Методы интегрирования

Прообразом определённого интеграла был метод исчерпывания, разработанный древнегреческими математиками. Евдокс Книдский заложил его основы, а Архимед довёл до совершенства, вычислив площадь сегмента параболы и объёмы шара, цилиндра и других тел. Архимед использовал метод, по сути эквивалентный суммированию бесконечно малых величин, хотя и избегал понятия актуальной бесконечности^[3].

В XVII веке методы вычисления площадей и объёмов получили новое развитие. Бонавентура Кавальери сформулировал принцип неделимых (1635)^[4][5], а Пьер де Ферма разработал алгебраический метод нахождения площадей под кривыми вида ${\displaystyle y=x^{n}}$ (ок. 1636)^[6].

Переломным моментом стало создание дифференциального и интегрального исчисления в конце XVII века:

• Исаак Ньютон разработал «метод флюксий» (ок. 1665—1666), рассматривая интегрирование как операцию, обратную дифференцированию (нахождение флюэнты по заданной флюксии)^[7].
• Готфрид Вильгельм Лейбниц независимо создал свою систему, ввёл современные обозначения, включая знак интеграла ${\displaystyle \int }$ (стилизованная буква S от лат. summa), и опубликовал первую формулировку формулы Ньютона — Лейбница в 1686 году^[8].

В XVIII веке интегральное исчисление превратилось из набора геометрических трюков в мощный аналитический аппарат. Братья Бернулли (Якоб и Иоганн) систематизировали методы интегрирования рациональных функций и разработали метод интегрирования по частям.

Вершиной этого этапа стали труды Леонарда Эйлера. В его фундаментальном труде «Введение в анализ бесконечных» (1748) и особенно в трёхтомнике «Дифференциальное исчисление» (1768—1770) были детально изложены:

• алгоритм разложения рациональных дробей на простейшие;
• универсальная тригонометрическая подстановка;
• подстановки Эйлера для интегрирования иррациональностей^[9].

XIX век принёс строгое обоснование анализа и постановку вопроса о принципиальной возможности интегрирования в элементарных функциях.

• Огюстен Луи Коши дал первое строгое определение определённого интеграла как предела интегральных сумм (1823), отделив понятие интеграла от поиска первообразной^[10].
• Жозеф Лиувилль в 1830-х годах заложил основы теории интегрирования в конечном виде. Он доказал, что если элементарная первообразная существует, она должна иметь строго определённую структуру (сумма рациональной функции и линейной комбинации логарифмов)^[11].
• Пафнутий Львович Чебышёв в 1853 году полностью решил вопрос об интегрируемости дифференциального бинома ${\displaystyle \int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\,dx}$. Он не только нашёл три случая элементарной интегрируемости, но и строго доказал, что во всех остальных случаях интеграл не выражается через элементарные функции^[12].

С появлением вычислительной техники задача поиска первообразной перешла из сферы человеческого творчества в сферу алгоритмизации.

• В 1968 году Роберт Риш в своей диссертации, а затем в статье 1969 года, предложил полный алгоритм (алгоритм Риша), который позволяет для любой элементарной функции либо найти её элементарную первообразную, либо строго доказать её отсутствие^[13].
• Практическая реализация этих идей была развита в трудах Мануэля Бронштейна^[14], что легло в основу ядер современных систем компьютерной алгебры (CAS), таких как Mathematica, Maple и SymPy.

Для ${\displaystyle R{\bigl (}x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}{\bigr )}}$ стандартны подстановки Эйлера (например ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+1}}=t-x}$). В учебной литературе встречается также приём

${\displaystyle t={\frac {d}{dx}}{\sqrt {x^{2}+px+q}}={\frac {2x+p}{2{\sqrt {x^{2}+px+q}}}}}$

для интегралов ${\displaystyle \int (x^{2}+px+q)^{-m/2}\,dx}$ (${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$)^[20]; называть его «подстановкой Абеля» не общепринято (интеграл Абеля — другой объект).

