Трапеция

Согласно широкому определению, трапеция представляет собой выпуклый четырёхугольник с двумя параллельными сторонами, что включает параллелограммы и прямоугольники в качестве частных случаев данной геометрической фигуры. В трапецию можно вписать окружность в том случае, если сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон данной геометрической фигуры. Площадь трапеции вычисляется как произведение полусуммы её оснований на высоту или как произведение длины средней линии на высоту данной геометрической фигуры.

Согласно широкому определению, трапеция представляет собой выпуклый четырёхугольник с двумя параллельными сторонами, что включает параллелограммы и прямоугольники в качестве частных случаев данной геометрической фигуры.

В трапецию можно вписать окружность в том случае, если сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон данной геометрической фигуры.

Площадь трапеции вычисляется как произведение полусуммы её оснований на высоту или как произведение длины средней линии на высоту данной геометрической фигуры.

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны^[1]. Часто в определении трапеции опускают последнее условие (см. ниже). Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Существует и другое определение трапеции.

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны^[2]^[3]. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Однако при использовании такого определения большинство признаков и свойств равнобедренной трапеции перестают быть верными (так как параллелограмм становится её частным случаем). Приведённые в разделе «Свойства» формулы верны для обоих определений трапеции.

Элементы трапеции

Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
Две другие стороны называются боковыми сторонами.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Углом при основании трапеции называется её внутренний угол, образованный основанием с боковой стороной.

Виды трапеций

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой^[4] или равнобочной^[5] трапецией).
Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^{\circ }$ (как сумма двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых, содержащих основания трапеции, и секущей, содержащей боковую сторону).
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме^[6].
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен среднему гармоническому длин оснований трапеции: ${\frac {2xy}{x+y}}$ .
В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.
Диагонали трапеции делят её на 4 треугольника. Два из них, прилежащие к основаниям, подобны. Два других, прилежащие к боковым сторонам, являются равновеликими (имеют одинаковую площадь).
Если отношение оснований равно $K$ , то отношение площадей треугольников, прилежащих к основаниям, равно $K^{2}$ .
Высота трапеции определяется формулой:

h={\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-a\right)^{2}}}

,

где

b

— большее основание,

a

— меньшее основание,

c

и

d

— боковые стороны.

Диагонали трапеции $d_{1}$ и $d_{2}$ связаны со сторонами соотношением:

d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2ab+c^{2}+d^{2}

.

Их можно выразить в явном виде:

d_{1}=AC={\sqrt {ab+d^{2}+{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}

d_{2}=BD={\sqrt {ab+c^{2}-{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}

.

Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:

a={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{1}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{2}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}+d_{1}^{2}-d_{2}^{2})}}}

b={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{2}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{1}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}-d_{1}^{2}+d_{2}^{2})}}}

,

а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:

c={\sqrt {\frac {a(d_{2}^{2}-b^{2})+b(d_{1}^{2}-a^{2})}{a+b}}}

d={\sqrt {\frac {a(d_{1}^{2}-b^{2})+b(d_{2}^{2}-a^{2})}{a+b}}}

.

Если же известна высота трапеции

h

, то длины боковых сторон равны:

d_{1}={\sqrt {b^{2}+d^{2}-2b{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}}}={\sqrt {h^{2}+\left(b-{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}

d_{2}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2b{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}}}={\sqrt {h^{2}+\left(b-{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}

.

Прямая Ньютона для трапеции совпадает с её средней линией.
Длина отрезка $s$ , соединяющего середины оснований трапеции, может быть вычислена по формуле:

$s={\frac {\sqrt {2(c^{2}+d^{2})-(a-b)^{2}}}{2}}$ .

Если через точку пересечения диагоналей трапеции провести прямую, пересекающую основания, то точки пересечения её с основаниями — две из четырёх вершин параллелограмма, все вершины которого лежат на сторонах трапеции по одной на каждой из сторон указанной трапеции, а стороны параллельны диагоналям данной трапеции. Два отрезка между боковой стороной трапеции и диагональю трапеции, которые отсекают диагонали данной трапеции от диагонали указанного параллелограмма, соединяющей его вершины, лежащие на боковых сторонах трапеции, равны между собой.

