Линейная комбинация

Пусть ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — поле вещественных чисел и ${\displaystyle V}$ — векторное пространство. Линейной комбинацией векторов ${\displaystyle {\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}\in V}$ c коэффициентами ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}\in \mathbb {R} }$ называется вектор ${\displaystyle v=\alpha _{1}{\vec {v_{1}}}+\alpha _{2}{\vec {v_{2}}}+\cdots +\alpha _{n}{\vec {v_{n}}}}$. Множество всех линейных комбинаций векторов из ${\displaystyle V}$ образует векторное подпространство.

Если ${\displaystyle U_{1}}$ и ${\displaystyle U_{2}}$ — векторные подпространства одного и того же векторного пространства ${\displaystyle V}$, то их пересечение ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$, также есть векторное подпространство пространства ${\displaystyle V}$. To же самое справедливо и для пересечения большего числа подпространств^[2].

Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты равны нулю. В этом случае ${\displaystyle {\vec {v}}}$ есть нулевой вектор ${\displaystyle {\vec {0}}}$. Если хотя бы один из коэффициентов ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}$​ не равен нулю, то линейная комбинация нетривиальная^[1].

Множество называется линейно независимым множеством, если все нетривиальные линейные комбинации векторов отличны от нуля^[3].

Пусть ${\displaystyle S}$ — произвольное множество векторов векторного пространства ${\displaystyle V}$. Можно рассмотреть пересечение всех векторных подпространств пространства ${\displaystyle V}$, содержащих ${\displaystyle S}$. Это снова есть векторное подпространство, а именно наименьшее векторное подпространство, содержащее ${\displaystyle S}$. Его называют линейной оболочкой множества ${\displaystyle S}$ и обозначая как ${\displaystyle \langle S\rangle }$^[4] записывают: ${\displaystyle \langle S\rangle =\bigcap _{\sigma \in \sum }\{U_{a}:U_{\sigma }}$ — векторное подпространство ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle S\subseteq U_{\sigma }\in \sum \}}$.

Если ${\displaystyle S=\varnothing }$, то ${\displaystyle \langle S\rangle }$ есть векторное подпространство из ${\displaystyle V}$, содержащее только нулевой вектор.

Если ${\displaystyle S\neq \varnothing }$, то ${\displaystyle \langle S\rangle }$, наряду с ${\displaystyle S}$, содержит в качестве векторного подпространства всякую линейную комбинацию векторов из ${\displaystyle S}$. Так как множество всех линейных комбинаций ${\displaystyle S}$ само образует векторное подпространство из ${\displaystyle V}$, содержащее ${\displaystyle S}$, а ${\displaystyle \langle S\rangle }$ есть наименьшее векторное подпространство, обладающее этим свойством, то ${\displaystyle \langle S\rangle }$ состоит как раз из всех линейных комбинаций ${\displaystyle S}$.

Из ${\displaystyle S_{1}\subseteq S_{2}}$ следует ${\displaystyle \langle S_{1}\rangle \subseteq \langle S_{2}\rangle }$. Если ${\displaystyle U}$ есть векторное подпространство из ${\displaystyle V}$, то ${\displaystyle \langle U\rangle =U}$, и наоборот. Если векторное подпространство ${\displaystyle U}$ пространства ${\displaystyle V}$ можно представить как линейную оболочку множества ${\displaystyle S}$ векторов из ${\displaystyle V}$, то ${\displaystyle S}$ называется системой, порождающей ${\displaystyle U}$.

В то время как для двух векторных подпространств ${\displaystyle U_{1}}$ и ${\displaystyle U_{2}}$ пространства ${\displaystyle V}$ их пересечение вновь является векторным подпространством, для их объединения это в общем случае нe так. Наименьшее векторное подпространство из ${\displaystyle V}$, содержащее ${\displaystyle U_{1}\cup U_{2}}$, то есть ${\displaystyle \langle U_{1}\cup U_{2}\rangle }$, называют суммой ${\displaystyle U_{1}+U_{2}}$, (или композицией) ${\displaystyle U_{1}}$ и ${\displaystyle U_{2}}$. Оно состоит из всех векторов ${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}}$, где ${\displaystyle x_{1}\in U_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}\in U_{2}}$^[2].

