Метод трапеций

Пусть требуется вычислить интеграл ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$, где функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$.

Заменив функцию ${\displaystyle f(x)}$ многочленом первого порядка, а именно линейной функцией ${\displaystyle y=kx+b}$, совпадающей с ${\displaystyle f(x)}$ в точках ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, получают приближённое значение интеграла ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$, равное площади прямоугольной трапеции; ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {f(a)+f(b)}{2}}(b-a)}$.

Пусть отрезок ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ разбит на ${\displaystyle n}$ равных частей точками ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n-1}<x_{n}=b}$ и с помощью прямых ${\displaystyle x=x_{k}(k=0,1,2,...,n)}$ построены ${\displaystyle n}$ прямолинейных трапеций (рис. 3). Тогда сумма площадей этих трапеций приближённо равна ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {f(x_{0})+f(x_{1})}{2}}(x_{1}-x_{0})+{\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}(x_{2}-x_{1})+...+{\frac {f(x_{n-1})+f(x_{n})}{2}}(x_{n}-x_{n-1})={\frac {b-a}{2n}}\left[f(a)+f(b)+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_{k})\right]}$, где ${\displaystyle f(x_{k-1})}$ и ${\displaystyle f(x_{k})}$ — соответственно основания трапеций, а ${\displaystyle x_{k}-x_{k-1}={\frac {b-a}{n}}}$ — их высоты (рис. 3).

Рис. 3

Таким образом, формула трапеций имеет вид: ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2n}}\left[f(a)+f(b)+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_{k})\right]}$.

Замечание: Если функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет на ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ непрерывную производную второго порядка ${\displaystyle f''(x)}$, то абсолютная величина погрешности не превосходит числа ${\displaystyle M{\frac {(b-a)^{3}}{12n^{2}}}}$, где ${\displaystyle M=\max _{a\leqslant x\leqslant b}|f''(x)|}$^[3].

Формулы приближённого вычисления определённого интеграла имеют вид приближённых равенств, в левой части которых стоит вычисляемый интеграл, а в правой — обобщение суммы Римана: линейная комбинация с постоянными коэффициентами значений подынтегральной функции в точках области интегрирования, называемых узлами. При ${\displaystyle n=1}$ такие формулы приближённого интегрирования называют квадратурными. В основу получения квадратурных формул положено требование, чтобы приближённое равенство обращалось в точное, когда подынтегральная функция является многочленом степени не выше ${\displaystyle m}$. Для краткости говорят, что квадратурная формула обладает ${\displaystyle m}$-свойством. Оно удачно учитывает индивидуальность подынтегральной функции: чем лучше функция может быть приближена многочленом, тем точнее результат вычисления интеграла с помощью квадратурной формулы^[4]. Простейшими квадратурными формулами являются формула прямоугольников и формула трапеций, которые дают точное значение интеграла для линейных функций^[5].