Неравенства для отрезков в трапеции

Неравенство для сторон трапеции — сумма боковых сторон больше разности бо́льшего и меньшего оснований трапеции, то есть если ${\mathcal {ABCD}}$ — трапеция ( ${\mathcal {AD\parallel BC}}$ ), причём ${\mathcal {AD>BC}}$ , то выполняется неравенство: ${\mathcal {AB+CD>AD-BC}}$ .
Неравенство для диагоналей трапеции — сумма диагоналей больше суммы оснований трапеции, то есть если ${\mathcal {ABCD}}$ — трапеция ( ${\mathcal {AD\parallel BC}}$ ), причём ${\mathcal {AD>BC}}$ , то выполняется неравенство: ${\mathcal {AC+BD>AD+BC}}$ .
Ещё одно неравенство для сторон трапеции — модуль разности боковых сторон меньше модуля разности оснований, то есть если ${\mathcal {ABCD}}$ — трапеция ( ${\mathcal {AD\parallel BC}}$ ), то выполняется неравенство: ${\mathcal {|AB-CD|<|AD-BC|}}$ .

Теорема о четырёх точках трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.

Равнобедренная трапеция

Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции)^[7];
высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
углы при любом основании равны;
сумма противоположных углов равна 180°;
длины диагоналей равны;
диагонали трапеции образовывали с одним и тем же основание равные углы;
из каждой вершины одного основания другое основание было видно под одним и тем же углом^[8];
вокруг этой трапеции можно описать окружность;
вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.

Кроме того:

если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Если ${\mathcal {ABCD}}$ — равнобочная трапеция ( ${\mathcal {AD\parallel BC}}$ , ${\mathcal {AB=CD}}$ ), причём ${\mathcal {AC}}$ — диагональ трапеции, то ${\mathcal {{AC}^{2}=AD\cdot BC+{AB}^{2}}}$ ^[9].

Вписанная и описанная окружность

Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
Если трапецию можно вписать в окружность — то она равнобедренная.
Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:

R={\frac {bcd_{1}}{4{\sqrt {p(p-b)(p-c)(p-d_{1})}}}}={\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4-\left({\frac {b-a}{c}}\right)^{2}}}}

,

где

p={\frac {1}{2}}(b+c+d_{1})\,,\,c

— боковая сторона,

b

— бо́льшее основание,

a

— меньшее основание,

d_{1}=d_{2}

— диагонали равнобедренной трапеции.

Если $a+b=2c$ , то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса:

r={\dfrac {h}{2}}={\dfrac {\sqrt {ab}}{2}}={\dfrac {\sqrt {d^{2}-l^{2}}}{2}}

.

Если в трапецию вписана окружность с радиусом $r$ , и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — $v$ и $w$ — то $r={\sqrt {vw}}$ .
Центр окружности, вписанной в трапецию, находится в точке пересечения высоты трапеции, проведённой через точку пересечения диагоналей трапеции, со средней линией трапеции.
Боковые стороны $c\leqslant d$ описанной трапеции выражаются через основания $a$ и $b$ этой трапеции и радиус $r$ вписанной в неё окружности как:

$c={\dfrac {a+b}{2}}-{\dfrac {|a-b|}{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {4r^{2}}{ab}}}}$ ,

$d={\dfrac {a+b}{2}}+{\dfrac {|a-b|}{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {4r^{2}}{ab}}}}$ .

Радиус $r$ вписанной в трапецию окружности выражается через длины $a$ и $b$ её оснований и угол $\theta$ между диагоналями описанной трапеции формулой:

$r={\frac {2ab(a+b)}{(a-b)^{2}}}\mathrm {ctg} \,\theta$ .

