Интеграл Римана — Стилтьеса

Интеграл, связанный с именем этого голландского математика, появился в действительности на полвека раньше его работы. Коши изложил основы теории «сосуществующих величин» (1841) и фактически ввёл интеграл Стилтьеса в гораздо более общем виде, чем это сделал сам Стилтьес. В 1894 году Стилтьес опубликовал исследование «Recherches sur les fractions continues» («Исследование о непрерывных дробях»), где, рассматривая положительное «распределение масс на прямой, заданное возрастающей функцией, точки разрыва которой соответствуют массам, сконцентрированным в одной точке», поставил и решил совершенно новые проблемы теории аналитических функций действительной переменной. Здесь он получил «интеграл Стилтьеса» (не самого общего вида), но не стал дальше изучать этот интеграл. В последующее десятилетие это понятие, по-видимому, не обращало на себя внимания. Оно приобрело важное значение, когда в 1906 году Гильберт и его школа начинают развивать спектральную теорию операторов. В 1901 году Г. Ф. Вороной сформулировал своё понятие интеграла, очень близкое к интегралу Стилтьеса. Впоследствии он, очевидно узнав о работах Стилтьеса, прекратил исследования в этом направлении, а в своих теоретико-числовых работах стал систематически использовать этот интеграл. К 1909 году было сформулировано понятие интеграла Стилтьеса, изучены его свойства и найдены разнообразные приложения. Новая волна интереса к этому интегралу была вызвана статьёй Рисса, в которой доказано, что всякий линейный функционал в пространстве непрерывных функций выражается интегралом Стилтьеса. Понятие сразу же стало предметом многочисленных исследований. В 1928 году Лебег проанализировал забытые работы Коши и выявил значение его идей^[2].

Пусть функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle u(x)}$ определены и ограничены на ${\displaystyle [a,b]}$ и ${\displaystyle \{x_{k}\}}$ — разбиение этого сегмента: ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<...<x_{i-1}<x_{i}<...<x_{n}=b}$.

• Интегральная сумма Стилтьеса — сумма вида ${\displaystyle \sigma =f(\xi _{1})[u(x_{1})-u(x_{0})]+...+f(\xi _{i})[u(x_{i})-u(x_{i-1})]+...+f(\xi _{n})[u(x_{n})-u(x_{n-1})]}$, где ${\displaystyle x_{i-1}\leqslant \xi _{i}\leqslant x_{i}}$, ${\displaystyle i=1,2,...,n}$. (1)
• Число ${\displaystyle I}$ называют пределом интегральных сумм (1) при ${\displaystyle {\underset {i}{\max }}\Delta x_{i}\to 0}$, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдётся ${\displaystyle \delta >0}$ такое, что при ${\displaystyle {\underset {i}{\max }}\Delta x_{i}<\delta }$ справедливо неравенство ${\displaystyle |\sigma -I|<\varepsilon }$.
• Если существует конечный предел интегральных сумм (1) при ${\displaystyle {\underset {i}{\max }}\Delta x_{i}\to 0}$, его называют интегралом Римана — Стилтьеса и обозначают ${\displaystyle I=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,du(x)}$.
• Функцию ${\displaystyle f(x)}$ называют интегрируемой по функции ${\displaystyle u(x)}$ на ${\displaystyle [a,b]}$, а функцию ${\displaystyle u(x)}$ — интегрирующей^[1].
• Функция ограниченной вариации (изменения) — функции ${\displaystyle u(x)}$, определённые на сегменте ${\displaystyle [a,b]}$, (${\displaystyle a<b}$) и обладающие тем свойством, что для любого разбиения ${\displaystyle \{x_{k}\}}$ числовое множество ${\displaystyle V[\{x_{k}\}]=\sum _{i=1}^{n-1}|u(x_{i+1}-u(x_{i})|}$ ограничено сверху.

Для существования интеграла Римана — Стилтьеса достаточно выполнения одного из условий:

1) функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на ${\displaystyle [a,b]}$, а функция ${\displaystyle u(x)}$ имеет ограниченную вариацию на ${\displaystyle [a,b]}$;

2) функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема на ${\displaystyle [a,b]}$ в смысле Римана, а функция ${\displaystyle u(x)}$ удовлетворяет на ${\displaystyle [a,b]}$ условию Липшица, то есть ${\displaystyle |u(x_{1})-u(x_{2})|\leqslant C|x_{1}-x_{2}|}$, где ${\displaystyle C={\text{const}}}$, для любых ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ из ${\displaystyle [a,b]}$;

3) функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема на ${\displaystyle [a,b]}$ в смысле Римана, а функция ${\displaystyle u(x)}$ представима на ${\displaystyle [a,b]}$ в виде интеграла с переменным верхним пределом ${\displaystyle u(x)=C+\int \limits _{a}^{x}{\text{g}}(t)\,dt}$, где ${\displaystyle {\text{g}}(t)}$ абсолютно интегрируема на ${\displaystyle a\leqslant t\leqslant b}$.

