Таблица производных

Таблица производных — это список формул и правил дифференцирования, используемых для нахождения производных элементарных, специальных функций и функций высших порядков.

Сформулировано правило дифференцирования сложной функции, которое применяется для нахождения производной композиции функций.

Также приведено правило дифференцирования обратной функции и отмечен частный случай формулы Лейбница.

В секции перечислены производные основных тригонометрических и обратных тригонометрических функций с указанием интервалов, на которых каждая производная определена.

В секции приведены производные W-функции Ламберта, интегрального синуса и интегрального косинуса, для каждой указана область определения.

Для n-й производной произведения двух функций используется формула Лейбница, в которой участвуют биномиальные коэффициенты.

Вычисление производной — важнейшая операция в дифференциальном исчислении. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций.

В этих формулах $f$ и $g$ — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а $c$ — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

${d \over dx}c=0$

${d \over dx}x=1$

${d \over dx}cx=c$

Вывод

$(cx)'=cx'=c$

${d \over dx}x^{c}=cx^{c-1},$ когда $x^{c}$ и $cx^{c-1}$ определены, $c\neq 0$

Вывод

(x+h)^{c}=x^{c}+(x^{c})'h+o(h)

(x+h)^{c}-x^{c}=(x^{c})'h+o(h)

\sum _{k=0}^{c}{c \choose k}x^{c-k}h^{k}-x^{c}=(x^{c})'h+o(h)

x^{c}+cx^{c-1}h+\sum _{k=2}^{c}{c \choose k}x^{c-k}h^{k}-x^{c}=(x^{c})'h+o(h)

cx^{c-1}h+\sum _{k=2}^{c}{c \choose k}x^{c-k}h^{k}=(x^{c})'h+o(h)

cx^{c-1}h+o(h)=(x^{c})'h+o(h)

\lim _{h\rightarrow 0}(cx^{c-1}+{\frac {o(h)}{h}})=\lim _{h\rightarrow 0}((x^{c})'+{\frac {o(h)}{h}})

cx^{c-1}=(x^{c})'

${d \over dx}|x|={x \over |x|}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0$ (в точке $x=0$ производная не определена)

Вывод

Так как

|x|={\sqrt {x^{2}}}

, то пусть

g(x)=x^{2},\quad h(x)={\sqrt {x}}

и

f(x)=h(g(x))={\sqrt {x^{2}}}=|x|

Тогда

f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}}}}}\cdot 2x={\frac {x}{\sqrt {x^{2}}}}={\frac {x}{|x|}}

${d \over dx}\left({1 \over x}\right)={d \over dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}$

${d \over dx}\left({1 \over x^{c}}\right)={d \over dx}\left(x^{-c}\right)=-{c \over x^{c+1}}$

${d \over dx}{\sqrt {x}}={d \over dx}x^{1 \over 2}={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0$

${d \over dx}{\sqrt[{n}]{x}}={d \over dx}x^{1 \over n}={1 \over n}x^{1-n \over n}={\frac {1}{n\cdot {\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}}$ (для $n>1$ производная в точке $x=0$ не существует)

${d \over dx}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0,c\neq 1$ ^[1]

Вывод

${d \over dx}c^{x}={d \over dx}e^{x\ln c}=e^{x\ln c}\ln c=c^{x}\ln c$

${d \over dx}e^{x}=e^{x}$

${d \over dx}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}$

${d \over dx}\ln x={1 \over x}$
${d \over dx}\log _{a}x={\frac {\log _{a}e}{x}}={\frac {1}{x\ln a}},\qquad a>0,a\neq 1,x>0$ ^[2]

Вывод

log_{a}(x+h)=log_{a}x+(log_{a}x)'h+o(h)

log_{a}(x+h)-log_{a}x=(log_{a}x)'h+o(h)

log_{a}(1+{\frac {h}{x}})=(log_{a}x)'h+o(h)

log_{a}e{\frac {h}{x}}=(log_{a}x)'h+o(h)

${\frac {d}{dx}}\log _{a}f(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln f(x)}{\ln(a)}}={\frac {f'(x)}{f(x)\ln(a)}}.$

${d \over dx}\sin x=\cos x$

Вывод

\sin(x+h)=\sin x+(\sin x)'h+o(h)

\sin(x+h)-\sin x=(\sin x)'h+o(h)

2\sin {\frac {h}{2}}\cos {\frac {2x+h}{2}}=(\sin x)'h+o(h)

2({\frac {h}{2}}+o(h))(\cos x+o(1))=(\sin x)'h+o(h)

(\cos x)h+o(h)=(\sin x)'h+o(h)