Угол $\theta$ между диагоналями равнобедренной описанной трапеции c основаниями $a$ и $b$ можно найти, используя соотношение:

$\operatorname {cos} \theta ={\frac {(a-b)^{2}}{a^{2}+6ab+b^{2}}}$ .

Радиус $r$ вписанной в трапецию (при условии, что трапеция — описанная) окружности может принимать у такой трапеции в принципе (описанная трапеция существует при этом) любое положительное значение, удовлетворяющее неравенству:

$r\leqslant {\frac {\sqrt {ab}}{2}}$ ,

где $a$ и $b$ — основания описанной трапеции; здесь равенство достигается тогда и только тогда, когда указанная описанная трапеция — равнобедренная.

Для сторон описанной трапеции выполняется неравенство:

$a<c\leqslant d<b$ .

Длина $l$ отрезка, соединяющего точки касания вписанной окружности (у описанной трапеции) с каждой из двух боковых сторон трапеции, для описанной трапеции с длинами оснований $a$ и $b$ и радиусом вписанной окружности $r$ может быть вычислена по формуле:

$l={\frac {2abr}{\sqrt {(ab)^{2}+((a-b)r)^{2}}}}$ .

Связь противоположных углов $A$ и $C$ описанной трапеции с длинами оснований $a$ и $b$ (см. рис. выше):

${\frac {b}{a}}={\frac {\mathrm {ctg} \,{\frac {A}{2}}}{\mathrm {ctg} \,{\frac {C}{2}}}}$ .

Площадь $S$ описанной трапеции выражается через внутренние углы $\alpha$ и $\beta$ при одном из оснований описанной трапеции и радиус $r$ вписанной в неё окружности формулой

$S=2r^{2}{\Bigl (}{\frac {1}{\mathop {\operatorname {\sin } } \alpha }}+{\frac {1}{\mathop {\operatorname {\sin } } \beta }}{\Bigr )}$ .

Угол $\phi$ между диагоналями описанной трапеции, содержащий во внутренней области боковую сторону описанной трапеции, удовлетворяет неравенству

$\mathrm {arccos} \,{\frac {(k-1)^{2}}{k^{2}+6k+1}}\leqslant \phi <{\frac {\pi }{2}}$ ,

где $k$ — отношение большего основания описанной трапеции к меньшему основанию этой описанной трапеции. Равенство $\phi =\mathrm {arccos} \,{\frac {(k-1)^{2}}{k^{2}+6k+1}}$ здесь достигается тогда и только тогда, когда данная описанная трапеция является равнобедренной.

Диаметр вписанной в прямоугольную трапецию окружности равен среднему гармоническому её оснований.
Угол между диагоналями прямоугольной описанной трапеции с основаниями $a$ и $b$ можно найти, используя соотношение

$\mathrm {\operatorname {tg} } \,\theta =2{\Bigl (}{\frac {a+b}{a-b}}{\Bigr )}^{2}$ .

Угол $\theta$ между диагоналями прямоугольной описанной трапеции (содержащий во внутренней области боковую сторону данной трапеции) в каждом из возможных случаев такой трапеции принимает одно из значений интервала ${\Bigl (}\mathrm {\operatorname {arctg} } \,2;{\frac {\pi }{2}}{\Bigr )}$ .

Площадь

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции^[10]. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

В случае, если $a$ и $b$ — основания и $h$ — высота, формула площади:

S={\dfrac {(a+b)}{2}}h

.

В случае, если $m$ — средняя линия и $h$ — высота, формула площади:

S=\displaystyle mh

.

Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

m={\dfrac {(a+b)}{2}}

.

Формула, где $a<b$ — основания, $c$ и $d$ — боковые стороны трапеции:

S={\dfrac {a+b}{4(b-a)}}{\sqrt {(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}}

,

или

S={\dfrac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\dfrac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-a\right)^{2}}}

.

Средняя линия $m$ разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как^[11]:

{\dfrac {S_{1}}{S_{2}}}={\dfrac {3a+b}{a+3b}}

.

