонкие слои^[12].
Б. Кавальери (1635) сформулировал метод неделимых, позволивший находить площади фигур, ограниченных кривыми $y=x^{n}$ для целых $n$ ^[13]^[14].
П. Ферма около 1636 года выполнил квадратуру «парабол» и «гипербол» $y=x^{n}$ (как для целых, так и для дробных и отрицательных $n\neq -1$ ). Он применил гениальный приём разбиения основания не на равные отрезки, а точками, образующими геометрическую прогрессию (метод «псевдоравных» приращений). Это позволило ему вычислить сумму бесконечного ряда и найти его предел, что является прямым предшественником современных интегральных сумм и понятия предела задолго до формализации анализа^[15].
Дж. Валлис («Арифметика бесконечных», 1656) придал квадратурам алгебраическую форму и получил формулу $\int _{0}^{1}x^{p}\,dx={\tfrac {1}{p+1}}$ для дробных показателей^[16].
Грегуар де Сен-Венсан и А. де Сараса установили, что площадь под гиперболой $y=1/x$ обладает свойством логарифма^[17].
И. Барроу в «Лекциях по геометрии» (1670) в геометрической форме сформулировал взаимную обратность задач о касательной и о квадратуре — прообраз основной теоремы анализа^[18].

Ньютон, Лейбниц и формула Ньютона — Лейбница

Решающий шаг сделали независимо друг от друга И. Ньютон (метод флюксий, 1660—1670-е годы, опубликован позднее) и Г. В. Лейбниц (публикации 1684 и 1686 годов). Оба показали, что нахождение площади криволинейной трапеции сводится к отысканию первообразной. Лейбницу принадлежит и сам знак интеграла $\textstyle \int$ — стилизованная латинская буква S от summa (1675), а также обозначение $dx$ ; термин «интеграл» предложил Якоб Бернулли. Приоритетный спор Ньютона и Лейбница стал одним из самых известных конфликтов в истории науки^[19].

XIX—XX века: строгое обоснование и развитие методов

Понятие площади криволинейной трапеции получило строгое определение лишь после арифметизации анализа^[20].

Значительный вклад в аппарат вычисления площадей внёс российский математик М. В. Остроградский. Разработанный им метод интегрирования рациональных дробей (формула Остроградского) позволяет находить площадь под графиками таких функций, имеющих кратные корни в знаменателе, без трудоёмкого разложения на простейшие дроби. Это стало важным алгоритмическим усовершенствованием, ускоряющим вычисление определённых интегралов.
О. Коши (1823) определил интеграл от непрерывной функции как предел сумм специального вида;
Б. Риман (1854) дал общее определение интеграла через интегральные суммы и критерий интегрируемости, распространив понятие на разрывные функции;
Г. Дарбу (1875) ввёл верхние и нижние суммы, окончательно оформив «геометрическое» доказательство;
К. Жордан и Дж. Пеано построили теорию меры плоских фигур, в которой квадрируемость криволинейной трапеции доказывается строго;
А. Лебег (1902) создал более общую теорию интеграла, пригодную для широкого класса функций.

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a;\,b]$ и $f(x)\geqslant 0$ для всех $x\in [a;\,b]$ . Тогда криволинейной трапецией называется множество точек плоскости^[21]

G=\{(x,\,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid a\leqslant x\leqslant b,\;0\leqslant y\leqslant f(x)\}.

Отрезок $[a;\,b]$ оси $Ox$ называется основанием криволинейной трапеции, отрезки прямых $x=a$ и $x=b$ — её боковыми сторонами (одна или обе могут вырождаться в точку, если $f(a)=0$ или $f(b)=0$ ), а дуга графика функции — криволинейной стороной^[1].

Замечания

Если $f(x)\equiv h=\mathrm {const} >0$ , криволинейная трапеция вырождается в прямоугольник со сторонами $b-a$ и $h$ .
Если график функции — отрезок прямой, фигура является обычной прямоугольной трапецией (либо прямоугольником, либо треугольником).
Требование непрерывности можно ослабить: достаточно интегрируемости по Риману, то есть допустимо конечное или даже счётное число точек разрыва при условии ограниченности функции^[22]. В школьном курсе рассматривается только непрерывный случай^[23].
Криволинейная трапеция является квадрируемой (измеримой по Жордану) фигурой; это утверждение требует отдельного доказательства и составляет содержание теоремы о квадрируемости^[5].