\cos x=\sin 'x

${d \over dx}\cos x=-\sin x$

${d \over dx}\,\operatorname {tg} \,x=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=\operatorname {tg} ^{2}x+1$

Производная определена при

x\neq \pi /2+\pi k

, где

k

— целое число^[3]

${d \over dx}\,\operatorname {ctg} \,x=-\,\operatorname {cosec} ^{2}\,x=-{1 \over \sin ^{2}x}$

Производная определена при

x\neq \pi k

, где

k

— целое число^[3]

${d \over dx}\sec x=\,\operatorname {tg} \,x\sec x$

${d \over dx}\,\operatorname {cosec} \,x=-\,\operatorname {ctg} \,x\,\operatorname {cosec} \,x$

${d \over dx}\arcsin x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

Интервал дифференцируемости:

(-1,1)

^[4]

${d \over dx}\arccos x=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

Интервал дифференцируемости:

(-1,1)

^[4]

${d \over dx}\,\operatorname {arctg} \,x={1 \over 1+x^{2}}$

Интервал дифференцируемости:

(-\infty ,+\infty )

^[5]

${d \over dx}\,\operatorname {arcctg} \,x=-{1 \over 1+x^{2}}$

Интервал дифференцируемости:

(-\infty ,+\infty )

^[5]

${d \over dx}\operatorname {arcsec} x={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arccosec} \,x=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

{d \over dx}\,\operatorname {sh} \,x=\,\operatorname {ch} \,x

{d \over dx}\,\operatorname {ch} \,x=\,\operatorname {sh} \,x

{d \over dx}\,\operatorname {th} \,x=\,\operatorname {sech} ^{2}\,x=1-\operatorname {th} ^{2}\,x

{d \over dx}\,\operatorname {sech} \,x=-\operatorname {th} x\,\operatorname {sech} \,x

{d \over dx}\,\operatorname {cth} \,x=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x

Производная определена при

x\neq 0

^[6]

{d \over dx}\,\operatorname {csch} \,x=-\,\operatorname {cth} \,x\,\operatorname {csch} \,x

{d \over dx}\,\operatorname {arsh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}

{d \over dx}\,\operatorname {arch} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}

, при

x>1

^[7]

{d \over dx}\,\operatorname {arth} \,x={1 \over 1-x^{2}}

, при

|x|<1

^[7]

{d \over dx}\,\operatorname {arsech} \,x=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}

{d \over dx}\,\operatorname {arcth} \,x={1 \over 1-x^{2}}

, при

|x|>1

^[7]

{d \over dx}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}

\left({cf}\right)'=cf'

\left({f+g}\right)'=f'+g'

\left({f-g}\right)'=f'-g'

\left({fg}\right)'=f'g+fg'

(частный случай формулы Лейбница)

\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}},\qquad g\neq 0

(f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\qquad f>0

(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)

— Правило дифференцирования сложной функции

(\ln |f(x)|)'={\frac {f'(x)}{f(x)}},\qquad f(x)\neq 0

^[8]

(f^{c})'=c\left(f^{c-1}\right)f'

g'(y)={\frac {1}{f'(x)}}

— правило дифференцирования обратной функции, где

y=f(x)

и

x=g(y)

^[9]

${d \over dx}W(x)={W(x) \over x(1+W(x))}$ ^[10], где $W(x)$ — W-функция Ламберта (при $x\neq 0$ и $x\neq -1/e$ )
${d \over dx}\operatorname {Si} (x)={\sin x \over x}$ ^[11], где $\operatorname {Si} (x)$ — интегральный синус
${d \over dx}\operatorname {Ci} (x)={\cos x \over x}$ ^[12], где $\operatorname {Ci} (x)$ — интегральный косинус

$\left(x^{p}\right)^{(n)}=p(p-1)\dots (p-n+1)x^{p-n}$
$\left(a^{kx+b}\right)^{(n)}=k^{n}a^{kx+b}\ln ^{n}a$
$\left(e^{kx+b}\right)^{(n)}=k^{n}e^{kx+b}$
$\left(\sin(ax)\right)^{(n)}=a^{n}\sin \left(ax+{\frac {\pi n}{2}}\right)$
$\left(\cos(ax)\right)^{(n)}=a^{n}\cos \left(ax+{\frac {\pi n}{2}}\right)$
$\left(\ln |x|\right)^{(n)}=(-1)^{n-1}{\frac {(n-1)!}{x^{n}}}$
$\left({\frac {1}{ax+b}}\right)^{(n)}=(-1)^{n}{\frac {a^{n}n!}{(ax+b)^{n+1}}}$ ^[13]^[14]^[15]