Численные методы

Рассмотрим несколько характерных задач из различных направлений вычислительных методов.

Пример 1 (системы линейных уравнений). В статистике при методе наименьших квадратов для аппроксимации зависимости ${\displaystyle y=a+bx}$ по ${\displaystyle n}$ экспериментальным точкам ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ возникает система нормальных уравнений:

${\displaystyle {\begin{cases}na+b\sum x_{i}=\sum y_{i}\\a\sum x_{i}+b\sum x_{i}^{2}=\sum x_{i}y_{i}\end{cases}}}$

Решение этой системы методом Гаусса даёт оценки параметров ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$^[3].

Пример 2 (численное интегрирование). Вычисление определённого интеграла ${\displaystyle \int _{0}^{1}e^{-x^{2}}dx}$, не выражающегося через элементарные функции, производится по формуле Симпсона:

${\displaystyle \int _{0}^{1}e^{-x^{2}}dx\approx {\frac {1}{6}}\left(f(0)+4f\!\left({\tfrac {1}{2}}\right)+f(1)\right)\approx 0{,}7472}$

с погрешностью порядка ${\displaystyle O(h^{4})}$^[4].

Пример 3 (оптимизация). Задача о нахождении минимума функции ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}+xy-3x}$ решается методом градиентного спуска: итерационная формула ${\displaystyle {\bar {x}}_{k+1}={\bar {x}}_{k}-\alpha \nabla f({\bar {x}}_{k})}$ при ${\displaystyle \alpha =0{,}2}$ и начальном приближении ${\displaystyle (x_{0},y_{0})=(2,1)}$ сходится к точке минимума ${\displaystyle (2,-1)}$.

Пример 1 (дискретизация дифференциального уравнения). Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\quad u(x,0)=\varphi (x).}$

Заменяя производные конечными разностями на сетке ${\displaystyle x_{i}=ih}$, ${\displaystyle t_{j}=j\tau }$, получаем явную разностную схему:

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{j+1}-u_{i}^{j}}{\tau }}=a^{2}{\frac {u_{i+1}^{j}-2u_{i}^{j}+u_{i-1}^{j}}{h^{2}}}.}$

Условие устойчивости такой схемы (условие Куранта) имеет вид ${\displaystyle \tau \leq {\frac {h^{2}}{2a^{2}}}}$^[9].

Пример 2 (оценка погрешности). При вычислении суммы ${\displaystyle S=\sum _{k=1}^{10^{6}}{\frac {1}{k^{2}}}}$ в арифметике с плавающей запятой (32 бита) суммирование «от большего к меньшему» даёт значение ${\displaystyle 1{,}64493}$, тогда как суммирование «от меньшего к большему» — ${\displaystyle 1{,}64491}$. Разница обусловлена накоплением погрешности округления, что иллюстрирует необходимость анализа устойчивости алгоритма^[10].

Пример 3 (переход от непрерывной модели к дискретной). Интегральное уравнение Фредгольма II рода:

${\displaystyle y(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,s)\,y(s)\,ds}$

заменяется системой линейных алгебраических уравнений после применения квадратурной формулы:

${\displaystyle y_{i}=f(x_{i})+\lambda \sum _{j=1}^{n}A_{j}K(x_{i},x_{j})y_{j},\quad i=1,\dots ,n,}$

где ${\displaystyle A_{j}}$ — веса квадратурной формулы, ${\displaystyle x_{j}}$ — её узлы.

Пример 1 (абсолютная и относительная погрешность). Пусть истинное значение числа ${\displaystyle \pi =3{,}14159265\dots }$, а приближённое — ${\displaystyle {\tilde {\pi }}=3{,}14}$. Тогда:

• абсолютная погрешность: ${\displaystyle \Delta =|\pi -{\tilde {\pi }}|\approx 0{,}00159}$;
• относительная погрешность: ${\displaystyle \delta ={\frac {\Delta }{\pi }}\approx 5{,}06\cdot 10^{-4}}$.