Если функция ${\displaystyle u(x)}$ интегрируема по функции ${\displaystyle f(x)}$ на ${\displaystyle [a,b]}$, то и функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема по ${\displaystyle u(x)}$ на этом отрезке. Это утверждение позволяет получить ряд дополнительных условий существования интеграла Стилтьеса:

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна, а ${\displaystyle u(x)}$ возрастает на сегменте ${\displaystyle [a,b]}$, то интеграл Стилтьеса существует.

Указанный выше факт справедлив и в том случае, когда функция ${\displaystyle u(x)}$ является функцией ограниченной вариации^[1].

Интеграл Римана представляет собой частный случай интеграла Стилтьеса, когда в качестве интегрирующей функции ${\displaystyle u(x)}$ взята функция ${\displaystyle x+C}$, где ${\displaystyle C={\text{const}}}$.

При выполнении условий 3) интеграл Стилтьеса сводится к интегралу Римана по формуле ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,du(x)=\int \limits _{a}^{b}f(x){\text{g}}(x)dx}$.

В частности, это равенство имеет место в случае, если ${\displaystyle u(x)}$ имеет ограниченную и интегрируемую в смысле Римана на ${\displaystyle [a,b]}$ производную ${\displaystyle u'(x)}$. В этом случае ${\displaystyle {\text{g}}(x)=u'(x)}$.

Основные свойства интеграла Римана — Стилтьеса полностью аналогичны соответствующим свойствам интеграла Римана^[3].

• Интеграл Римана — Стилтьеса обладает свойством линейности как относительно интегрируемой, так и относительно интегрирующей функции (при условии существования каждого из интегралов в правой части):

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[\alpha f_{1}(x)+\beta f_{2}(x)]\,du(x)=\alpha \int \limits _{a}^{b}f_{1}(x)\,du(x)+\beta \int \limits _{a}^{b}f_{2}(x)\,du(x)}$;

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,d[\alpha u_{1}(x)+\beta u_{2}(x)]=\alpha \int \limits _{a}^{b}f(x)\,du_{1}(x)+\beta \int \limits _{a}^{b}f(x)\,du_{2}(x)}$, где ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — произвольные числа.

• Интеграл Римана — Стилтьеса не обладает свойством аддитивности: из существования обоих интегралов ${\displaystyle \int \limits _{a}^{c}f(x)\,du(x)}$ и ${\displaystyle \int \limits _{c}^{b}f(x)\,du(x)}$ не следует существование интеграла ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,du(x)}$ (хотя обратное утверждение, при ${\displaystyle a<c<b}$, справедливо).
• Для интеграла Римана — Стилтьеса справедлива формула среднего значения. Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ ограничена на сегменте ${\displaystyle [a,b]}$, так что ${\displaystyle m\leqslant f(x)\leqslant M}$, а функция ${\displaystyle u(x)}$ монотонно возрастает на этом сегменте. Тогда найдётся такое число ${\displaystyle \mu }$, удовлетворяющее неравенствам ${\displaystyle m\leqslant \mu \leqslant M}$, что для интеграла Римана — Стилтьеса ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,du(x)=\mu [u(b)-u(a)]}$. В частности, если дополнительно предположить непрерывность ${\displaystyle f(x)}$ на сегменте ${\displaystyle [a,b]}$, то найдётся точка ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$ такая, что ${\displaystyle \mu =f(\xi )}$^[4].
• Если функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна, то интеграл Римана — Стилтьеса не зависит от значений, принимаемых функцией ${\displaystyle u(x)}$ в её точках разрыва, лежащих внутри ${\displaystyle (a,b)}$^[5].

В случае, когда интегрирующая функция ${\displaystyle u(x)}$ монотонно возрастает, рассматривают верхнюю и нижнюю суммы Дарбу — Стилтьеса:

${\displaystyle S=\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle M_{i}[u(x_{i})-u(x_{i-1}]}$, ${\displaystyle s=\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle m_{i}[u(x_{i})-u(x_{i-1}]}$, где ${\displaystyle M_{i}}$ и ${\displaystyle m_{i}}$ — точные верхняя и нижняя грани ${\displaystyle f(x)}$ на ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$^[6].

• Если к имеющимся точкам разбиения добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу — Стилтьеса может от этого лишь возрасти, а верхняя сумма — лишь уменьшиться.
• Каждая нижняя сумма Дарбу — Стилтьеса не превосходит любой верхней суммы, отвечающей тому же или другому разбиению сегмента ${\displaystyle [a,b]}$.

Верхний и нижний интегралы Дарбу — Стилтьеса соответственно: ${\displaystyle I^{*}=\inf\{S\}}$ и ${\displaystyle I_{*}=\inf\{s\}}$, где нижняя и верхняя грани берутся по всевозможным разбиениям сегмента ${\displaystyle [a,b]}$. Для них справедливы соотношения ${\displaystyle s\leqslant I_{*}\leqslant I^{*}\leqslant S}$.