⚠️Подсказка для ОГЭ/ЕГЭ
Криволинейная трапеция — это фигура, ограниченная графиком функции $y=f(x)$ , осью абсцисс и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$ . Если функция неотрицательна на отрезке $[a,b]$ , её площадь вычисляется через определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $S=F(b)-F(a)$ , где $F(x)$ — первообразная $f(x)$ . Аналогично находится площадь фигуры, заключённой между двумя графиками $f(x)$ и $g(x)$ : необходимо найти точки их пересечения, определить, какой график расположен выше, и вычислить интеграл от разности верхней и нижней функций $\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx$ .
Если функция меняет знак на отрезке, определённый интеграл даёт лишь алгебраическую площадь, поэтому для нахождения истинной геометрической площади нужно интегрировать модуль функции $|f(x)|$ , предварительно разбив отрезок на части в точках её пересечения с осью $Ox$ . Для успешного решения задач на ЕГЭ важно уверенно применять базовые первообразные и помнить о частых ошибках: неправильной подстановке пределов интегрирования ( $F(b)-F(a)$ ), потере знаков из-за знакопеременности функции (когда площади «плюс» и «минус» взаимно уничтожаются), а также об интегрировании разности графиков без предварительного поиска точек их пересечения.

Основная теорема

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции $y=f(x)$ , равна определённому интегралу^[4]^[24]:

S=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx.

Если $F(x)$ — какая-либо первообразная функции $f(x)$ на отрезке $[a;\,b]$ , то по формуле Ньютона — Лейбница^[2]

S=F(b)-F(a).

Обоснование

Разобьём отрезок $[a;\,b]$ точками $a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b$ на $n$ частей и на каждом частичном отрезке $[x_{i-1};\,x_{i}]$ выберем произвольную точку $\xi _{i}$ . Заменив на каждом отрезке криволинейную фигуру прямоугольником высоты $f(\xi _{i})$ , получим интегральную сумму Римана^[25]^[22]

\sigma _{n}=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\,\Delta x_{i},\qquad \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}.

Суммы Дарбу: площадь вписанной ступенчатой фигуры (нижняя сумма

s_{n}

) и описанной (верхняя сумма

S_{n}

) при измельчении разбиения сближаются, и их общий предел принимается за площадь криволинейной трапеции

.

При стремлении диаметра разбиения $\lambda =\max _{i}\Delta x_{i}$ к нулю эта сумма имеет предел, не зависящий ни от способа разбиения, ни от выбора точек $\xi _{i}$ ; этот предел и принимается за площадь фигуры:

S=\lim _{\lambda \to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\,\Delta x_{i}=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx.

Строгое доказательство существования предела опирается на суммы Дарбу: нижняя сумма $s_{n}=\sum m_{i}\,\Delta x_{i}$ задаёт площадь вписанной ступенчатой фигуры, верхняя $S_{n}=\sum M_{i}\,\Delta x_{i}$ — описанной, где $m_{i}$ и $M_{i}$ — точные нижняя и верхняя грани функции на частичном отрезке. Для непрерывной (а значит, равномерно непрерывной по теореме Кантора) функции $S_{n}-s_{n}\to 0$ , откуда и следует квадрируемость фигуры^[26]. С точки зрения теории меры криволинейная трапеция измерима по Жордану, а её мера совпадает с указанным интегралом^[27].

Свойства

Аддитивность: если $a<c<b$ , то $\int _{a}^{b}f=\int _{a}^{c}f+\int _{c}^{b}f$ , то есть площадь фигуры равна сумме площадей её частей^[28].
Монотонность: если $0\leqslant f(x)\leqslant g(x)$ , то площадь трапеции под графиком $f$ не превосходит площади трапеции под графиком $g$ ^[29].
Оценка: $m(b-a)\leqslant S\leqslant M(b-a)$ , где $m$ и $M$ — наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке^[30].
Теорема о среднем: существует точка $c\in [a;\,b]$ , для которой $S=f(c)\,(b-a)$ , то есть криволинейная трапеция равновелика прямоугольнику с тем же основанием и высотой $f(c)$ ^[31].
Центр тяжести однородной криволинейной трапеции имеет координаты:

x_{C}={\frac {1}{S}}\int \limits _{a}^{b}x\,f(x)\,dx,\qquad y_{C}={\frac {1}{2S}}\int \limits _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx.

^[32]

Фигура между двумя графиками

Если на отрезке $[a;\,b]$ выполнено $f(x)\geqslant g(x)$ , то площадь фигуры, заключённой между графиками, равна

S=\int \limits _{a}^{b}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\,dx.

Такая фигура иногда называется обобщённой криволинейной трапецией; классическая криволинейная трапеция получается при $g\equiv 0$ ^[33].