Пример 2 (наследование погрешности при арифметических операциях). При вычислении ${\displaystyle z=x+y}$, где ${\displaystyle x=2{,}5\pm 0{,}01}$, ${\displaystyle y=1{,}3\pm 0{,}02}$, предельная абсолютная погрешность суммы равна:

${\displaystyle \Delta z=\Delta x+\Delta y=0{,}01+0{,}02=0{,}03.}$

При умножении ${\displaystyle z=xy}$ относительная погрешность:

${\displaystyle \delta z=\delta x+\delta y={\frac {0{,}01}{2{,}5}}+{\frac {0{,}02}{1{,}3}}\approx 0{,}0194.}$

Пример 3 (погрешность метода). При замене интеграла ${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}dx}$ суммой по формуле трапеций с шагом ${\displaystyle h=0{,}5}$:

${\displaystyle I\approx {\frac {0{,}5}{2}}\left(f(0)+2f(0{,}5)+f(1)\right)={\frac {0{,}5}{2}}(0+0{,}5+1)=0{,}375,}$

тогда как точное значение ${\displaystyle I={\frac {1}{3}}\approx 0{,}333}$. Погрешность метода составляет ${\displaystyle \approx 0{,}042}$, что согласуется с оценкой ${\displaystyle |R|\leq {\frac {(b-a)^{3}}{12n^{2}}}\max |f''(x)|={\frac {1}{12\cdot 4}}\cdot 2={\frac {1}{24}}\approx 0{,}042}$.

Для получения значения функции ${\displaystyle f(x)}$, заданной таблицей значений, на промежуточных значениях аргумента строят приближённую функцию ${\displaystyle \varphi (x)}$, которая в заданных точках ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{m}}$, которые называются узлами интерполирования, принимает значения ${\displaystyle f(x_{0}),\dots ,f(x_{m})}$, а в остальных точках принадлежит области определения функции. Чаще всего приближённая функция строится в виде алгебраического многочлена, включающего первые ${\displaystyle n+1}$ элементов линейно независимой системы. На практике в качестве элементов линейно независимой системы используют последовательность степеней ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle 1,x,x^{2},\dots }$, тригонометрических функций: ${\displaystyle 1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\dots }$, показательных функций: ${\displaystyle 1,e^{\alpha _{1}x},e^{\alpha _{2}x},\dots }$^[16].

Для построения интерполирующей функции в таком случае необходимо решить систему из ${\displaystyle m+1}$ уравнений с ${\displaystyle n+1}$ неизвестными. На получившуюся матрицу системы накладываются определённые условия: ранг матрицы должен быть равен ${\displaystyle m+1}$, а ${\displaystyle n\geq m}$ — чтобы гарантировать условие линейной независимости, ${\displaystyle n=m}$ — чтобы решение задачи было однозначным, определитель матрицы ${\displaystyle \Delta \neq 0}$ — чтобы существовало решение и притом единственное^[17]. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа ${\displaystyle L_{n}(x)}$ является базовым методом решения подобного рода задач, очень ресурсоёмким и трудно расширяемым^[18].

Следующим шагом является введение понятия разделённой разности ${\displaystyle k}$-го порядка на базе отношений разности значения функции в соседних узлах к расстоянию между узлами, которая в силу своего определения обладает рядом полезных свойств, в частности разделённые разности порядка ${\displaystyle n}$ от многочлена степени ${\displaystyle n}$ являются константой, а разности более высокого порядка равны ${\displaystyle 0}$^[19]. Разделённые разности позволяют переписать интерполяционный многочлен Лагранжа в виде, более удобном для вычислений. Новая формула носит название интерполяционного многочлена Ньютона^[20], в случае равных промежутков формула значительно упрощается^[21]. С использованием разделённых разностей строятся интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя, Эверетта^[22]. В общем случае разделённые разности сначала убывают с повышением порядка, а затем начинают снова расти, иными словами, нет смысла использовать разности высоких порядков в вычислениях^[23]. При этом возникает вопрос сходимости интерполяционного процесса, для решения которого привлекаются различные методы математического анализа^[24].

Разделённые разности для функции ${\displaystyle f(x)=2x^{3}-2x^{2}+3x-1}$

Пример 1 (многочлен Лагранжа). По таблице значений ${\displaystyle f(0)=1}$, ${\displaystyle f(1)=3}$, ${\displaystyle f(2)=9}$ строим интерполяционный многочлен Лагранжа:

${\displaystyle L_{2}(x)=1\cdot {\frac {(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)}}+3\cdot {\frac {x(x-2)}{1\cdot (1-2)}}+9\cdot {\frac {x(x-1)}{2\cdot (2-1)}}=x^{2}+x+1.}$

Значение в точке ${\displaystyle x=0{,}5}$: ${\displaystyle L_{2}(0{,}5)=1{,}75}$.