Пусть ${\displaystyle R(u,v)}$ рациональна. Для ${\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\,dx}$^[21]:

• если ${\displaystyle R(-u,v)=-R(u,v)}$ (нечётность по синусу) — ${\displaystyle t=\cos x}$;
• если ${\displaystyle R(u,-v)=-R(u,v)}$ — ${\displaystyle t=\sin x}$;
• если ${\displaystyle R(-u,-v)=R(u,v)}$ — ${\displaystyle t=\operatorname {tg} x}$;
• универсальная подстановка Вейерштрасса ${\displaystyle t=\operatorname {tg} (x/2)}$ всегда сводит интеграл к рациональной функции (ценой роста степени).

Для ${\displaystyle \int \sin ^{m}x\cos ^{n}x\,dx}$ (${\displaystyle m,n}$ рациональны, чаще целые):

• ${\displaystyle m}$ нечётное — ${\displaystyle t=\cos x}$;
• ${\displaystyle n}$ нечётное — ${\displaystyle t=\sin x}$;
• оба показателя чётные неотрицательные — удобнее формулы понижения степени (${\displaystyle \cos 2x}$), а не обязательно ${\displaystyle t=\operatorname {tg} x}$.

Пример 5. ${\displaystyle \int \sin ^{2}x\cos x\,dx}$. Здесь ${\displaystyle n=1}$ нечётно, ${\displaystyle t=\sin x}$, ${\displaystyle dt=\cos x\,dx}$:

${\displaystyle \int t^{2}\,dt={\frac {t^{3}}{3}}+C={\frac {\sin ^{3}x}{3}}+C.}$

Пример 6. ${\displaystyle \int \sin ^{3}x\,dx=\int (1-\cos ^{2}x)\sin x\,dx=-\cos x+{\frac {\cos ^{3}x}{3}}+C.}$

Пример 7 (Вейерштрасс). ${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\sin x}}}$. При ${\displaystyle t=\operatorname {tg} (x/2)}$

${\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}},\quad dx={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}},\quad \int {\frac {dx}{1+\sin x}}=-{\frac {2}{1+\operatorname {tg} (x/2)}}+C.}$

${\displaystyle I=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\,dx,}$

${\displaystyle a,b\neq 0}$, ${\displaystyle n\neq 0}$, показатели ${\displaystyle m,n,p}$ рациональны. Интеграл рационализируется (и потому элементарен) тогда и только тогда, когда целое одно из чисел ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle (m+1)/n}$, ${\displaystyle p+(m+1)/n}$ — теорема П. Л. Чебышёва (1853)^[22][23].

Подстановки:

• ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ — ${\displaystyle x=t^{k}}$, ${\displaystyle k}$ — общий знаменатель дробей ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$;
• ${\displaystyle (m+1)/n\in \mathbb {Z} }$ — ${\displaystyle a+bx^{n}=t^{s}}$, ${\displaystyle s}$ — знаменатель ${\displaystyle p}$;
• ${\displaystyle p+(m+1)/n\in \mathbb {Z} }$ — ${\displaystyle ax^{-n}+b=t^{s}}$.

Пример 8. ${\displaystyle \int {\sqrt {x}}(1+x)\,dx}$: здесь ${\displaystyle m=1/2}$, ${\displaystyle n=1}$, ${\displaystyle p=1}$ целое, элементарен:

${\displaystyle \int {\bigl (}x^{1/2}+x^{3/2}{\bigr )}\,dx={\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {2}{5}}x^{5/2}+C.}$

Пример 9. ${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1+x^{3}}}}}$ не элементарен (эллиптический интеграл): ни одно из трёх чисел Чебышёва не целое.

