Преобразование Меллина

Частные случаи интегралов Меллина — гамма- и бета-интегралы — восходят к Л. Эйлеру (1730-е годы). По существу формула обращения появляется уже в мемуаре Римана 1859 года «О числе простых чисел, не превышающих данной величины»: выводя функциональное уравнение дзета-функции, Риман неявно пользуется обращением интеграла, связывающего тета-функцию с произведением ${\displaystyle \Gamma (s/2)\zeta (s)}$^[2][6].

Систематическую теорию преобразования построил Ялмар Меллин, ученик К. Вейерштрасса, работавший затем в Гельсингфорсе. В серии работ, начатой статьёй 1887 года в Acta Mathematica, он использовал интегралы вида ${\textstyle \int x^{s-1}f(x)\,dx}$ для установления связи между линейными дифференциальными и разностными уравнениями^[7]; итоговое изложение теории с формулой обращения содержится в его статье 1902 года, после которой преобразование получило имя автора^[1]. Меллин применил аппарат к гамма- и гипергеометрическим функциям и предсказал его роль для дифференциальных уравнений рационального типа^[1].

В 1908 году Эрнест Уильям Барнс выразил гипергеометрическую функцию контурным интегралом от произведения гамма-функций — так возникли интегралы Меллина — Барнса, ставшие основным языком теории специальных функций и их асимптотик^[8]. В XX веке теория преобразования вошла в классические монографии по преобразованию Фурье и Лапласа^[3][9]; его приложения к дзета-функции развиты в книге Титчмарша и её продолжениях^[6]. Начиная с работ Флажоле 1970—1990-х годов преобразование Меллина стало стандартным инструментом асимптотического анализа функций, заданных гармоническими суммами, в том числе в теории алгоритмов; современное изложение методов дано в монографиях Пари и Каминского и Флажоле и Седжвика^[5][4].

Пусть ${\displaystyle f}$ — локально интегрируемая функция на ${\displaystyle (0,\infty )}$^[10]. Если интеграл

${\displaystyle \varphi (s)={\mathcal {M}}[f](s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx}$

сходится при некоторых ${\displaystyle s}$, то он сходится в вертикальной полосе ${\displaystyle \sigma _{1}<\operatorname {Re} s<\sigma _{2}}$ плоскости комплексной переменной ${\displaystyle s}$, называемой фундаментальной полосой; в этой полосе ${\displaystyle \varphi }$ — голоморфная функция^[3]. Ширина полосы определяется поведением ${\displaystyle f}$ на концах полуоси: если ${\displaystyle f(x)=O(x^{-\alpha })}$ при ${\displaystyle x\to 0}$ и ${\displaystyle f(x)=O(x^{-\beta })}$ при ${\displaystyle x\to \infty }$, то интеграл сходится по крайней мере при ${\displaystyle \alpha <\operatorname {Re} s<\beta }$. Внутри фундаментальной полосы справедлива формула обращения Меллина

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }\varphi (s)\,x^{-s}\,ds}$,

где ${\displaystyle c}$ — любая точка полосы (при стандартных условиях на ${\displaystyle f}$, например, если ${\displaystyle f}$ имеет ограниченную вариацию в окрестностях всех своих точек и интегрируема с весом ${\displaystyle x^{c-1}}$; в общей форме утверждение принадлежит Меллину)^[1][3].

Теория преобразования Меллина строится на трёх фундаментальных утверждениях, которые определяют его корректность и обратимость^[11][3].

• Теорема о фундаментальной полосе. Область абсолютной сходимости интеграла Меллина всегда является вертикальной полосой (возможно, вырожденной в прямую или бесконечной в одну сторону) в комплексной плоскости переменной ${\displaystyle s=\sigma +i\omega }$. Если интеграл сходится хотя бы в одной точке ${\displaystyle s_{0}}$, то он сходится абсолютно во всей полосе ${\displaystyle \sigma _{1}<\operatorname {Re} s<\sigma _{2}}$, где границы ${\displaystyle \sigma _{1}}$ и ${\displaystyle \sigma _{2}}$ определяются асимптотическим поведением функции ${\displaystyle f(x)}$ на концах полуоси:

${\displaystyle \sigma _{1}=\inf\{\sigma :f(x)=O(x^{-\sigma }){\text{ при }}x\to 0\},\quad \sigma _{2}=\sup\{\sigma :f(x)=O(x^{-\sigma }){\text{ при }}x\to \infty \}.}$

Внутренняя часть этой полосы (открытая полоса ${\displaystyle \sigma _{1}<\operatorname {Re} s<\sigma _{2}}$) является областью голоморфности функции ${\displaystyle \varphi (s)}$, причём ${\displaystyle \varphi (s)}$ является аналитической функцией и допускает дифференцирование под знаком интеграла^[3][9][11]. Ширина полосы ${\displaystyle \sigma _{2}-\sigma _{1}}$ характеризует «скорость убывания» функции ${\displaystyle f}$ на обоих концах и определяет, насколько богато пространство функций, для которых преобразование Меллина определено.