Верхний интеграл Дарбу — Стилтьеса является пределом верхних сумм ${\displaystyle S}$ при стремлении диаметра разбиений к нулю. Аналогично нижний интеграл Дарбу — Стилтьеса есть предел нижних сумм ${\displaystyle s}$^[7].

Для того чтобы ограниченная на сегменте ${\displaystyle [a,b]}$, (${\displaystyle a<b}$) функция ${\displaystyle f(x)}$ была интегрируемой на этом сегменте по возрастающей функции ${\displaystyle u(x)}$, необходимо и достаточно, чтобы для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ нашлось такое разбиение ${\displaystyle \{x_{k}\}}$ сегмента ${\displaystyle [a,b]}$, для которого ${\displaystyle S-s<\varepsilon }$[8].

${\displaystyle \left\vert \int \limits _{a}^{b}f(x)\,du(x)\right\vert \leqslant \max |f(x)V_{a}^{b}[u(x)]}$, где ${\displaystyle V_{a}^{b}[u(x)]}$ — полная вариация (изменение) функции ${\displaystyle u(x)}$ на ${\displaystyle [a,b]}$[9]. 

Дана последовательность функций ${\displaystyle \{u_{n}(x)\}}$ с ограниченной вариацией. Теоремы рассматривают возможность предельного перехода для фиксированной функции ${\displaystyle f(x)}$ под знаком интеграла Римана — Стилтьеса^[10].

Эта теорема устанавливает условия, при которых в интеграле Римана — Стилтьеса можно переходить к пределу по некоторой последовательности ${\displaystyle \{u_{n}(x)\}}$ функций с ограниченной вариацией.

Пусть функции ${\displaystyle u_{n}(x)}$ с ограниченной вариацией на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ сходятся в каждой точке этого отрезка к некоторой функции ${\displaystyle u(x)}$, причём полные изменения функций ${\displaystyle u_{n}(x)}$ ограничены в совокупности: ${\displaystyle V_{a}^{b}[u_{n}(x)]\leqslant C,\,(n=1,2,...)}$. Тогда предельная функция ${\displaystyle u(x)}$ тоже имеет ограниченную вариацию и для любой непрерывной функции ${\displaystyle f(x)}$ справедливо равенство ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{a}^{b}f(x)\,du_{n}(x)=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,du(x)}$.

Эта теорема выясняет, когда можно гарантировать само существование последовательности, удовлетворяющей условиям первой.

Из всякого бесконечного множества ${\displaystyle M}$ функций ${\displaystyle u(x)}$, заданных на некотором отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и удовлетворяющих условиям ${\displaystyle \max |u(x)|\leqslant C,\,V_{a}^{b}[u(x)]\leqslant K}$ (где ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle K}$ — постоянные, одни и те же для всех ${\displaystyle u(x)\in M}$), можно выбрать последовательность, сходящуюся в каждой точке отрезка ${\displaystyle [a,b]}$.

Всякий линейный непрерывный функционал ${\displaystyle F}$ в пространстве ${\displaystyle C[a,b]}$ представим в виде ${\displaystyle F(f)=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,du(x)}$, где ${\displaystyle u(x)}$ — некоторая функция с ограниченной вариацией. При этом ${\displaystyle \lVert F\rVert =V_{a}^{b}[u(x)]}$. Это выражение можно представить в следующем виде:

Существует изоморфное соответствие между пространствами ${\displaystyle C[a,b]}$ и ${\displaystyle V^{0}[a,b]}$, устанавливаемое равенством ${\displaystyle F(f)=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,du(x)}$.

Такое представление линейного функционала с помощью функции из ${\displaystyle V^{0}[a,b]}$ называю каноническим. Из этой теоремы получается следующая теорема о каноническом представлении линейного функционала на пространстве ${\displaystyle C^{1}[a,b]}$ непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций, играющую существенную роль в вариационных задачах^[10].

Всякий линейный функционал в пространстве ${\displaystyle C^{1}[a,b]}$ можно представить одним и только одним способом в виде ${\displaystyle F(f)=\alpha f(a)+\int \limits _{a}^{b}f'(x)\,du(x)}$, где ${\displaystyle \alpha }$ — число и ${\displaystyle u(x)\in V^{0}[a,b]}$.

Интеграл Римана — Стилтьеса имеет многочисленные применения в анализе. Например, всякий линейный непрерывный функционал в пространстве непрерывных на отрезке числовой оси функций может быть записан в форме интеграла Римана — Стилтьеса, всякая абсолютно монотонная при ${\displaystyle x<0}$ функция может быть представлена в виде суммы константы и интеграла Римана — Стилтьеса, всякая аналитическая функция в круге ${\displaystyle |z|<1}$ с неотрицательной вещественной частью может быть записана в виде суммы комплексного числа и интеграла Римана — Стилтьеса. Понятие интеграла Римана — Стилтьеса может быть использовано для построения спектральных разложений самосопряжённых операторов^[11].