Слева — обобщённая криволинейная трапеция между графиками двух функций. Справа — знакопеременный случай: определённый интеграл даёт алгебраическую площадь, в которой части ниже оси абсцисс учитываются со знаком «минус»

Знакопеременная функция

Если $f$ принимает отрицательные значения, интеграл даёт алгебраическую (ориентированную) площадь: части фигуры, лежащие ниже оси $Ox$ , входят со знаком «минус». Геометрическая площадь в этом случае равна

S=\int \limits _{a}^{b}|f(x)|\,dx.

Классический пример: $\int _{0}^{2\pi }\sin x\,dx=0$ , тогда как $\int _{0}^{2\pi }|\sin x|\,dx=4$ .

Криволинейная трапеция относительно оси ординат

Для функции $x=\varphi (y)\geqslant 0$ , непрерывной на $[c;\,d]$ , аналогично определяется фигура, ограниченная её графиком, осью $Oy$ и прямыми $y=c$ , $y=d$ ; её площадь равна $S=\int _{c}^{d}\varphi (y)\,dy$ .

Параметрическое задание кривой

Если криволинейная сторона задана параметрически $x=x(t)$ , $y=y(t)$ , $t\in [\alpha ;\,\beta ]$ , причём $x(\alpha )=a$ , $x(\beta )=b$ и $x(t)$ монотонна, то

S=\int \limits _{\alpha }^{\beta }y(t)\,x'(t)\,dt.

Например, площадь под одной аркой циклоиды $x=r(t-\sin t)$ , $y=r(1-\cos t)$ равна $3\pi r^{2}$ — утроенной площади производящего круга^[34].

Криволинейный сектор

Аналогом криволинейной трапеции в полярных координатах служит криволинейный сектор, ограниченный кривой $r=r(\varphi )$ и лучами $\varphi =\alpha$ , $\varphi =\beta$ . Его площадь

S={\frac {1}{2}}\int \limits _{\alpha }^{\beta }r^{2}(\varphi )\,d\varphi .

^[35]^[36].

Слева — криволинейный сектор в полярных координатах, аналог криволинейной трапеции. Справа — тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс

Несобственный случай

Если $b=+\infty$ или функция не ограничена вблизи концов отрезка, говорят о бесконечной криволинейной трапеции; её площадь определяется как несобственный интеграл и может быть как конечной, так и бесконечной^[25]^[37]. Классические примеры:

\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}=1

(конечная площадь),

\quad \int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {dx}{x}}=+\infty

(бесконечная площадь).

Известный парадоксальный объект — рог Гавриила: тело, полученное вращением бесконечной криволинейной трапеции под гиперболой $y=1/x$ , имеет конечный объём $\pi$ при бесконечной площади поверхности^[38].

Тела вращения

При вращении криволинейной трапеции вокруг оси $Ox$ получается тело объёмом

V=\pi \int \limits _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx,

а при вращении вокруг оси $Oy$ (для $0\leqslant a<b$ ) — методом цилиндрических слоёв:

V=2\pi \int \limits _{a}^{b}x\,f(x)\,dx.

Оба результата являются частными случаями теорем Гульдина — Паппа, связывающих объём тела вращения с положением центра тяжести исходной фигуры^[39]^[40].

Связь с другими разделами математики

Понятие площади криволинейной трапеции естественно обобщается в высшей математике, связывая элементарный анализ с более продвинутыми теориями:

Двойные интегралы и многомерные обобщения: площадь фигуры $G$ является частным случаем двойного интеграла от единицы по этой области, что следует из теоремы Фубини^[41]:

S=\iint \limits _{G}1\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left(\int \limits _{0}^{f(x)}1\,dy\right)dx.

Визуальная аналогия расширяет это понятие: если криволинейная трапеция представляет собой *площадь* под кривой на плоскости, то двойной интеграл вычисляет *объём* под поверхностью $z=f(x,y)$ над этой областью (так называемый криволинейный цилиндр). Это естественным образом обобщает понятие квадрируемой фигуры на измеримые множества в $\mathbb {R} ^{n}$ .

Формула Грина: площадь может быть выражена через криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру $\partial G$ , ограничивающему трапецию и ориентированному против часовой стрелки^[42]:

S=\oint \limits _{\partial G}x\,dy=-\oint \limits _{\partial G}y\,dx={\frac {1}{2}}\oint \limits _{\partial G}(x\,dy-y\,dx).

Это позволяет вычислять площадь, не находя первообразную функции $f(x)$ в явном виде, если контур задан параметрически.