Пусть ${\displaystyle S}$ — аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством ${\displaystyle V}$ над полем вещественных чисел. Множество ${\displaystyle M\subset S}$ называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками оно содержит соединяющий их отрезок.

Выпуклой линейной комбинацией точек пространства ${\displaystyle S}$ называется их барицентрическая линейная комбинация с неотрицательными коэффициентами.

Выпуклое множество ${\displaystyle M\subset S}$ вместе с любыми точками ${\displaystyle p_{0},p_{1},...,p_{k}}$ содержит любую их выпуклую линейную комбинацию ${\displaystyle p=\sum _{i}\lambda _{i}p_{i}}$^[5].

Если наложить на коэффициенты, используемые в линейной комбинации, некоторые условия, получим понятия концепции барицентрической комбинации (или аффинной комбинации), конической комбинации и выпуклой комбинации, а также соответствующие понятия множеств таких линейных комбинаций.

Тип комбинации	Ограничения на коэффициенты	Название множества	Модель пространства
Линейная комбинация	без ограничений	Векторное подпространство	${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$
Барицентрическая комбинация	${\displaystyle \sum a_{i}=1}$	Аффинное подпространство	Аффинная гиперплоскость
Коническая комбинация	${\displaystyle a_{i}\geq 0}$	Выпуклый конус	Квадрант / Октант
Выпуклая комбинация	${\displaystyle a_{i}\geq 0}$ и ${\displaystyle \sum a_{i}=1}$	Выпуклое множество	Симплекс

Поскольку здесь имеют место ограничения на вид комбинаций, то получаем в результате более широкие классы объектов. Таким образом, понятия аффинных подмножеств, выпуклых конусов и выпуклых множеств выступают как обобщения понятия векторного подпространства: векторное подпространство одновременно является также и аффинным подпространством, и выпуклым конусом, и выпуклым множеством, но выпуклое множество совсем не обязательно будет векторным или аффинным подпространством или выпуклым конусом.

Если ${\displaystyle V}$ — топологическое векторное пространство, то можно, если существенным образом использовать топологию ${\displaystyle V}$, придать смысл некоторым бесконечным линейным комбинациям элементов данного пространства. Например, можно было бы говорить о ${\displaystyle a_{1}v+a_{2}v+a_{3}v+\dots }$ (до бесконечности). Такие бесконечные линейные комбинации не всегда имеют смысл: обычно смысл удаётся придать лишь сходящимся комбинациям. Увеличение запаса допустимых линейных комбинаций может привести к изменению объёма понятий оболочки, линейной независимости и базиса.

Если ${\displaystyle K}$ — коммутативное кольцо, а не поле, то всё, что говорилось о линейных комбинациях выше, обобщается на этот случай без изменений. Такие пространства именуются модулями (а не векторными пространствами), и не все результаты, справедливые применительно к векторным пространствам, остаются справедливыми и для модулей.

Если ${\displaystyle K}$ — некоммутативное кольцо, то понятие линейной комбинации с коэффициентами из ${\displaystyle K}$ также можно ввести — с одной особенностью: поскольку модули над некоммутативным кольцом могут быть левые и правые, то и линейная комбинация может тоже быть левой и правой.

Более сложной является ситуация, когда ${\displaystyle V}$ — бимодуль над двумя кольцами ${\displaystyle K_{L}}$ и ${\displaystyle K_{R}}$. В этом случае наиболее общий вид линейной комбинации таков:

${\displaystyle a_{1}v_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}b_{n}}$,

где ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ принадлежат ${\displaystyle K_{L}}$, ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ принадлежат ${\displaystyle K_{R}}$ и ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ принадлежат ${\displaystyle V}$.