• Теорема обращения. При стандартных условиях на функцию ${\displaystyle f}$ (локальная интегрируемость на ${\displaystyle (0,\infty )}$, ограниченная вариация в окрестности каждой точки, интегрируемость с весом ${\displaystyle x^{c-1}}$ для некоторого ${\displaystyle c}$ из фундаментальной полосы) формула обращения

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }\varphi (s)\,x^{-s}\,ds}$

восстанавливает значение функции ${\displaystyle f(x)}$ почти всюду на ${\displaystyle (0,\infty )}$. В точках, где ${\displaystyle f}$ имеет разрыв первого рода (скачок), интеграл сходится к среднему арифметическому односторонних пределов:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }\varphi (s)\,x^{-s}\,ds={\frac {f(x+0)+f(x-0)}{2}}.}$

Это утверждение является прямым аналогом теоремы Дирихле для интеграла Фурье, перенесённой на мультипликативную группу ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ посредством логарифмической замены переменной^[1][3][9]. В более общих условиях (например, для функций из ${\displaystyle L^{2}}$ с соответствующим весом) формула обращения понимается в смысле сходимости в среднем квадратичном^[11].

• Теорема единственности. Если две локально интегрируемые функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ имеют одинаковые преобразования Меллина в некоторой общей фундаментальной полосе, то они совпадают почти всюду на ${\displaystyle (0,\infty )}$. Это прямое следствие теоремы единственности для преобразования Фурье после логарифмической замены переменной ${\displaystyle x=e^{t}}$^[12][9][3]. Теорема единственности гарантирует, что преобразование Меллина является инъективным отображением на соответствующих классах функций, что делает возможным корректное определение обратного преобразования.

Ниже перечислены основные свойства преобразования Меллина. Во всех формулах предполагается, что преобразования существуют, а параметр ${\displaystyle s}$ лежит в соответствующей фундаментальной полосе сходимости^[11][5].

• Линейность: ${\displaystyle {\mathcal {M}}[\alpha f+\beta g](s)=\alpha \varphi (s)+\beta \psi (s)}$. Фундаментальная полоса сходимости линейной комбинации содержит пересечение фундаментальных полос функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$^[3].
• Растяжение оси (масштабная инвариантность): ${\displaystyle {\mathcal {M}}[f(ax)](s)=a^{-s}\varphi (s)}$ при ${\displaystyle a>0}$. Это свойство является мультипликативным аналогом свойства сдвига в преобразовании Фурье. Именно оно делает преобразование Меллина естественным инструментом для анализа масштабно-инвариантных (фрактальных) структур, ренормализационной группы в физике и рекуррентных соотношений в анализе алгоритмов^[4].
• Умножение на степень: ${\displaystyle {\mathcal {M}}[x^{\alpha }f(x)](s)=\varphi (s+\alpha )}$. Это свойство приводит к сдвигу фундаментальной полосы сходимости на величину ${\displaystyle -\operatorname {Re} (\alpha )}$^[9].
• Дифференцирование:

${\displaystyle {\mathcal {M}}[f'](s)=-(s-1)\varphi (s-1)}$

(при условии, что граничные члены зануляются: ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)x^{s-1}=\lim _{x\to \infty }f(x)x^{s-1}=0}$).

Более естественным для этого преобразования является оператор Эйлера (или оператор масштабной производной) ${\displaystyle \theta =x\,{\tfrac {d}{dx}}}$. Для него справедливо соотношение ${\displaystyle {\mathcal {M}}[\theta ^{k}f](s)=(-s)^{k}\varphi (s)}$. Благодаря этому линейные дифференциальные уравнения типа Эйлера–Коши вида ${\textstyle \textstyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}\,(x{\tfrac {d}{dx}})^{k}y=0}$ преобразованием Меллина сводятся к простым алгебраическим уравнениям относительно ${\displaystyle \varphi (s)}$^[5].