Площадь криволинейной трапеции как физическая величина: путь при неравномерном движении, работа газа в термодинамическом цикле, вероятность попадания случайной величины в интервал и показатель AUC в фармакокинетике

Физика и механика

Многие физические величины выражаются как площадь под графиком, то есть как площадь криволинейной трапеции^[43]:

Путь при неравномерном движении: если $v(t)\geqslant 0$ — скорость, то пройденный путь $s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}v(t)\,dt$ равен площади под графиком скорости.
Работа переменной силы: $A=\int _{x_{1}}^{x_{2}}F(x)\,dx$ ; в частности, работа при растяжении пружины $A={\tfrac {kx^{2}}{2}}$ — площадь треугольника как вырожденной криволинейной трапеции.
Импульс силы: $\Delta p=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F(t)\,dt$ ; используется при расчёте ударных нагрузок и в баллистике.
Работа газа в термодинамическом процессе: $A=\int _{V_{1}}^{V_{2}}p(V)\,dV$ — площадь под кривой процесса на диаграмме $p$ — $V$ ; площадь замкнутого цикла (например, цикла Карно) равна полезной работе за цикл.
Масса стержня переменной линейной плотности $\rho (x)$ : $m=\int _{a}^{b}\rho (x)\,dx$ .
Гидростатическое давление на вертикальную стенку, координаты центра масс и моменты инерции пластин вычисляются интегрированием по криволинейной трапеции.

Электротехника и электроника

Электрический заряд, прошедший через проводник: $q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}i(t)\,dt$ .
Энергия, выделяемая в цепи: $W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}u(t)\,i(t)\,dt$ .
Среднее и действующее (среднеквадратичное) значения переменного тока: $I_{\text{ср}}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}i(t)\,dt$ , $I_{\text{д}}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}i^{2}(t)\,dt}}$ .

Теория вероятностей и статистика

Для непрерывной случайной величины с плотностью $p(x)$ вероятность попадания в интервал равна площади соответствующей криволинейной трапеции:

P(a\leqslant X\leqslant b)=\int \limits _{a}^{b}p(x)\,dx,

а условие нормировки $\int _{-\infty }^{+\infty }p(x)\,dx=1$ означает, что площадь под всей кривой распределения равна единице. На этом основаны таблицы нормального распределения, правило трёх сигм и вычисление p-значений в статистических критериях^[44].

Экономика

Излишек потребителя и производителя — площади между кривыми спроса/предложения и линией равновесной цены.
Кривая Лоренца и коэффициент Джини $G=1-2\int _{0}^{1}L(x)\,dx$ — мера неравенства доходов, выражаемая через площадь под кривой.
Суммарный выпуск при известной интенсивности $f(t)$ : $\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,dt$ ; дисконтирование денежного потока: $\int _{0}^{T}f(t)e^{-rt}\,dt$ .

Медицина, химия, биология

В фармакокинетике ключевой показатель AUC (area under the curve) — площадь под кривой «концентрация препарата — время» — характеризует общую экспозицию организма к лекарству и определяет биоэквивалентность препаратов.
В хроматографии и спектроскопии площадь пика пропорциональна количеству вещества в пробе.
В оценке качества классификаторов используется показатель AUC-ROC — площадь под ROC-кривой.

Компьютерная графика и CAD-системы

В векторной графике и системах автоматизированного проектирования (CAD) контуры фигур часто задаются параметрически с помощью кривых Безье или сплайнов. Площадь такой криволинейной трапеции вычисляется не через поиск первообразной в явном виде, а с помощью обобщённой формулы площади Гаусса (алгоритм шнуровки, shoelace formula) для параметрических кривых или численного интегрирования (например, квадратур Гаусса). Это обеспечивает высокую скорость и точность рендеринга, а также позволяет мгновенно вычислять физические характеристики полигонов, такие как центр масс или момент инерции, непосредственно в редакторе.

Численные методы

Численное вычисление площади криволинейной трапеции под

y=e^{-x^{2}}

: метод трапеций, формула Симпсона и сравнение скорости сходимости в логарифмическом масштабе. Порядки погрешности

O(h)

,

O(h^{2})

и

O(h^{4})

видны как прямые с разными наклонами

Когда первообразная не выражается в элементарных функциях (например, для $e^{-x^{2}}$ ) либо функция задана таблично, площадь криволинейной трапеции находят приближённо, заменяя её простыми фигурами^[45]:

Метод прямоугольников: $S\approx h\sum _{i}f(\xi _{i})$ , погрешность $O(h)$ для левых/правых и $O(h^{2})$ для средних;
Метод трапеций — само название метода происходит от замены криволинейной трапеции набором обычных: $S\approx h\left({\frac {f_{0}+f_{n}}{2}}+\sum _{i=1}^{n-1}f_{i}\right)$ , погрешность $O(h^{2})$ ;
Формула Симпсона — приближение параболами, погрешность $O(h^{4})$ ; для многочленов степени не выше третьей формула точна;
квадратуры Гаусса, метод Ромберга и адаптивные алгоритмы, применяемые в системах компьютерной математики;
Метод Монте-Карло — оценка доли случайных точек, попавших под график; погрешность $O(n^{-1/2})$ , но метод хорошо переносится на многомерный случай.

