Теорема о перестановке ряда

Далее ${\displaystyle m_{k}=\varphi (k)}$, где ${\displaystyle \varphi :\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$— перестановка натурального ряда.

Если ряд ${\displaystyle \sum a_{k}}$ положительный, то

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{m_{k}}}$${\displaystyle \leqslant \sum _{k=1}^{N}a_{k},}$

где ${\displaystyle N=\max \left\{m_{1},m_{2},...,m_{n}\right\},}$ и поэтому

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{m_{k}}}$${\displaystyle \leqslant \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}$

Следовательно, перестановка ряда не увеличивает суммы, а так как ряд ${\displaystyle \sum a_{k}}$ в свою очередь является перестановкой ряда ${\displaystyle \sum a_{m_{k}}}$, то обе суммы совпадают.
Если ряд ${\displaystyle \sum a_{k}}$ знакопеременный, то на основании первой части доказательства

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{m_{k}}}$${\displaystyle =\sum _{k=1}^{\infty }b_{m_{k}}}$${\displaystyle -\sum _{k=1}^{\infty }c_{m_{k}}}$${\displaystyle =\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}-\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}$