По свойству треугольников ${\triangle AHD}$ и ${\triangle BHC}$ в трапеции $ABCD$ :

S={\left({\sqrt {S_{\bigtriangleup AHD}}}+{\sqrt {S_{\bigtriangleup BHC}}}\right)}^{2}.

Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра, проведённого из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

Формулы площади равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным $r$ , и углом при основании $\alpha$ :

S={\dfrac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}

.

Площадь равнобедренной трапеции через диагональ $d$ , боковую сторону $l$ и угол при основании $\alpha$ :

S=l{\sqrt {d^{2}-(l\sin \alpha )^{2}}}\sin \alpha

.

Площадь равнобедренной трапеции:

S=(b-c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }=(a+c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }

,

где

c

— боковая сторона,

b

— бо́льшее основание,

a

— меньшее основание,

\gamma

— угол между бо́льшим основанием и боковой стороной^[12].

Площадь равнобедренной трапеции через её стороны:

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}(b-a)^{2}}}

.

Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату её высоты:

S=h^{2}.

В этом случае средняя линия совпадает по длине с высотой трапеции, то есть $m=h$ .

↑ Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 587.
↑ Вся элементарная математика (неопр.). Дата обращения: 6 июля 2015. Архивировано 9 июля 2015 года.
↑ Wolfram MathWorld (неопр.). Дата обращения: 6 июля 2015. Архивировано 19 апреля 2015 года.
↑ Коллектив авторов. Современный справочник школьника. 5-11 классы. Все предметы. — Litres, 2015-09-03. — С. 82. — 482 с. — ISBN 9785457410022.
↑ М. И. Сканави. Элементарная математика. — 2013. — С. 437. — 611 с. — ISBN 9785458254489.
↑ Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 99.
↑ Эквивалентная формулировка: отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, были взаимно перпендикулярны.
↑ Следствие. В случае перпендикулярности диагоналей боковым сторонам трапеция является равнобедренной.
↑ Комарова В. В. Экзаменационные вопросы и ответы. Геометрия: 9 и 11 выпускные классы. — М.: АСТ-ПРЕСС, 2000. — 448 с. — ISBN 5-7805-0416-4.
↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров : определения, теоремы, формулы. — М.: Физматгиз, 1978.
↑ Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1974. — 592 с.
↑ Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов 1986. С. 184

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров : определения, теоремы, формулы. — М. : Физматлит, 1978.

Трапеция и её свойства
МФТИ. Трапеция и её свойства

[1] Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 587.

[2] Вся элементарная математика (неопр.). Дата обращения: 6 июля 2015. Архивировано 9 июля 2015 года.

[3] Wolfram MathWorld (неопр.). Дата обращения: 6 июля 2015. Архивировано 19 апреля 2015 года.

[4] Коллектив авторов. Современный справочник школьника. 5-11 классы. Все предметы. — Litres, 2015-09-03. — С. 82. — 482 с. — ISBN 9785457410022.

[5] М. И. Сканави. Элементарная математика. — 2013. — С. 437. — 611 с. — ISBN 9785458254489.

[6] Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 99.

[7] Эквивалентная формулировка: отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, были взаимно перпендикулярны.

[8] Следствие. В случае перпендикулярности диагоналей боковым сторонам трапеция является равнобедренной.

[9] Комарова В. В. Экзаменационные вопросы и ответы. Геометрия: 9 и 11 выпускные классы. — М.: АСТ-ПРЕСС, 2000. — 448 с. — ISBN 5-7805-0416-4.

[10] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров : определения, теоремы, формулы. — М.: Физматгиз, 1978.

[11] Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1974. — 592 с.

[12] Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов 1986. С. 184

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

Трапеция

Варианты определения

Связанные определения

Элементы трапеции

Виды трапеций

Свойства

Неравенства для отрезков в трапеции

Теорема о четырёх точках трапеции

Равнобедренная трапеция

Вписанная и описанная окружность

Площадь

Формулы площади равнобедренной трапеции

Примечания

Литература

Ссылки

Дополнительно по теме

Категории