Исторически для механического измерения площадей на чертежах и картах применялся планиметр, усовершенствованный Я. Амслером в 1854 году, — прибор, вычисляющий площадь криволинейной фигуры при обводе её контура.

При решении задач на нахождение площади криволинейной трапеции учащиеся и студенты часто допускают следующие методические ошибки:

Игнорирование знака функции: если функция $f(x)$ меняет знак на отрезке $[a;\,b]$ , определённый интеграл даёт алгебраическую сумму площадей (части ниже оси $Ox$ вычитаются). Для нахождения геометрической площади необходимо интегрировать модуль функции: $S=\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$ , предварительно разбив отрезок в точках пересечения графика с осью абсцисс.
Перепутанные пределы интегрирования: случайная замена нижнего ( $a$ ) и верхнего ( $b$ ) пределов местами приводит к получению отрицательного значения площади, что противоречит её геометрическому смыслу.
Неверные точки пересечения: при вычислении площади фигуры, ограниченной двумя кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$ , часто ошибочно выбираются пределы интегрирования или неверно определяется, какая функция находится выше на данном отрезке (подынтегральное выражение должно быть $|f(x)-g(x)|$ ).
Недооценка разрывов: требование непрерывности функции является достаточным, но не необходимым. Если функция имеет конечное число точек разрыва первого рода (скачков) и ограничена, она остаётся интегрируемой по Риману, и формула площади через определённый интеграл остаётся полностью справедливой.

Функция	Отрезок	Площадь
$y=x^{2}$	$[0;\,1]$	$\int _{0}^{1}x^{2}dx={\tfrac {1}{3}}$
$y=\sin x$	$[0;\,\pi ]$	$\int _{0}^{\pi }\sin x\,dx=2$
$y=1/x$	$[1;\,e]$	$\int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}=1$
$y={\sqrt {1-x^{2}}}$	$[-1;\,1]$	${\tfrac {\pi }{2}}$ (полукруг)
$y=e^{-x}$	$[0;\,+\infty )$	$1$ (несобственный интеграл)

Пример вычисления. Найдём площадь фигуры, ограниченной параболой $y=4-x^{2}$ и осью абсцисс. Пределы интегрирования — корни уравнения $4-x^{2}=0$ , то есть $x=\pm 2$ . Тогда

S=\int \limits _{-2}^{2}\left(4-x^{2}\right)dx=\left.\left(4x-{\frac {x^{3}}{3}}\right)\right|_{-2}^{2}=\left(8-{\frac {8}{3}}\right)-\left(-8+{\frac {8}{3}}\right)={\frac {32}{3}}.

Этот результат согласуется с теоремой Архимеда о параболическом сегменте: площадь сегмента равна ${\tfrac {4}{3}}$ площади вписанного треугольника с вершинами $(-2;0)$ , $(2;0)$ , $(0;4)$ , площадь которого равна $8$ , и действительно ${\tfrac {4}{3}}\cdot 8={\tfrac {32}{3}}$ .

Ниже приведён пример на языке Python, вычисляющий площадь криволинейной трапеции разными способами и позволяющий сравнить их точность. Точное значение находится символьно по формуле Ньютона — Лейбница средствами SymPy.

Исходный код и таблица погрешностей (нажмите «показать»)

import numpy as np
import sympy as sp

def darboux(f, a, b, n=100):
    """Нижняя и верхняя суммы Дарбу: вписанная и описанная ступенчатые фигуры."""
    edges = np.linspace(a, b, n + 1)
    h = (b - a) / n
    probe = np.linspace(0.0, 1.0, 21)
    cells = edges[:-1, None] + probe[None, :] * h
    vals = f(cells)
    return float(vals.min(axis=1).sum() * h), float(vals.max(axis=1).sum() * h)

def rectangles(f, a, b, n=100, mode="mid"):
    """Метод прямоугольников: левых, правых или средних."""
    edges = np.linspace(a, b, n + 1)
    h = (b - a) / n
    nodes = {"left": edges[:-1],
             "right": edges[1:],
             "mid": 0.5 * (edges[:-1] + edges[1:])}[mode]
    return float(f(nodes).sum() * h)