Пример 2 (многочлен Ньютона). Для функции, заданной таблицей с равными шагами ${\displaystyle h=1}$:

${\displaystyle x}$	0	1	2	3
${\displaystyle f(x)}$	1	2	5	10

Разностная таблица имеет вид:

${\displaystyle x}$	${\displaystyle f}$	${\displaystyle \Delta f}$	${\displaystyle \Delta ^{2}f}$	${\displaystyle \Delta ^{3}f}$
0	1	1	2	0
1	2	3	2
2	5	5
3	10

Передний интерполяционный многочлен Ньютона:

${\displaystyle N(x)=1+1\cdot x+2\cdot {\frac {x(x-1)}{2!}}+0=x^{2}+1.}$

Пример 3 (разделённые разности). Для узлов ${\displaystyle x_{0}=0,x_{1}=1,x_{2}=3}$ и значений ${\displaystyle f(0)=1,f(1)=2,f(3)=10}$:

${\displaystyle f[x_{0},x_{1}]={\frac {2-1}{1-0}}=1,\quad f[x_{1},x_{2}]={\frac {10-2}{3-1}}=4,}$

${\displaystyle f[x_{0},x_{1},x_{2}]={\frac {4-1}{3-0}}=1.}$

Многочлен Ньютона: ${\displaystyle P(x)=1+1\cdot x+1\cdot x(x-1)=x^{2}+1}$.

При решении практических задач необходимо многократно вычислять значения заданной функции, что в общем случае является ресурсоёмкой операцией. Возникает необходимость нахождения функции наилучшего равномерного приближения^[25].

Рассмотрим пространство ${\displaystyle C[a,b]}$ непрерывных на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ функций с нормой

${\displaystyle \lVert f\rVert =\max _{x\in [a,b]}|f(x)|=\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|}$.

Для приближения функции ${\displaystyle f\in C[a,b]}$ образуют подпространство размерности ${\displaystyle n+1}$, состоящее из всевозможных линейных комбинаций заданной системы функций, для которых определена норма и существует её точная нижняя грань. Элемент, в котором эта грань достигается, называют элементом наилучшего приближения, или проекцией^[26].

Можно доказать, что в подпространстве всегда существует элемент наилучшего приближения^[27], а при условии строгой нормированности пространства такой элемент является единственным^[28]. В пространстве непрерывных функций ${\displaystyle C[a,b]}$ с указанной выше нормой также существует элемент наилучшего приближения^[29], но условием его единственности является то, что система базисных функций образует систему Чебышёва (любая нетривиальная линейная комбинация имеет не более ${\displaystyle n}$ нулей). При этом сама ошибка аппроксимации должна удовлетворять теореме Чебышёва об альтернансе^[30].

Теория функций применима к системе степенных функций, так как она является системой Чебышёва на любом отрезке^[31]. Согласно теореме Вейерштрасса, при увеличении размерности подпространства (${\displaystyle n\to \infty }$) разность между проекцией и заданной функцией стремится к нулю^[32]. Порядок этого приближения зависит от структурных особенностей функции, его можно определить с помощью многочленов Бернштейна^[33]. Система тригонометрических функций также обладает свойствами системы Чебышёва на отрезке ${\displaystyle [0,2\pi )}$, для неё также разность между проекцией и заданной функцией стремится к нулю^[34].

Несмотря на показанное существование многочлена наилучшего приближения, способов его точного построения не существует. Вместо этого используют несколько способов приближённого построения многочленов наилучшего равномерного приближения^[35].

Пример 1 (наилучшее равномерное приближение). Для функции ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ на отрезке ${\displaystyle [-1,1]}$ ищется многочлен первой степени ${\displaystyle p(x)=ax+b}$, минимизирующий ${\displaystyle \max _{x\in [-1,1]}|x^{2}-ax-b|}$. По теореме Чебышёва об альтернансе, оптимальное приближение ${\displaystyle p(x)={\frac {1}{2}}}$ обеспечивает ошибку ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$, достигаемую в трёх точках ${\displaystyle -1,0,1}$ с чередующимися знаками^[36].