• Свёртка Меллина: Для мультипликативной свёртки, определяемой как

${\textstyle (f*g)(x)=\int \limits _{0}^{\infty }f\left({\frac {x}{t}}\right)g(t)\,{\frac {dt}{t}},}$

справедливо ${\displaystyle {\mathcal {M}}[f*g](s)=\varphi (s)\psi (s)}$. Мера ${\displaystyle {\tfrac {dt}{t}}}$ является инвариантной мерой Хаара на мультипликативной группе положительных действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$, что объясняет, почему именно такая форма свёртки диагонализует преобразование Меллина, аналогично тому, как аддитивная свёртка диагонализует преобразование Фурье^[3][11].

• Равенство Парсеваля (формула Парсеваля — Меллина):

${\textstyle \int \limits _{0}^{\infty }f(x)g(x)\,{\frac {dx}{x}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }\varphi (s)\psi (1-s)\,ds,}$

где вертикальная прямая ${\displaystyle \operatorname {Re} s=c}$ должна лежать в общей области голоморфности функций ${\displaystyle \varphi (s)}$ и ${\displaystyle \psi (1-s)}$ (то есть ${\displaystyle c}$ принадлежит пересечению фундаментальной полосы ${\displaystyle \varphi }$ и полосы ${\displaystyle 1-{\text{полоса сходимости }}\psi }$). Эта формула является мощным инструментом для аналитического вычисления определённых интегралов, особенно тех, которые содержат произведения специальных функций^[5][3].

Замена переменной ${\displaystyle x=e^{t}}$ приводит интеграл к виду

${\displaystyle \varphi (c+i\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{ct}f(e^{t})\,e^{i\omega t}\,dt}$,

то есть значения ${\displaystyle \varphi }$ на вертикальной прямой ${\displaystyle s=c+i\omega }$ суть преобразование Фурье функции ${\displaystyle e^{ct}f(e^{t})}$. Аналогично, преобразование Меллина есть двустороннее преобразование Лапласа функции ${\displaystyle f(e^{t})}$: если ${\displaystyle F(p)=\int _{-\infty }^{\infty }f(e^{t})e^{-pt}dt}$ — двустороннее преобразование Лапласа, то ${\displaystyle \varphi (s)=F(-s)}$^[9].

Формула обращения Меллина — это формула обращения Фурье, прочитанная в логарифмическом масштабе. Благодаря этой связи преобразование Меллина наследует от преобразования Фурье теоремы о свёртке и Парсеваля, а его «собственные функции» — степенные ${\displaystyle x^{-s}}$, отвечающие характерам растяжений, — играют роль гармоник^[9].

1. Экспонента: ${\textstyle \int \limits _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x}dx=\Gamma (s)}$ при ${\displaystyle \operatorname {Re} s>0}$ — гамма-функция по определению Эйлера; это простейший нетривиальный пример.
2. Дробно-линейная функция: ${\textstyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{1+x}}\,dx={\frac {\pi }{\sin \pi s}}}$ в полосе ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} s<1}$; равенство — частный случай соотношения ${\displaystyle B(s,\,1-s)=\Gamma (s)\Gamma (1-s)}$ для бета-функции.
3. Индикатор интервала: для ${\displaystyle f=\mathbb {1} _{(0,1)}}$ имеем ${\displaystyle \varphi (s)=\int \limits _{0}^{1}x^{s-1}dx={\tfrac {1}{s}}}$, ${\displaystyle \operatorname {Re} s>0}$.
4. Степень двучлена: ${\textstyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{(1+x)^{a}}}\,dx={\frac {\Gamma (s)\,\Gamma (a-s)}{\Gamma (a)}}}$ в полосе ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} s<a}$; при ${\displaystyle a=1}$ получается пример 2.
5. Тригонометрические функции: ${\textstyle \int \limits _{0}^{\infty }x^{s-1}\cos x\,dx=\Gamma (s)\cos {\tfrac {\pi s}{2}}}$ и аналогично ${\textstyle \int x^{s-1}\sin x\,dx=\Gamma (s)\sin {\tfrac {\pi s}{2}}}$, ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} s<1}$.
6. Бозе-интеграл: ${\textstyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,dx=\Gamma (s)\,\zeta (s)}$ при ${\displaystyle \operatorname {Re} s>1}$ — произведение гамма-функции и дзета-функции Римана^[3].

