Таблица производных

• ${\displaystyle {d \over dx}c=0}$

• ${\displaystyle {d \over dx}x=1}$

• ${\displaystyle {d \over dx}cx=c}$

• ${\displaystyle {d \over dx}x^{c}=cx^{c-1},}$ когда ${\displaystyle x^{c}}$ и ${\displaystyle cx^{c-1}}$ определены, ${\displaystyle c\neq 0}$

• ${\displaystyle {d \over dx}|x|={x \over |x|}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0}$ (в точке ${\displaystyle x=0}$ производная не определена)

• ${\displaystyle {d \over dx}\left({1 \over x}\right)={d \over dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\left({1 \over x^{c}}\right)={d \over dx}\left(x^{-c}\right)=-{c \over x^{c+1}}}$

• ${\displaystyle {d \over dx}{\sqrt {x}}={d \over dx}x^{1 \over 2}={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0}$

• ${\displaystyle {d \over dx}{\sqrt[{n}]{x}}={d \over dx}x^{1 \over n}={1 \over n}x^{1-n \over n}={\frac {1}{n\cdot {\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}}}$ (для ${\displaystyle n>1}$ производная в точке ${\displaystyle x=0}$ не существует)

• ${\displaystyle {d \over dx}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}$^[1]

• ${\displaystyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}}$

• ${\displaystyle {d \over dx}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x}}$
• ${\displaystyle {d \over dx}\log _{a}x={\frac {\log _{a}e}{x}}={\frac {1}{x\ln a}},\qquad a>0,a\neq 1,x>0}$^[2]

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}f(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln f(x)}{\ln(a)}}={\frac {f'(x)}{f(x)\ln(a)}}.}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\sin x=\cos x}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\cos x=-\sin x}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {tg} \,x=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=\operatorname {tg} ^{2}x+1}$

Производная определена при ${\displaystyle x\neq \pi /2+\pi k}$, где ${\displaystyle k}$ — целое число^[3]

• ${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {ctg} \,x=-\,\operatorname {cosec} ^{2}\,x=-{1 \over \sin ^{2}x}}$

Производная определена при ${\displaystyle x\neq \pi k}$, где ${\displaystyle k}$ — целое число^[3]

• ${\displaystyle {d \over dx}\sec x=\,\operatorname {tg} \,x\sec x}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {cosec} \,x=-\,\operatorname {ctg} \,x\,\operatorname {cosec} \,x}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\arcsin x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Интервал дифференцируемости: ${\displaystyle (-1,1)}$^[4]

• ${\displaystyle {d \over dx}\arccos x=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Интервал дифференцируемости: ${\displaystyle (-1,1)}$^[4]

• ${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arctg} \,x={1 \over 1+x^{2}}}$

Интервал дифференцируемости: ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$^[5]

• ${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arcctg} \,x=-{1 \over 1+x^{2}}}$

Интервал дифференцируемости: ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$^[5]

• ${\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arcsec} x={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arccosec} \,x=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {sh} \,x=\,\operatorname {ch} \,x}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {ch} \,x=\,\operatorname {sh} \,x}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {th} \,x=\,\operatorname {sech} ^{2}\,x=1-\operatorname {th} ^{2}\,x}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {sech} \,x=-\operatorname {th} x\,\operatorname {sech} \,x}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {cth} \,x=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}$

Производная определена при ${\displaystyle x\neq 0}$^[6]

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {csch} \,x=-\,\operatorname {cth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arsh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arch} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}}$, при ${\displaystyle x>1}$^[7]

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arth} \,x={1 \over 1-x^{2}}}$, при ${\displaystyle |x|<1}$^[7]

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arsech} \,x=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arcth} \,x={1 \over 1-x^{2}}}$, при ${\displaystyle |x|>1}$^[7]

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

${\displaystyle \left({cf}\right)'=cf'}$

${\displaystyle \left({f+g}\right)'=f'+g'}$

${\displaystyle \left({f-g}\right)'=f'-g'}$

${\displaystyle \left({fg}\right)'=f'g+fg'}$ (частный случай формулы Лейбница)

${\displaystyle \left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}},\qquad g\neq 0}$

${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\qquad f>0}$

${\displaystyle (f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)}$ — Правило дифференцирования сложной функции

${\displaystyle (\ln |f(x)|)'={\frac {f'(x)}{f(x)}},\qquad f(x)\neq 0}$^[8]

${\displaystyle (f^{c})'=c\left(f^{c-1}\right)f'}$

${\displaystyle g'(y)={\frac {1}{f'(x)}}}$ — правило дифференцирования обратной функции, где ${\displaystyle y=f(x)}$ и ${\displaystyle x=g(y)}$^[9]

• ${\displaystyle {d \over dx}W(x)={W(x) \over x(1+W(x))}}$^[10], где ${\displaystyle W(x)}$ — W-функция Ламберта (при ${\displaystyle x\neq 0}$ и ${\displaystyle x\neq -1/e}$)
• ${\displaystyle {d \over dx}\operatorname {Si} (x)={\sin x \over x}}$^[11], где ${\displaystyle \operatorname {Si} (x)}$ — интегральный синус
• ${\displaystyle {d \over dx}\operatorname {Ci} (x)={\cos x \over x}}$^[12], где ${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)}$ — интегральный косинус

• ${\displaystyle \left(x^{p}\right)^{(n)}=p(p-1)\dots (p-n+1)x^{p-n}}$
• ${\displaystyle \left(a^{kx+b}\right)^{(n)}=k^{n}a^{kx+b}\ln ^{n}a}$
• ${\displaystyle \left(e^{kx+b}\right)^{(n)}=k^{n}e^{kx+b}}$
• ${\displaystyle \left(\sin(ax)\right)^{(n)}=a^{n}\sin \left(ax+{\frac {\pi n}{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \left(\cos(ax)\right)^{(n)}=a^{n}\cos \left(ax+{\frac {\pi n}{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \left(\ln |x|\right)^{(n)}=(-1)^{n-1}{\frac {(n-1)!}{x^{n}}}}$
• ${\displaystyle \left({\frac {1}{ax+b}}\right)^{(n)}=(-1)^{n}{\frac {a^{n}n!}{(ax+b)^{n+1}}}}$^[13][14][15]

Для нахождения ${\displaystyle n}$-й производной произведения двух функций используется формула Лейбница:

${\displaystyle (uv)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(k)}v^{(n-k)};}$

где ${\displaystyle C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ — биномиальные коэффициенты^[13][14][15].