Разобьём отрезок ${\displaystyle [a,b]}$ на ${\displaystyle n}$ равных частей точками ${\displaystyle x_{i}=a+ih}$, где ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$. Тогда

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h\sum _{i=0}^{n-1}f(x_{i})}$ (левые прямоугольники),

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})}$ (правые прямоугольники),

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h\sum _{i=0}^{n-1}f\left(x_{i}+{\frac {h}{2}}\right)}$ (средние прямоугольники).

Погрешность метода средних прямоугольников: ${\displaystyle O(h^{2})}$.

Заменяем функцию на каждом отрезке ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ линейной функцией (хордой):

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{2}}\left[f(a)+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x_{i})+f(b)\right].}$

Погрешность: ${\displaystyle O(h^{2})}$.

Пример 16. Вычислим ${\displaystyle \int _{0}^{1}e^{x}\,dx}$ методом трапеций при ${\displaystyle n=4}$:

${\displaystyle h=0.25,\quad x_{0}=0,x_{1}=0.25,x_{2}=0.5,x_{3}=0.75,x_{4}=1,}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}e^{x}\,dx\approx {\frac {0.25}{2}}\left[e^{0}+2(e^{0.25}+e^{0.5}+e^{0.75})+e^{1}\right]\approx 1.7272.}$

Точное значение: ${\displaystyle e-1\approx 1.7183}$.

Аппроксимируем функцию на каждом парном отрезке квадратичной функцией (параболой). Требуется чётное число отрезков ${\displaystyle n=2m}$:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}\left[f(x_{0})+4\sum _{i=1}^{m}f(x_{2i-1})+2\sum _{i=1}^{m-1}f(x_{2i})+f(x_{2m})\right].}$

Погрешность: ${\displaystyle O(h^{4})}$ — значительно выше точность.

Пример 17. Для ${\displaystyle \int _{0}^{1}e^{x}\,dx}$ при ${\displaystyle n=4}$ (формула Симпсона):

${\displaystyle \int _{0}^{1}e^{x}\,dx\approx {\frac {0.25}{3}}\left[e^{0}+4(e^{0.25}+e^{0.75})+2e^{0.5}+e^{1}\right]\approx 1.7189.}$

Погрешность всего ${\displaystyle 0.0006}$ против ${\displaystyle 0.0089}$ у метода трапеций.

Метод Гаусса выбирает узлы ${\displaystyle x_{i}}$ и веса ${\displaystyle w_{i}}$ оптимальным образом для достижения максимальной точности. Формула Гаусса с ${\displaystyle n}$ узлами точна для всех многочленов степени до ${\displaystyle 2n-1}$^[30]:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}).}$

Для отрезка ${\displaystyle [-1,1]}$ узлы — корни многочленов Лежандра. Например, для ${\displaystyle n=2}$:

${\displaystyle x_{1,2}=\pm {\frac {1}{\sqrt {3}}},\quad w_{1}=w_{2}=1.}$

Пример 18. ${\displaystyle \int _{-1}^{1}e^{x}\,dx}$ (квадратура Гаусса, ${\displaystyle n=2}$):

${\displaystyle \approx e^{-1/{\sqrt {3}}}+e^{1/{\sqrt {3}}}\approx 2.3504.}$

Точное значение: ${\displaystyle e-e^{-1}\approx 2.3504}$ (совпадение до 4 знаков).

Интегралы вида

${\displaystyle F(\varphi ,k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}$ (первого рода),

${\displaystyle E(\varphi ,k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta }$ (второго рода),

возникают при вычислении длины дуги эллипса, периода маятника и других задач^[31].

Пример 19. Длина дуги эллипса ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ (${\displaystyle a>b}$):

${\displaystyle L=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta =4aE(e),}$

где ${\displaystyle e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}$ — эксцентриситет.

Интегральный синус и косинус^[32]:

${\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt,\quad \operatorname {Ci} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt.}$

Интегральная показательная функция:

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,dt.}$

Функция ошибок (интеграл вероятностей):

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.}$

Эти функции табулированы и реализованы в математических пакетах.