def trapezoidal(f, a, b, n=100):
    """Метод трапеций: S ~ h * ((f0 + fn)/2 + f1 + ... + f_{n-1}); погрешность O(h^2)."""
    y = f(np.linspace(a, b, n + 1))
    h = (b - a) / n
    return float(h * (0.5 * y[0] + y[1:-1].sum() + 0.5 * y[-1]))

def simpson(f, a, b, n=100):
    """Формула Симпсона (приближение параболами); погрешность O(h^4)."""
    if n % 2:
        n += 1
    y = f(np.linspace(a, b, n + 1))
    h = (b - a) / n
    return float(h / 3 * (y[0] + y[-1] + 4 * y[1:-1:2].sum() + 2 * y[2:-1:2].sum()))

def exact_area(expr_str, a, b):
    """Точное значение через первообразную: S = F(b) - F(a)."""
    x = sp.Symbol("x", real=True)
    F = sp.integrate(sp.sympify(expr_str, locals={"x": x}), x)
    return float(F.subs(x, b) - F.subs(x, a))

# Пример: площадь под параболой y = 4 - x^2 на отрезке [-2; 2]
f = lambda x: 4 - x**2
print("точное значение :", exact_area("4 - x**2", -2, 2))   # 10.666666666666666
print("суммы Дарбу     :", darboux(f, -2, 2, 200))          # (10.5864, 10.7464)
print("прямоугольники  :", rectangles(f, -2, 2, 1000))      # 10.666664
print("трапеции        :", trapezoidal(f, -2, 2, 1000))     # 10.666661
print("Симпсон         :", simpson(f, -2, 2, 4))            # 10.666667 (точно)

Сравнение погрешностей при разном числе разбиений $n$ для того же примера наглядно показывает теоретические порядки сходимости: метод трапеций даёт $O(h^{2})$ , а формула Симпсона для многочлена второй степени точна уже при $n=2$ .

$n$	левые прямоугольники	средние	трапеции
4	6,67·10⁻¹	3,33·10⁻¹	6,67·10⁻¹
16	4,17·10⁻²	2,08·10⁻²	4,17·10⁻²
64	2,60·10⁻³	1,30·10⁻³	2,60·10⁻³
1024	1,02·10⁻⁵	5,09·10⁻⁶	1,02·10⁻⁵

↑ ¹ ² Выгодский, Справочник по высшей математике, 2006, с. 557.
↑ ¹ ² Кудрявцев, Курс математического анализа, 1981, Т. 1, с. 564, 638.
↑ Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 1. — С. 360.
↑ ¹ ² Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, 2003, Т. 2, с. 170.
↑ ¹ ² Ильин, Позняк, Основы математического анализа, 2005, Ч. 1, с. 420.
↑ Колмогоров, Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы, 2018, с. 182.
↑ Рыбников, История математики, 1994, с. 53—55.
↑ Ван дер Варден, Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции, 1959, с. 183—190.
↑ Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Пер. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 148.
↑ Рожанский И. Д. Античная наука. — М.: Наука, 1980. — С. 135—137.
↑ Boyer, A History of Mathematics, 2011, p. 238—242, 300-303.
↑ Рыбников, История математики, 1994, с. 203—204.
↑ Рыбников, История математики, 1994, с. 206—207.
↑ Boyer, A History of Mathematics, 2011, p. 303—306.
↑ Boyer, A History of Mathematics, 2011, p. 324—325.
↑ Рыбников, История математики, 1994, с. 217—218.
↑ Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — М.: Иностранная литература, 1963. — С. 175.
↑ Никифоровский В. А. Великие математики Бернулли. — М.: Наука, 1984. — С. 10.
↑ Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений : словарь-справочник. — 3-е изд., испр.. — М.: ЛКИ, 2008. — С. 58—59. — ISBN 978-5-382-00839-4.
↑ Прасолов В. В. История математики. Часть 2. — М.: МЦНМО, 2019. — 304 с. — ISBN 978-5-4439-1277-6.
↑ Кудрявцев, Курс математического анализа, 1981, Т. 1, гл. 6, § 24, с. 346.
↑ ¹ ² Кудрявцев, Курс математического анализа, 1981, Т. 1, с. 639.
↑ Колмогоров, Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы, 2018, с. 119.
↑ Никольский, Курс математического анализа, 1983, Т. 1, с. 400.
↑ ¹ ² Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, 2003, Т. 2, с. 107.
↑ Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, 2003, Т. 2, с. 108.
↑ Ильин, Позняк, Основы математического анализа, 2005, Ч. 1, с. 383.
↑ Кудрявцев, Курс математического анализа, 1981, Т. 1, с. 640.
↑ Кудрявцев, Курс математического анализа, 1981, Т. 1, с. 643.
↑ Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 1. — С. 360—365.
↑ Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 1. — С. 359.
↑ Задорожный В. Н., Зальмеж В. Ф., Трифонов А. Ю., Шаповалов А. В. Высшая математика для технических университетов. Ч. III. Интегральное исчисление: Учебное пособие. — Томск: Изд-во ТПУ, 2006. — С. 60.
↑ Аксёнов А. П. Математический анализ. (Определённый интеграл. Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла): Учебное пособие. — СПб.: Изд-во «НЕСТОР», 1999. — С. 108—109.
↑ Одинцова Л. А., Бронникова Л. М. Определённый интеграл и его приложения: учебно-методическое пособие. — Барнаул: АлтГПУ, 2021. — С. 59.
↑ Одинцова Л. А., Бронникова Л. М. Определённый интеграл и его приложения: учебно-методическое пособие. — Барнаул: АлтГПУ, 2021. — С. 61.
↑ Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 1. — С. 404—405.
↑ Кудрявцев, Курс математического анализа, 1981, Т. 1, с. 661.
↑ Пиковер К. Великая математика. От Пифагора до 57-мерных объектов. 250 основных вех в истории математики / пер. с англ. С. А. Иванова. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. — С. 140. — ISBN 978-5-9963-0514-8.
↑ Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 1. — С. 411—412.
↑ Кудрявцев, Курс математического анализа, 1981, Т. 1, с. 379.
↑ Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, 2003, Т. 3, с. 149.
↑ Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, 2003, Т. 3, с. 174—179.
↑ Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, 2003, Т. 2, с. 186—280.
↑ Гмурман, Теория вероятностей и математическая статистика, 2003, с. 121—135.
↑ Бахвалов, Жидков, Кобельков, Численные методы, 2011.

Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — 6-е изд.. — М.: БИНОМ, 2011. — 636 с. — ISBN 978-5-9963-0449-3.
Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. — 292 с.
Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Физматгиз, 1959. — 459 с.
Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ, 2006. — 991 с. — ISBN 5-17-012238-1.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — 9-е изд.. — М.: Высшая школа, 2003. — 479 с. — ISBN 5-06-004214-6.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Ч. 1 // Основы математического анализа. — 7-е изд.. — М.: Физматлит, 2005. — 648 с. — ISBN 5-9221-0902-2.
Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. — 25-е изд.. — М.: Просвещение, 2018. — 384 с. — ISBN 978-5-09-062545-2.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М.: Высшая школа, 1981. — Т. 1. — 687 с.
Никольский С. М. Курс математического анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1983. — Т. 1. — 464 с.
Рыбников К. А. История математики. — 2-е изд.. — М.: Изд-во МГУ, 1994. — 496 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Физматлит, 2003. — Т. 2. — 864 с. — ISBN 5-9221-0157-9.
Boyer C. B., Merzbach U. C. A History of Mathematics. — 3rd ed.. — Hoboken: John Wiley & Sons, 2011. — 688 с. — ISBN 978-0-470-52548-7.

Общероссийский математический портал Math-Net.Ru

[_690691b0372a9cce-1] ¹ ² Выгодский, Справочник по высшей математике, 2006, с. 557.

[_fe4f8304b7e64bb3-2] ¹ ² Кудрявцев, Курс математического анализа, 1981, Т. 1, с. 564, 638.

[3] Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 1. — С. 360.

[_2f7721f9c7584589-4] ¹ ² Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, 2003, Т. 2, с. 170.

[_d4fd21ee30b93a27-5] ¹ ² Ильин, Позняк, Основы математического анализа, 2005, Ч. 1, с. 420.

[_5592c120a5ddee8f-6] Колмогоров, Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы, 2018, с. 182.

[_ad5c5877950ed86f-7] Рыбников, История математики, 1994, с. 53—55.

[_74769316c8f9da08-8] Ван дер Варден, Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции, 1959, с. 183—190.

[9] Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Пер. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 148.

[10] Рожанский И. Д. Античная наука. — М.: Наука, 1980. — С. 135—137.

[_baf9e690d7a6ff33-11] Boyer, A History of Mathematics, 2011, p. 238—242, 300-303.

[_554477f2a1eaf5fa-12] Рыбников, История математики, 1994, с. 203—204.

[_1df562a3212d7898-13] Рыбников, История математики, 1994, с. 206—207.

[_4fe6f19c84b82723-14] Boyer, A History of Mathematics, 2011, p. 303—306.

[_c4945b66f55d2027-15] Boyer, A History of Mathematics, 2011, p. 324—325.