Пример 2 (многочлены Чебышёва). Первый многочлен Чебышёва ${\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x}$ на отрезке ${\displaystyle [-1,1]}$ имеет три корня ${\displaystyle x_{k}=\cos {\frac {(2k-1)\pi }{6}}}$, ${\displaystyle k=1,2,3}$. Использование узлов Чебышёва при интерполяции позволяет существенно уменьшить эффект Рунге — колебания интерполяционного многочлена высокой степени у концов отрезка.

Пример 3 (приближение Бернштейна). Многочлены Бернштейна для функции ${\displaystyle f(x)=|x|}$ на ${\displaystyle [0,1]}$ имеют вид:

${\displaystyle B_{n}(f,x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {k}{n}}C_{n}^{k}x^{k}(1-x)^{n-k}.}$

При ${\displaystyle n=2}$: ${\displaystyle B_{2}(f,x)={\frac {1}{2}}\cdot 2x(1-x)+1\cdot x^{2}=x-{\frac {x^{2}}{2}}}$. С ростом ${\displaystyle n}$ последовательность ${\displaystyle B_{n}}$ равномерно сходится к ${\displaystyle f(x)}$.

Во многих случаях требование равномерного приближения является избыточным и достаточно «интегральной» близости функций, кроме того значения приближённых функций, полученные из эксперимента, несут на себе случайные погрешности, а требовать совпадения приближающей и приближаемой функции, если последняя содержит неточности, нецелесообразно. Метод среднеквадратичного приближения принимает за меру близости следующую величину

${\displaystyle \delta ={\sqrt {\int _{a}^{b}p(x)[f(x)-\phi (x)]^{2}dx}},}$

что позволяет отказаться от интерполяции подынтегральной функции и требования непрерывности, сохранив только требование интегрируемости с квадратом^[37].

Пример 1 (метод наименьших квадратов). По экспериментальным данным:

${\displaystyle x}$	1	2	3	4
${\displaystyle y}$	2{,}1	3{,}9	6{,}2	7{,}8

ищется линейная зависимость ${\displaystyle y=a+bx}$, минимизирующая ${\displaystyle \delta ^{2}=\sum _{i=1}^{4}(y_{i}-a-bx_{i})^{2}}$. Нормальные уравнения:

${\displaystyle {\begin{cases}4a+10b=20\\10a+30b=58{,}4\end{cases}}}$

откуда ${\displaystyle a\approx 0{,}12}$, ${\displaystyle b\approx 1{,}928}$.

Пример 2 (ортогональные многочлены). При аппроксимации функции ${\displaystyle f(x)}$ на ${\displaystyle [-1,1]}$ с весом ${\displaystyle p(x)=1}$ удобно использовать многочлены Лежандра ${\displaystyle P_{0}(x)=1}$, ${\displaystyle P_{1}(x)=x}$, ${\displaystyle P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1)}$. Коэффициенты разложения ${\displaystyle f(x)\approx \sum _{k=0}^{n}c_{k}P_{k}(x)}$ вычисляются по формуле:

${\displaystyle c_{k}={\frac {2k+1}{2}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{k}(x)\,dx.}$

Для ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ при ${\displaystyle n=2}$: ${\displaystyle c_{0}\approx 1{,}175}$, ${\displaystyle c_{1}\approx 1{,}104}$, ${\displaystyle c_{2}\approx 0{,}243}$.

Пример 3 (сглаживание экспериментальных данных). При обработке зашумлённых измерений температуры ${\displaystyle T_{i}}$, проведённых в моменты ${\displaystyle t_{i}}$, метод наименьших квадратов с квадратичной моделью ${\displaystyle T(t)=a+bt+ct^{2}}$ даёт сглаженную кривую, среднеквадратичное отклонение которой от исходных данных составляет ${\displaystyle \delta \approx 0{,}3\,^{\circ }\mathrm {C} }$, что существенно меньше разброса исходных точек.

Пример 1 (численное дифференцирование). По таблице значений функции:

${\displaystyle x}$	0{,}0	0{,}1	0{,}2	0{,}3
${\displaystyle f(x)}$	1{,}000	1{,}105	1{,}221	1{,}350

производная в точке ${\displaystyle x=0{,}1}$ вычисляется по центральной разностной формуле:

${\displaystyle f'(0{,}1)\approx {\frac {f(0{,}2)-f(0{,}0)}{2h}}={\frac {1{,}221-1{,}000}{0{,}2}}\approx 1{,}105.}$

Точное значение ${\displaystyle f'(0{,}1)=e^{0{,}1}\approx 1{,}1052}$, погрешность ${\displaystyle \approx 2\cdot 10^{-4}}$.