Полюсы преобразования Меллина управляют асимптотикой функции: если ${\displaystyle \varphi (s)}$ аналитически продолжается за пределы полосы и имеет полюс в точке ${\displaystyle s_{0}}$ с вычетом ${\displaystyle r_{0}}$, то в соответствующем конце полуоси у ${\displaystyle f}$ появляется член ${\displaystyle r_{0}x^{-s_{0}}}$. Сдвигая контур обращения влево (в область ${\displaystyle \operatorname {Re} s<\sigma _{1}}$) и собирая вычеты, получают асимптотическое разложение при ${\displaystyle x\to 0}$; сдвиг вправо даёт разложение при ${\displaystyle x\to \infty }$ — так называемую двойную асимптотику (см. рисунок)^[4][5].

Классический пример — разложение бозе-интеграла: полюс ${\displaystyle \zeta (s)}$ в точке ${\displaystyle s=1}$ и полюсы ${\displaystyle \Gamma (s)}$ в точках ${\displaystyle 0,-1,-2,\ldots }$ дают при ${\displaystyle x\to 0}$

${\displaystyle {\frac {1}{e^{x}-1}}={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {x}{12}}-{\frac {x^{3}}{720}}+\ldots }$

— разложение с числами Бернулли^[3]. На том же приёме основан метод гармонических сумм: если ${\textstyle g(x)=\sum _{k}\lambda _{k}f(\mu _{k}x)}$, то ${\displaystyle g^{*}(s)=f^{*}(s)\sum _{k}\lambda _{k}\mu _{k}^{-s}}$, и асимптотика суммы считывается с полюсов правого сомножителя — основной инструмент современного анализа алгоритмов^[4].

• Аналитическая теория чисел. Преобразование Меллина связывает тета-функцию с дзета-функцией: ${\textstyle \pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)\zeta (s)=\int \limits _{0}^{\infty }\psi (x)\,x^{s/2-1}dx}$, где ${\textstyle \psi (x)=\sum _{n\geq 1}e^{-\pi n^{2}x}}$; модулярное соотношение ${\textstyle \theta (1/x)={\sqrt {x}}\,\theta (x)}$ равносильно функциональному уравнению дзета-функции — так строится доказательство Римана 1859 года^[2][6][13].
• Теория специальных функций. Представления гипергеометрических функций и G-функции Мейера контурными интегралами от произведений гамма-функций — интегралами Меллина — Барнса — и их асимптотика^[8][5].
• Асимптотический анализ и анализ алгоритмов. Разложения при нуле и бесконечности, гармонические суммы, среднее время работы алгоритмов «разделяй и властвуй», цифровые деревья^[4].
• Дифференциальные уравнения. Сведение уравнений типа Эйлера к алгебраическим; решение краевых задач для уравнений с частными производными в углах и клиньях, где переменные меняются в мультипликативных масштабах^[5].
• Обработка сигналов. Масштабно-инвариантное распознавание образов: преобразование Меллина превращает растяжение сигнала в сдвиг по ${\displaystyle \omega }$^[14][15][16].
• Теория вероятностей. Если ${\displaystyle X}$ — положительная случайная величина с плотностью ${\displaystyle f_{X}(x)}$, то её преобразование Меллина ${\displaystyle {\mathcal {M}}[f_{X}](s)=\mathbb {E} [X^{s-1}]}$ является производящей функцией моментов для логарифма ${\displaystyle \log X}$. Это позволяет исследовать свойства распределений, устойчивых относительно умножения (например, лог-нормальное распределение), и решать задачи о произведениях независимых случайных величин.

Преобразование Меллина допускает несколько важных обобщений, расширяющих его применимость:

• Многомерное преобразование Меллина. Для функции ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$, ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}}$, определяется как

${\displaystyle \varphi (\mathbf {s} )=\int \limits _{\mathbb {R} _{+}^{n}}x_{1}^{s_{1}-1}\cdots x_{n}^{s_{n}-1}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{n}}$.

Применяется в многомерном асимптотическом анализе и теории многомерных специальных функций^[17].

• Дискретное преобразование Меллина. Для последовательности ${\displaystyle a_{n}}$ определяется как ряд Дирихле ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$. Это дискретный аналог, лежащий в основе аналитической теории чисел. Функциональное уравнение дзета-функции, связывающее её значения в ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle 1-s}$, является аналогом самодвойственности некоторых непрерывных преобразований^[18].
• p-адическое преобразование Меллина. Существует аналог преобразования Меллина для функций на p-адических полях, играющий важную роль в современной теории автоморфных форм и программе Ленглендса^[19].