[_6bea4db4506bff4e-16] Рыбников, История математики, 1994, с. 217—218.

[17] Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — М.: Иностранная литература, 1963. — С. 175.

[18] Никифоровский В. А. Великие математики Бернулли. — М.: Наука, 1984. — С. 10.

[19] Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений : словарь-справочник. — 3-е изд., испр.. — М.: ЛКИ, 2008. — С. 58—59. — ISBN 978-5-382-00839-4.

[20] Прасолов В. В. История математики. Часть 2. — М.: МЦНМО, 2019. — 304 с. — ISBN 978-5-4439-1277-6.

[_fa98f70d4881593b-21] Кудрявцев, Курс математического анализа, 1981, Т. 1, гл. 6, § 24, с. 346.

[_6a93d7dfe1da02b1-22] ¹ ² Кудрявцев, Курс математического анализа, 1981, Т. 1, с. 639.

[_5592b820a5dddf4b-23] Колмогоров, Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы, 2018, с. 119.

[_53d7707b4a53a36a-24] Никольский, Курс математического анализа, 1983, Т. 1, с. 400.

[_2f7722f9c758475b-25] ¹ ² Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, 2003, Т. 2, с. 107.

[_2f7722f9c7584754-26] Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, 2003, Т. 2, с. 108.

[_d4f319ee30b0d7c9-27] Ильин, Позняк, Основы математического анализа, 2005, Ч. 1, с. 383.

[_6a93dedfe1da0e5d-28] Кудрявцев, Курс математического анализа, 1981, Т. 1, с. 640.

[_6a93dedfe1da0e5e-29] Кудрявцев, Курс математического анализа, 1981, Т. 1, с. 643.

[30] Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 1. — С. 360—365.

[31] Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 1. — С. 359.

[32] Задорожный В. Н., Зальмеж В. Ф., Трифонов А. Ю., Шаповалов А. В. Высшая математика для технических университетов. Ч. III. Интегральное исчисление: Учебное пособие. — Томск: Изд-во ТПУ, 2006. — С. 60.

[33] Аксёнов А. П. Математический анализ. (Определённый интеграл. Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла): Учебное пособие. — СПб.: Изд-во «НЕСТОР», 1999. — С. 108—109.

[34] Одинцова Л. А., Бронникова Л. М. Определённый интеграл и его приложения: учебно-методическое пособие. — Барнаул: АлтГПУ, 2021. — С. 59.

[35] Одинцова Л. А., Бронникова Л. М. Определённый интеграл и его приложения: учебно-методическое пособие. — Барнаул: АлтГПУ, 2021. — С. 61.

[36] Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 1. — С. 404—405.

[_6a93dcdfe1da0b36-37] Кудрявцев, Курс математического анализа, 1981, Т. 1, с. 661.

[38] Пиковер К. Великая математика. От Пифагора до 57-мерных объектов. 250 основных вех в истории математики / пер. с англ. С. А. Иванова. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. — С. 140. — ISBN 978-5-9963-0514-8.

[39] Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 1. — С. 411—412.

[_6a9e4bdfe1e31c10-40] Кудрявцев, Курс математического анализа, 1981, Т. 1, с. 379.

[_687e9d33ad9a0af4-41] Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, 2003, Т. 3, с. 149.

[_f03e19b9e42fabb3-42] Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, 2003, Т. 3, с. 174—179.

[_916636e6a15ff1da-43] Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, 2003, Т. 2, с. 186—280.

[_4e01c570d2049b6c-44] Гмурман, Теория вероятностей и математическая статистика, 2003, с. 121—135.

[_b924ed73c0997467-45] Бахвалов, Жидков, Кобельков, Численные методы, 2011.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

Криволинейная трапеция

История

Античность: метод исчерпывания

Средневековье и Возрождение

XVII век: метод неделимых и рождение интеграла

Ньютон, Лейбниц и формула Ньютона — Лейбница

XIX—XX века: строгое обоснование и развитие методов

Определение

Замечания

Площадь криволинейной трапеции

Основная теорема

Обоснование

Свойства

Обобщения и связанные фигуры

Фигура между двумя графиками

Знакопеременная функция

Криволинейная трапеция относительно оси ординат

Параметрическое задание кривой

Криволинейный сектор

Несобственный случай

Тела вращения

Связь с другими разделами математики

Применение

Физика и механика

Электротехника и электроника

Теория вероятностей и статистика

Экономика

Медицина, химия, биология

Компьютерная графика и CAD-системы

Численные методы

Типичные ошибки при вычислении

Примеры

Программная реализация

Примечания

Литература

Ссылки

Категории