Пример 20. Вероятность попадания нормальной случайной величины в интервал ${\displaystyle [-a,a]}$:

${\displaystyle P(|X|<a)=\operatorname {erf} \left({\frac {a}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right).}$

Определённый интеграл позволяет вычислять макроскопические характеристики геометрических фигур и физических тел:

• Площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции ${\displaystyle y=f(x)}$, осью абсцисс и прямыми ${\displaystyle x=a}$ и ${\displaystyle x=b}$:

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx.}$

• Длина дуги кривой: для гладкой функции ${\displaystyle y=f(x)}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx.}$

• Объём тела вращения, образованного вращением кривой вокруг оси ${\displaystyle Ox}$:

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx.}$

• Механическая работа переменной силы ${\displaystyle F(x)}$ на пути от ${\displaystyle a}$ до ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle A=\int _{a}^{b}F(x)\,dx.}$

• Координаты центра масс сплошной неоднородной линии или тела вычисляются через интегралы первого рода (например, ${\displaystyle x_{c}={\frac {1}{M}}\int x\,dm}$, где ${\displaystyle M}$ — полная масса).

Интегрирование является основным методом аналитического решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

• Разделение переменных: простейшее уравнение ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)g(y)}$ сводится к двум независимым квадратурам:

${\displaystyle \int {\frac {dy}{g(y)}}=\int f(x)\,dx+C.}$

• Линейные уравнения: решение уравнения ${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)}$ ищется с помощью интегрирующего множителя ${\displaystyle \mu (x)=e^{\int P(x)\,dx}}$, что также требует вычисления интеграла.
• Уравнения в полных дифференциалах: восстановление функции ${\displaystyle U(x,y)}$ по её полному дифференциалу ${\displaystyle dU=P\,dx+Q\,dy}$ осуществляется путём последовательного интегрирования.

В теории вероятностей интегралы используются для работы с непрерывными случайными величинами:

• Функция распределения ${\displaystyle F(x)}$ (вероятность того, что случайная величина примет значение меньше ${\displaystyle x}$) выражается через интеграл от плотности вероятности ${\displaystyle p(t)}$:

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}p(t)\,dt.}$

• Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины вычисляются как интегралы Стильтьеса или Римана:

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,p(x)\,dx,\quad {\text{Var}}(X)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mathbb {E} [X])^{2}p(x)\,dx.}$

• Характеристическая функция распределения представляет собой преобразование Фурье плотности вероятности и также задаётся интегралом.

В физике интегрирование позволяет переходить от точечных источников к сплошным средам и менять базисы в функциональных пространствах:

• Интегральные преобразования: преобразование Фурье ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx}$ и преобразование Лапласа ${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$ сводят дифференциальные уравнения к алгебраическим, что критически важно в теории сигналов, квантовой механике и теории управления.
• Потенциальные поля: гравитационный или электростатический потенциал, создаваемый непрерывным распределением массы или заряда, вычисляется интегрированием по объёму:

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,dV',}$

где ${\displaystyle \rho }$ — плотность распределения.

• Термодинамика: вычисление изменения энтропии ${\displaystyle \Delta S=\int {\frac {\delta Q}{T}}}$ и работы в циклах Карно.

Символьное интегрирование составляет ядро современных систем компьютерной алгебры (CAS), таких как Mathematica, Maple, Maxima и SymPy.

• Алгоритмические методы: реализация алгоритма Риша, редукции Эрмита и эвристических методов (например, метод неопределённых коэффициентов или подстановки) позволяет программам находить точные аналитические решения там, где численные методы неприменимы.
• Автоматические доказательства: методы интегрирования используются в автоматических доказателях теорем для верификации тождеств и решения задач математического анализа без участия человека.
• Инженерные расчёты: символьное интегрирование применяется для получения точных формул в задачах сопротивления материалов, электродинамики и небесной механики, где важно сохранить зависимость результата от параметров системы.