Трапе́ция (от др.-греч.τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — выпуклыйчетырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны[1]. Часто в определении трапеции опускают последнее условие (см. ниже). Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны[2][3]. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Однако при использовании такого определения большинство признаков и свойств равнобедренной трапеции перестают быть верными (так как параллелограмм становится её частным случаем). Приведённые в разделе «Свойства» формулы верны для обоих определений трапеции.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна (как сумма двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых, содержащих основания трапеции, и секущей, содержащей боковую сторону);
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме[6];
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии;
Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен среднему гармоническому длин оснований трапеции: ;
В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон;
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой;
Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований;
Диагонали трапеции делят её на 4 треугольника. Два из них, прилежащие к основаниям, подобны. Два других, прилежащие к боковым сторонам, являются равновеликими [имеют одинаковую площадь];
Если отношение оснований равно , то отношение площадей треугольников, прилежащих к основаниям, равно ;
Высота трапеции определяется формулой:
где — большее основание, — меньшее основание, и — боковые стороны;
Диагонали трапеции и связаны со сторонами соотношением:
Их можно выразить в явном виде:
Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:
а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:
Если же известна высота трапеции , то длины боковых сторон равны:
Длина отрезка , соединяющего середины оснований трапеции, может быть вычислена по формуле:
.
Если через точку пересечения диагоналей трапеции провести прямую, пересекающую основания, то точки пересечения её с основаниями — две из четырёх вершин параллелограмма, все вершины которого лежат на сторонах трапеции по одной на каждой из сторон указанной трапеции, а стороны параллельны диагоналям данной трапеции. Два отрезка между боковой стороной трапеции и диагональю трапеции, которые отсекают диагонали данной трапеции от диагонали указанного параллелограмма, соединяющей его вершины, лежащие на боковых сторонах трапеции, равны между собой.
Неравенство для сторон трапеции — сумма боковых сторон больше разности бо́льшего и меньшего оснований трапеции, то есть если — трапеция (), причём , то выполняется неравенство: .
Неравенство для диагоналей трапеции — сумма диагоналей больше суммы оснований трапеции, то есть если — трапеция (), причём , то выполняется неравенство: .
Ещё одно неравенство для сторон трапеции — модуль разности боковых сторон меньше модуля разности оснований, то есть если — трапеция (), то выполняется неравенство: .
Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:
прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции)[7];
высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
углы при любом основании равны;
сумма противоположных углов равна 180°;
длины диагоналей равны;
диагонали трапеции образовывали с одним и тем же основание равные углы;
из каждой вершины одного основания другое основание было видно под одним и тем же углом[8];
вокруг этой трапеции можно описать окружность;
вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.
Кроме того:
если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Если — равнобочная трапеция (, ), причём — диагональ трапеции, то .[9]
Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписатьокружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований);
В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°;
Если трапецию можно вписать в окружность — то она равнобедренная;
Если , то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса
Если в трапецию вписанаокружность с радиусом , и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и — то ;
Центр окружности, вписанной в трапецию, находится в точке пересечения высоты трапеции, проведённой через точку пересечения диагоналей трапеции, со средней линией трапеции;
Боковые стороны описанной трапеции выражаются через основания и этой трапеции и радиус вписанной в неё окружности как
,
;
Радиус вписанной в трапецию окружности выражается через длины и её оснований и угол между диагоналями описанной трапеции формулой
;
Угол между диагоналями равнобедренной описанной трапеции c основаниями и можно найти, используя соотношение
;
Радиус вписанной в трапецию (при условии, что трапеция — описанная) окружности может принимать у такой трапеции в принципе (описанная трапеция существует при этом) любое положительное значение, удовлетворяющее неравенству:
,
где и — основания описанной трапеции; здесь равенство достигается тогда и только тогда, когда указанная описанная трапеция — равнобедренная.
Для сторон описанной трапеции выполняется неравенство:
.
Длина отрезка, соединяющего точки касания вписанной окружности (у описанной трапеции) с каждой из двух боковых сторон трапеции, для описанной трапеции с длинами оснований и и радиусом вписанной окружности может быть вычислена по формуле:
.
Связь противоположных углов и описанной трапеции с длинами оснований и (см. рис. выше):
.
Площадь описанной трапеции выражается через внутренние углы и при одном из оснований описанной трапеции и радиус вписанной в неё окружности формулой
.
Угол между диагоналями описанной трапеции, содержащий во внутренней области боковую сторону описанной трапеции, удовлетворяет неравенству
,
где — отношение большего основания описанной трапеции к меньшему основанию этой описанной трапеции. Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда данная описанная трапеция является равнобедренной.
Диаметр вписанной в прямоугольную трапецию окружности равен среднему гармоническому её оснований.
Угол между диагоналями прямоугольной описанной трапеции с основаниями и можно найти, используя соотношение
.
Угол между диагоналями прямоугольной описанной трапеции (содержащий во внутренней области боковую сторону данной трапеции) в каждом из возможных случаев такой трапеции принимает одно из значений интервала .
В случае, если и — основания и — высота, формула площади:
.
В случае, если — средняя линия и — высота, формула площади:
.
Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:
.
Формула, где — основания, и — боковые стороны трапеции:
,
или
.
Средняя линия разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как[11]:
.
По свойству треугольников и в трапеции :
Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра, проведённого из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.
Слово «трапеция» происходит от греческого слова др.-греч. τραπέζιον «столик» (уменьш. от τράπεζα «стол»), означающего стол. В русском языке от этого слова происходит слово «трапеза» (еда).