Пример 2 (формула трапеций). Вычисление ${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}}$ при ${\displaystyle n=4}$, ${\displaystyle h=0{,}25}$:

${\displaystyle I\approx {\frac {0{,}25}{2}}\left(1+2\cdot {\frac {1}{1{,}25}}+2\cdot {\frac {1}{1{,}5}}+2\cdot {\frac {1}{1{,}75}}+{\frac {1}{2}}\right)\approx 0{,}6974.}$

Точное значение ${\displaystyle \ln 2\approx 0{,}6931}$, погрешность ${\displaystyle \approx 0{,}004}$.

Пример 3 (формула Симпсона). Тот же интеграл по формуле Симпсона:

${\displaystyle I\approx {\frac {0{,}25}{3}}\left(1+4\cdot {\frac {1}{1{,}25}}+2\cdot {\frac {1}{1{,}5}}+4\cdot {\frac {1}{1{,}75}}+{\frac {1}{2}}\right)\approx 0{,}6933.}$

Погрешность ${\displaystyle \approx 2\cdot 10^{-4}}$, что существенно меньше, чем у формулы трапеций.

Пример 4 (формулы Гаусса). Вычисление ${\displaystyle \int _{-1}^{1}e^{x}dx}$ по двухточечной формуле Гаусса с узлами ${\displaystyle x_{1,2}=\pm {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ и весами ${\displaystyle A_{1}=A_{2}=1}$:

${\displaystyle I\approx e^{-1/{\sqrt {3}}}+e^{1/{\sqrt {3}}}\approx 0{,}5615+1{,}7013=2{,}2628.}$

Точное значение ${\displaystyle e-e^{-1}\approx 2{,}3504}$. Трёхточечная формула Гаусса даёт результат с точностью до ${\displaystyle 10^{-4}}$.

Пример 5 (метод Монте-Карло). Вычисление ${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy}$ методом Монте-Карло: генерируется ${\displaystyle N=10^{5}}$ пар случайных чисел ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$, равномерно распределённых на ${\displaystyle [0,1]^{2}}$, и вычисляется среднее:

${\displaystyle I\approx {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\approx 0{,}667.}$

Точное значение ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$.

Пример 1 (метод Гаусса). Решение системы:

${\displaystyle {\begin{cases}2x_{1}+x_{2}-x_{3}=8\\-3x_{1}-x_{2}+2x_{3}=-11\\-2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=-3\end{cases}}}$

Прямой ход: после исключения ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ получаем треугольную систему. Обратный ход даёт ${\displaystyle x_{1}=2}$, ${\displaystyle x_{2}=3}$, ${\displaystyle x_{3}=-1}$.

Пример 2 (метод квадратного корня). Для симметричной положительно определённой матрицы

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}4&2&0\\2&5&1\\0&1&3\end{pmatrix}}}$

находим разложение ${\displaystyle A=LL^{T}}$, где

${\displaystyle L={\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&0\\0&0{,}5&{\sqrt {2{,}75}}\end{pmatrix}}.}$

Решение системы ${\displaystyle A{\bar {x}}={\bar {b}}}$ сводится к двум проходам: решение ${\displaystyle L{\bar {y}}={\bar {b}}}$ и ${\displaystyle L^{T}{\bar {x}}={\bar {y}}}$.

Пример 3 (метод простой итерации). Система ${\displaystyle A{\bar {x}}={\bar {b}}}$, где

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}5&1\\1&4\end{pmatrix}},\quad {\bar {b}}={\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}}.}$

Преобразуем к виду ${\displaystyle {\bar {x}}=B{\bar {x}}+{\bar {c}}}$, где ${\displaystyle B=I-D^{-1}A}$, ${\displaystyle D=\mathrm {diag} (5,4)}$:

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}0&-0{,}2\\-0{,}25&0\end{pmatrix}}.}$

Спектральный радиус ${\displaystyle \rho (B)=0{,}224<1}$, итерации сходятся. При ${\displaystyle {\bar {x}}_{0}=(0,0)^{T}}$:

${\displaystyle {\bar {x}}_{1}=(1{,}2;1{,}25)^{T},\quad {\bar {x}}_{2}=(0{,}95;0{,}95)^{T},\quad \dots \to (1;1)^{T}.}$

Пример 4 (метод Зейделя). Та же система, но с использованием обновлённых значений на каждом шаге:

${\displaystyle x_{1}^{(k+1)}={\frac {6-x_{2}^{(k)}}{5}},\quad x_{2}^{(k+1)}={\frac {5-x_{1}^{(k+1)}}{4}}.}$

Сходимость происходит быстрее, чем в методе простой итерации: уже на 4-й итерации ${\displaystyle {\bar {x}}\approx (1{,}001;0{,}999)^{T}}$.

Пример 5 (метод сопряжённых градиентов). Для системы с симметричной положительно определённой матрицей размера ${\displaystyle 1000\times 1000}$ метод сопряжённых градиентов находит решение за не более чем 1000 итераций (на практике — значительно меньше, порядка 30-50 итераций при хорошем предобуславливании), что существенно экономичнее метода Гаусса, требующего ${\displaystyle O(n^{3})}$ операций.

Пример 1 (отделение корней). Для уравнения ${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x+1=0}$ вычисляем значения на концах отрезков:

${\displaystyle f(-3)=-17}$, ${\displaystyle f(-1)=3}$, ${\displaystyle f(0)=1}$, ${\displaystyle f(1)=-1}$, ${\displaystyle f(2)=3}$.

По теореме о промежуточном значении корни расположены в интервалах ${\displaystyle (-3,-1)}$, ${\displaystyle (0,1)}$, ${\displaystyle (1,2)}$.

Пример 2 (метод Ньютона). Уточнение корня уравнения ${\displaystyle x^{3}-2x-5=0}$ на отрезке ${\displaystyle [2,3]}$. Итерационная формула:

${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {x_{k}^{3}-2x_{k}-5}{3x_{k}^{2}-2}}.}$

При ${\displaystyle x_{0}=2}$:

${\displaystyle x_{1}=2-{\frac {-1}{10}}=2{,}1,\quad x_{2}\approx 2{,}0946,\quad x_{3}\approx 2{,}09455.}$

Сходимость квадратичная: число верных знаков удваивается на каждом шаге.

Пример 3 (метод секущих). То же уравнение, начальное приближение ${\displaystyle x_{0}=2}$, ${\displaystyle x_{1}=3}$:

${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-f(x_{k}){\frac {x_{k}-x_{k-1}}{f(x_{k})-f(x_{k-1})}}.}$

Итерации: ${\displaystyle x_{2}\approx 2{,}076}$, ${\displaystyle x_{3}\approx 2{,}094}$, ${\displaystyle x_{4}\approx 2{,}09455}$. Порядок сходимости ${\displaystyle \approx 1{,}618}$.

Пример 4 (метод Лобачевского — Греффе). Для уравнения ${\displaystyle x^{2}-5x+6=0}$ с корнями ${\displaystyle x_{1}=2}$, ${\displaystyle x_{2}=3}$ после ${\displaystyle m}$ итераций квадратурного преобразования получаем уравнение с корнями ${\displaystyle 2^{2^{m}}}$ и ${\displaystyle 3^{2^{m}}}$. При ${\displaystyle m=3}$: корни нового уравнения ${\displaystyle 256}$ и ${\displaystyle 6561}$, откуда исходные корни восстанавливаются как ${\displaystyle x_{1}={\sqrt[{8}]{256}}=2}$, ${\displaystyle x_{2}={\sqrt[{8}]{6561}}=3}$.

Пример 5 (решение трансцендентного уравнения). Уравнение ${\displaystyle \cos x=x}$ имеет единственный действительный корень. Методом Ньютона при ${\displaystyle x_{0}=0{,}7}$:

${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {\cos x_{k}-x_{k}}{-\sin x_{k}-1}}.}$

Итерации: ${\displaystyle x_{1}\approx 0{,}7391}$, ${\displaystyle x_{2}\approx 0{,}739085}$, ${\displaystyle x_{3}\approx 0{,}7390851332}$. Полученное значение известно как константа Дорра.